第一章 导数及其应用1.1.1 变化率问题问题问题1 气球膨胀率气球膨胀率 在吹气球的过程中在吹气球的过程中, 可发现可发现,随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加, 气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度从数学的角度, 如何如何描述这种现象呢描述这种现象呢? 气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r (单位单位:dm)之间的函数关系是之间的函数关系是若将半径若将半径 r 表示为体积表示为体积V的函数的函数, 那么那么当空气容量当空气容量V从从0L增加到增加到1L , 气球半径增加了气球半径增加了气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为当空气容量当空气容量V从从1L增加到增加到2 L , 气球半径增加了气球半径增加了气球的平均膨胀率为气球的平均膨胀率为 随着随着气球体积气球体积逐渐变大逐渐变大,它的平均它的平均膨胀率逐膨胀率逐渐变小渐变小思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题问题2 高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h (单单位位:m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t (单位单位:s) 存在函数关系存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运描述其运动状态动状态, 那么那么:在在0 t 0.5这段时间里这段时间里,在在1 t 2这段时间里这段时间里,平均速度不能反映他在这段时间里运动状，平均速度不能反映他在这段时间里运动状，需要用瞬时速度描述运动状态。需要用瞬时速度描述运动状态。 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度,并并思考下面的问题思考下面的问题:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?探探 究究:时间时间3月月18日日4月月18日日4月月20日日日最高气温日最高气温3.518.633.4现有南京市某年现有南京市某年3月和月和4月某天日最高气温记载月某天日最高气温记载.观察：观察：3月月18日到日到4月月18日与日与4月月18日到日到4月月20日的温度日的温度变化，用曲线图表示为：变化，用曲线图表示为： t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210（注：（注： 3 3月月1818日日为第一天）为第一天）问题问题3： t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210问题问题1 1：“气温陡增气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）是什么？（形与数两方面）问题问题2 2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？（1 ）曲线上）曲线上BC之间一段几乎成了之间一段几乎成了“直线直线”，由此联想，由此联想如何量化直线的倾斜程度。如何量化直线的倾斜程度。 t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210（2）由点）由点B上升到上升到C点，必须考察点，必须考察yCyB的大小，但仅仅注意的大小，但仅仅注意yCyB的大小能否精确量化的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？段陡峭程度，为什么？在考察在考察yCyB的同时必须考察的同时必须考察xCxB，函数的本质在于一个，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。 t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210(3)我们用比值我们用比值 近似地量化近似地量化B、C这一段曲这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的上的平平均变化率均变化率(4)分别计算气温在区间分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平均的平均变化率变化率现在回答问题现在回答问题1 1：“气温陡增气温陡增”是一句生活用语，它的是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与数两方面）数学意义是什么？（形与数两方面）定义定义:平均变化率平均变化率: 式子式子 称为函数称为函数 f (x)从x1到到 x2的平均变化率的平均变化率.令令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,则则理解：理解：1，式子中，式子中x 、 y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 的的x值不能为值不能为0， y 的值可以为的值可以为02，若函数，若函数f (x)为常函数时，为常函数时， y =0 3, 变式变式思考:观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线直线AB的斜率的斜率做两个题吧!1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( )A 、 3 B、 3x-(x)2C 、 3-(x)2 D 、3-x Dv2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+x 小结：小结： 1.函数的平均变化率函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率