9.3用正多边形铺设地面用正多边形铺设地面观察图中的多边形，他们的边、角有什么特点？观察图中的多边形，他们的边、角有什么特点？同一图形的内角都相等同一图形的内角都相等同一图形的内角都相等同一图形的内角都相等同一图形的边都相等同一图形的边都相等同一图形的边都相等同一图形的边都相等正多边形的定义：正多边形的定义： 各边都相等，各内角也都相等的多边形叫做正各边都相等，各内角也都相等的多边形叫做正多边形。多边形。 如图中的多边形分别为：正三角形、正四边如图中的多边形分别为：正三角形、正四边形形( (即正方形即正方形) )、正五边形、正六边形、正八边形、正五边形、正六边形、正八边形. .正正n n边形的每个内角为：边形的每个内角为： 你能归纳一下，正多边形的内角度数是怎么算的吗？你能归纳一下，正多边形的内角度数是怎么算的吗？正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？六边形、正八边形的内角分别是多少度？6090108120135正正n n边形的每个外角为：边形的每个外角为： 观察这些美丽的图案，你有什么发现？观察这些美丽的图案，你有什么发现？606060606060正三角形瓷砖正三角形瓷砖围绕每一点有围绕每一点有6 6个角，个角，6 6个角和为个角和为6 66060= = 36036090909090正方形瓷砖正方形瓷砖正方形瓷砖正方形瓷砖围绕每一点有围绕每一点有围绕每一点有围绕每一点有4 4 4 4个角，个角，个角，个角，4 4 4 4个角和为个角和为个角和为个角和为4 4 4 4 90909090 = = = =360360360360 108108108正五边形瓷砖正五边形瓷砖围绕每一点有围绕每一点有围绕每一点有围绕每一点有3 3 3 3个角，个角，个角，个角，3 3 3 3个角和为个角和为个角和为个角和为3 3 3 3108108108108= = = = 324324324324360360360360120120120正六边形瓷砖正六边形瓷砖正六边形瓷砖正六边形瓷砖围绕每一点有围绕每一点有围绕每一点有围绕每一点有3 3 3 3个角，个角，个角，个角，3 3 3 3个角和为个角和为个角和为个角和为3 3 3 3 120120120120 = = = =360360360360 正七边形正八边形呢？正七边形正八边形呢？正七边形正八边形呢？正七边形正八边形呢？想一想，想一想，想一想，想一想，为什么为什么为什么为什么？不能！不能！不能！不能！也不能！也不能！也不能！也不能！360360360360360360360360正八边形的每个内角为正八边形的每个内角为正八边形的每个内角为正八边形的每个内角为 (8-2) (8-2) (8-2) (8-2) 1801801801808=1358=1358=1358=135 围绕每一点有围绕每一点有围绕每一点有围绕每一点有3 3 3 3个角个角个角个角, , , ,3 3 3 3个角和为个角和为个角和为个角和为3 3 3 3 135135135135 = = = =405405405405 正正正正七七七七边形的每个内角为边形的每个内角为边形的每个内角为边形的每个内角为 (7-2) (7-2) (7-2) (7-2) 1801801801807 7 7 7128.6128.6128.6128.6 围绕每一点有围绕每一点有围绕每一点有围绕每一点有3 3 3 3个角个角个角个角, , , ,3 3 3 3个角和为个角和为个角和为个角和为3 3 3 3 128.6128.6128.6128.6 =385.8=385.8=385.8=385.8为什么有的正多边形为什么有的正多边形为什么有的正多边形为什么有的正多边形能铺满地面，有的却能铺满地面，有的却能铺满地面，有的却能铺满地面，有的却不行呢？不行呢？不行呢？不行呢？ 规律规律： 使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内一起的几个内角加角加在一起恰好组成一个在一起恰好组成一个周角周角( ( 360360) )时，就时，就能铺满地面。能铺满地面。探究探究 ：n n只能是哪些数？只能是哪些数？能用同一种正多边形拼地板的正多边能用同一种正多边形拼地板的正多边形只有形只有正正正正三角形、正方形、正六边形三角形、正方形、正六边形三角形、正方形、正六边形三角形、正方形、正六边形剪出一些形状、大小都一样的四边形，剪出一些形状、大小都一样的四边形，拼拼看，能否铺满地面。拼拼看，能否铺满地面。不规则四边形能用来铺地板的道理是：不规则四边形能用来铺地板的道理是：“任意任意四边形四边形( (指凸四边形指凸四边形) )内角之和都等于内角之和都等于360360。”因此，不管切下的四边形怎样歪七扭八，只因此，不管切下的四边形怎样歪七扭八，只要形状完全相同，要形状完全相同，4 4块相拼就能凑成块相拼就能凑成360360，而，而且总能找到等长的边相接，使砖与砖之间不留且总能找到等长的边相接，使砖与砖之间不留缝隙。缝隙。结论：结论：结论：结论：形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形小红的妈妈准备把一些形状，大小相同的三角形花布丢掉小红的妈妈准备把一些形状，大小相同的三角形花布丢掉小红的妈妈准备把一些形状，大小相同的三角形花布丢掉小红的妈妈准备把一些形状，大小相同的三角形花布丢掉小红：妈妈，这些花布很好看，您为什么要丢掉呢？小红：妈妈，这些花布很好看，您为什么要丢掉呢？小红：妈妈，这些花布很好看，您为什么要丢掉呢？小红：妈妈，这些花布很好看，您为什么要丢掉呢？妈妈：小红，这些布是很漂亮，可是面积太小，做不了什妈妈：小红，这些布是很漂亮，可是面积太小，做不了什妈妈：小红，这些布是很漂亮，可是面积太小，做不了什妈妈：小红，这些布是很漂亮，可是面积太小，做不了什 么东西只好丢掉！么东西只好丢掉！么东西只好丢掉！么东西只好丢掉！小红：别扔，让我想想办法，把这些布头拼成一块漂亮的小红：别扔，让我想想办法，把这些布头拼成一块漂亮的小红：别扔，让我想想办法，把这些布头拼成一块漂亮的小红：别扔，让我想想办法，把这些布头拼成一块漂亮的 桌布吧。桌布吧。桌布吧。桌布吧。结论：结论：结论：结论：形状、大小完全相同的任意形状、大小完全相同的任意形状、大小完全相同的任意形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。三角形能镶嵌成平面图形。三角形能镶嵌成平面图形。三角形能镶嵌成平面图形。规律规律：当当围绕一点拼在一起的几个内围绕一点拼在一起的几个内角加角加在一起在一起恰好组成一个恰好组成一个周角周角( ( 360360) )时，就时，就能铺能铺满地面。满地面。如图：把相邻两行正三角形分开，添一行正方形，得到下如图：把相邻两行正三角形分开，添一行正方形，得到下面的面的图。它表明把正三角形和正方形结合在一起也能铺满图。它表明把正三角形和正方形结合在一起也能铺满地面。地面。为什么？为什么？解：解： 3 360+2 90=360 答：能铺满地面。答：能铺满地面。分析：因为正分析：因为正三角形的内角为三角形的内角为6060度，正方形的内角为度，正方形的内角为9090度，这样度，这样用用3 3块正块正三角形和三角形和2 2块正方形，他们的内角和为一个周角块正方形，他们的内角和为一个周角360360度，所度，所以以能铺能铺满地面。满地面。为什么以下几组图形能够如此巧妙的结合在一起？为什么以下几组图形能够如此巧妙的结合在一起？为什么以下几组图形能够如此巧妙的结合在一起？为什么以下几组图形能够如此巧妙的结合在一起？1.1.正八边形和正方形组合。正八边形和正方形组合。1.1.正八边形和正方形组合。正八边形和正方形组合。2.2.正十二边形和正三角形组合。正十二边形和正三角形组合。 正十二边形和正三角形组合。正十二边形和正三角形组合。 规律规律：当当围绕一点拼在一起的几个内围绕一点拼在一起的几个内角加角加在一起恰在一起恰好组成一个好组成一个周角周角( 360)( 360)时，就时，就能铺满地能铺满地面。面。正十二边形、正六边形和正方形的组合。正十二边形、正六边形和正方形的组合。 规律规律：当当围绕一点拼在一起的几个内围绕一点拼在一起的几个内角加角加在一在一起恰好组成一个起恰好组成一个周角周角( 360)( 360)时，就时，就能铺满地面。能铺满地面。练习题：练习题： 选择题：选择题： 1只用下列正多边形，能铺满地面的是（只用下列正多边形，能铺满地面的是（ ） A.正五边形正五边形 B.正八边形正八边形 C.正六边形正六边形 D.正十边形正十边形 2只用下列正多边形，不能铺满地面的是（只用下列正多边形，不能铺满地面的是（ ） A.正方形正方形 B.等边三角形等边三角形 C.正十一边形正十一边形 D.正六边形正六边形 3用正六边形的瓷砖铺满地面时，（用正六边形的瓷砖铺满地面时，（ ）个）个正六边形围绕一点拼在一起。正六边形围绕一点拼在一起。 A.3 B.4 C.5 D.6 小结小结1 1、能密铺的条件是什么？、能密铺的条件是什么？当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周周周周角角角角( ( ( ( 360360360360) ) ) )时，就能铺满地面。时，就能铺满地面。时，就能铺满地面。时，就能铺满地面。2 2 2 2、能用同一种正多边形拼地板的正多边形有哪些？、能用同一种正多边形拼地板的正多边形有哪些？、能用同一种正多边形拼地板的正多边形有哪些？、能用同一种正多边形拼地板的正多边形有哪些？能用同一种正多边形拼地板的正多边形只有能用同一种正多边形拼地板的正多边形只有能用同一种正多边形拼地板的正多边形只有能用同一种正多边形拼地板的正多边形只有正三角形、正三角形、正三角形、正三角形、正方形、正六边形正方形、正六边形正方形、正六边形正方形、正六边形3.3.3.3.用相同的任意三角形、任意四边形能密铺吗？用相同的任意三角形、任意四边形能密铺吗？用相同的任意三角形、任意四边形能密铺吗？用相同的任意三角形、任意四边形能密铺吗？结论结论结论结论1 1 1 1：形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形结论结论结论结论2 2 2 2：形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。形状、大小相同的任意三角形能镶嵌成平面图形。用正三角形和正六边形材料铺地面，在一个顶点周围有几用正三角形和正六边形材料铺地面，在一个顶点周围有几用正三角形和正六边形材料铺地面，在一个顶点周围有几用正三角形和正六边形材料铺地面，在一个顶点周围有几个正三角形和几个正六边形？说明你的理由。个正三角形和几个正六边形？说明你的理由。个正三角形和几个正六边形？说明你的理由。个正三角形和几个正六边形？说明你的理由。解：设在一个顶点周围有解：设在一个顶点周围有解：设在一个顶点周围有解：设在一个顶点周围有mm个正三角形的角，个正三角形的角，个正三角形的角，个正三角形的角，n n个正六边个正六边个正六边个正六边形的角。形的角。形的角。形的角。由题意得由题意得由题意得由题意得 m60+ n120= 360 即即 m+ 2n= 6满足题意的正整数解为满足题意的正整数解为答：在一个顶点周围有答：在一个顶点周围有4个正三角形和个正三角形和1个正六边形个正六边形或者在一个顶点周围有或者在一个顶点周围有2个正三角形和个正三角形和2个正六边形个正六边形小结：或满足：或满足：内角度数内角度数m + m + 另一种内角度数另一种内角度数nn第三种内角度数第三种内角度数k k =360=360的方程正整数解。的方程正整数解。 规规律：律：当当围绕一点拼在一起的几个内围绕一点拼在一起的几个内角加角加在一起恰好组成在一起恰好组成一个一个周角周角( 360)( 360)时，就时，就能铺满地面。能铺满地面。正五边形、正十边形正五边形、正十边形围绕一点能拼围绕一点能拼成成360，但能，但能扩展到整个平扩展到整个平面，即铺满地面，即铺满地面吗？面吗？尽管能围绕一点尽管能围绕一点尽管能围绕一点尽管能围绕一点拼成拼成拼成拼成360360360360 ，但不，但不，但不，但不能扩展到整个平能扩展到整个平能扩展到整个平能扩展到整个平面面面面。小结： 规规律：律：当当围绕一点拼在一起的几个内围绕一点拼在一起的几个内角加角加在一起恰好组成在一起恰好组成一个一个周角周角( 360)( 360)时，就时，就能铺满地面。能铺满地面。注：有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成注：有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成注：有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成注：有时几种正多边形的组合能围绕一点拼成 周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺周角，但不能扩展到整个平面，即不能铺 满平面。如：正五边形与正十边形的组合。满平面。如：正五边形与正十边形的组合。满平面。如：正五边形与正十边形的组合。满平面。如：正五边形与正十边形的组合。