二项式系数的性质二项式系数的性质X复习复习1。什么是二项式定理？通项公式？。什么是二项式定理？通项公式？2。什么叫二项式系数？项的系数？。什么叫二项式系数？项的系数？它们之间有什么不同？它们之间有什么不同？二项式系数的性质二项式系数的性质( a + b )1 1 1( a + b )2 1 2 1( a + b )3 1 3 3 1( a + b )4 1 4 6 4 1( a + b )5 1 5 10 10 5 1( a + b )6 1 6 15 20 15 6 1 递推法递推法 这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表： 一 一 一 一 二 一 一 三 三 一 一 四 六 四 一 一 五 十 十 五 一 一 六 十五 二十 十五 六 一 这个表称为杨辉三角杨辉三角。在详解九章算法一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal,1623年1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。二项式系数的性质二项式系数的性质( a + b )1 1 1( a + b )2 1 2 1( a + b )3 1 3 3 1( a + b )4 1 4 6 4 1( a + b )5 1 5 10 10 5 1( a + b )6 1 6 15 20 15 6 1 1.对称性对称性 ( (注意：此张删去，板书注意：此张删去，板书) ) 在二项展开式中，与首末两端在二项展开式中，与首末两端“等距离等距离”的两项的二项式系数相的两项的二项式系数相等。等。 2.增减性与最大值增减性与最大值 3.各二项式系数和各二项式系数和当当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当当n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大时取得最大时 ；当当n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 ， 相等，且同时取得相等，且同时取得最大值。最大值。定义域定义域0,1,2, ,n 61420O63r f ( r )令令当当n= 6时时,其图象是其图象是7个个孤立点孤立点简要介绍例例.证明：在证明：在 的展开式中，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和数项的二项式系数的和. 课后练习：课后练习：1、2课堂小结：课堂小结：1.二项式系数表（杨辉三角，帕斯卡三角）二项式系数表（杨辉三角，帕斯卡三角） 规律组合数的性质1、22.二项式系数的性质（二项式系数的性质（1）对称性；）对称性； （2）增减性与最大值；）增减性与最大值； （3）各二项式系数的和）各二项式系数的和.3.赋值法赋值法课后作业课后作业：（一）：（一）5、7、8、9、10 （二）优化第三课时（二）优化第三课时后面没用！能力能力思维思维方法方法能力能力思维思维方法方法能力能力思维思维方法方法能力能力思维思维方法方法能力能力思维思维方法方法例一、选择填空例一、选择填空：1.( 1 x ) 13 的展开式中系数最小的项是的展开式中系数最小的项是 （ ）(A)第六项第六项 (B)第七项第七项 （C）第八项）第八项 (D)第九项第九项2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为亮的可能性的种数为 （ ）(A)20 (B)219 （C）220 (D)220 1CD4或或5-2-10941093例二、已知例二、已知 的展开式中只有第的展开式中只有第10项系数项系数最大，求第五项。最大，求第五项。 解：依题意，解：依题意， 为偶数，且为偶数，且变式变式：若将：若将“只有第只有第10项项”改为改为“第第10项项”呢？呢？解解：（1） 中间项有两项：中间项有两项：（2）T3， T7 ， T12 ， T13 的系数分别为：的系数分别为：例三、已知二项式例三、已知二项式 ( a + b )15 （1）求二项展开式中的中间项；）求二项展开式中的中间项；（2）比较）比较T3， T7 ， T12 ， T13各项系数的大小，并说明理由。各项系数的大小，并说明理由。例四、已知例四、已知a,bN，m,n Z ，且，且2m + n = 0，如果二项式，如果二项式( ax m + bx n )12 的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求 a : b 的取值范围。的取值范围。 解：解：令令m (12 r )+ nr = 0，将，将 n =2m 代入，解得代入，解得 r = 4故故T5 为常数项，且系数最大。为常数项，且系数最大。作业作业书P111习题10.4 8,9,10苏大P126 73课 18小结小结（1） 二项式系数的三个性质。 （2） 数学思想：函数思想。 a 单调性； b 图象；c 最值。（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法研究题：研究题：求二项式 ( x + 2) 7 展开式中系数最大的项，试归纳出求形如( ax + b) n 展开式中系数最大项的方法或步骤。解：设最大项为解：设最大项为 ，则：，则：即即即即则展开式中最大项为则展开式中最大项为46凡事不要说我不会或不可能，因为你根本还没有去做！47成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践48只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星49上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价50现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。51宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子52为成功找方法，不为失败找借口53不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。54垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！55不一定要做最大的，但要做最好的56死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！57成功是动词，不是名词！28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。孝经61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。荀子劝学篇62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。68、找不到路不是没有路，路在脚下。69、幸福源自积德，福报来自行善。70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。74、今天学习不努力，明天努力找工作。75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。78、技艺创造价值，本领改变命运。79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！82、校兴我荣，校衰我耻。83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。84、不想当老板的学生不是好学生。85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。88、知技并重，德行为先。89、生活的理想，就是为了理想的生活。 张闻天90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 吕坤