材料力学材料力学-组合变形组合变形10.1 10.1 组合变形的概念组合变形的概念10.2 10.2 斜弯曲斜弯曲10.3 10.3 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲的组合与弯曲的组合10.4 10.4 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第十章第十章 组合变形组合变形210.1 10.1 组合变形的概念组合变形的概念一一、组组合合变变形形：由由两两种种或或两两种种以以上上基基本本变变形形组组合合而而成成的变形，称为组合变形的变形，称为组合变形（combined deformation) )3h45二、组合变形的研究方法二、组合变形的研究方法 先分解而后先分解而后叠加叠加 外力分析，确定基本变形：外力分析，确定基本变形：将将外力分解为几组与之外力分解为几组与之静力等效的简单载荷，确定基本变形；静力等效的简单载荷，确定基本变形； 内力分析，确定危险截面：内力分析，确定危险截面：求每个外力分量对应的求每个外力分量对应的内力并画内力图，确定危险面；内力并画内力图，确定危险面； 应力分析，确定危险点：应力分析，确定危险点：画危险面应力分布图，画危险面应力分布图，确定危险点，叠加求危险点应力；确定危险点，叠加求危险点应力； 强度计算：强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度计算。建立危险点的强度条件，进行强度计算。具体步骤：具体步骤：610.2 10.2 斜弯曲斜弯曲 斜弯曲：杆件产生弯曲变形后，杆轴线不再位于外力斜弯曲：杆件产生弯曲变形后，杆轴线不再位于外力 作用平面内。作用平面内。一、正应力的计算一、正应力的计算 ：1 1、将外载沿横截面的两个形心主轴分解，得、将外载沿横截面的两个形心主轴分解，得: :yzFzFyxxzyOlF2 2、梁任意截面上的弯矩为：、梁任意截面上的弯矩为：7My引起引起A的应力的应力：Mz引起引起A的应力的应力：则，则，F引起的应力为：引起的应力为：yzyzAFzFyxxzyOlF3 3、梁截面上任一点、梁截面上任一点A（y,z）的应力为的应力为（考虑坐标符号）（考虑坐标符号）：另外，另外， 的正负号可由的正负号可由My和和 Mz引起的变形是拉引起的变形是拉还是压直接判断。还是压直接判断。8D1D2二、中性轴的位置二、中性轴的位置中性轴中性轴yzFzFyFa a令令（y0，z0）是中性轴上任一点，则有：是中性轴上任一点，则有：显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线，显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线，可见，中性轴的位置并不依赖于力可见，中性轴的位置并不依赖于力F的大小，而只与力的大小，而只与力F和形心主轴和形心主轴 y 的夹角以及截面几何形状和尺寸有关的夹角以及截面几何形状和尺寸有关。三、最大正应力和强度条件三、最大正应力和强度条件在中性轴两侧，距中性轴最远的点为最大拉、压应力点。在中性轴两侧，距中性轴最远的点为最大拉、压应力点。图中图中D1、 D2两切点应力最大：两切点应力最大：设其与设其与z轴的夹角为轴的夹角为，则有：则有：应力分布如图所示：应力分布如图所示：9若横截面周边具有棱角若横截面周边具有棱角，则无需确定中性轴的位置，直，则无需确定中性轴的位置，直接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应力点接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应力点的位置。的位置。D1D2中性轴中性轴yzD2D1中性轴中性轴yz强度条件：强度条件：10（2 2）对于方形、圆形一类的截面，）对于方形、圆形一类的截面，Iy Iz，则，则 ，此时的，此时的挠度不仅垂直于中性轴而且与外力平面重合，为挠度不仅垂直于中性轴而且与外力平面重合，为平面弯曲平面弯曲。中性轴中性轴yzFa awzwy四、挠度的计算四、挠度的计算 w自由端处由自由端处由Fy引起的挠度为：引起的挠度为：自由端处由自由端处由Fz引起引起的挠度的挠度为为：则，自由端处由则，自由端处由F引起引起的总挠度的总挠度为为：由上式可见：由上式可见：（1 1）对于矩形、工字形一类的截面，）对于矩形、工字形一类的截面，Iy Iz，则，则 ，这表示，这表示挠度方向垂直于中性轴但与外力平面不重合，为挠度方向垂直于中性轴但与外力平面不重合，为“斜弯曲斜弯曲”。11例例10-2-110-2-1 矩形截面木檩条如图，跨长矩形截面木檩条如图，跨长L=3m，h=2b，受集度为受集度为q=700N/m的均布力作用，的均布力作用， =10MPa，容许容许挠度挠度 w=L/200 ，E=10GPa，试选择截面尺寸并校核，试选择截面尺寸并校核刚度。刚度。yzhba a=26q解：解：、外力分析外力分析分解分解q、内力分析内力分析求求Mzmax、Mymax12、应力分析应力分析求求、强度计算强度计算确定截面尺寸确定截面尺寸、校核刚度校核刚度13例例10-2-210-2-2 如图所示简支梁由如图所示简支梁由28a号工宇钢制成，已知号工宇钢制成，已知F=25kN，l=4m， ，许用应力，许用应力 =70MPa，试按，试按正应力强度条件校核此梁。正应力强度条件校核此梁。 解解: (1): (1)将集中力将集中力 F 沿沿 y 轴和轴和 z 轴方向分解轴方向分解 1428a号工宇钢的抗弯截面模量号工宇钢的抗弯截面模量 此梁满足强度要求。此梁满足强度要求。 15ABCDx2kNm1kNm例例10-2-310-2-3 两端铰支矩形截面梁，其尺寸两端铰支矩形截面梁，其尺寸 h=80mm , b=40mm, 校核梁的强度。校核梁的强度。xABCD30kNz30kN100mm100mm100mmyzyhb解解: :( (1)1)画内力图，确定画内力图，确定危险截面危险截面: :+ABCDx2kNm1kNm16(2)(2)校核强度校核强度: :故，梁安全。故，梁安全。17 工程实际中，常遇到如下受力的构件：工程实际中，常遇到如下受力的构件：10.3 拉伸拉伸(压缩压缩)与弯曲的组合与弯曲的组合lF1F2FFM偏心压缩偏心压缩轴向力轴向力和横向和横向力同时力同时作用作用偏心拉伸偏心拉伸FFMzMyyz18一、轴向力和横向力同时作用一、轴向力和横向力同时作用xzylF1xF2分析任一截面上应力分析任一截面上应力F1单独作用时：单独作用时：F2单独作用时：单独作用时：F1、 F2共同作用时：共同作用时：19特别指出：特别指出：运用上式计算最大应力时，弯矩运用上式计算最大应力时，弯矩 M 取绝取绝对值对值，而轴力，而轴力 FN 取代数值取代数值。强度条件：强度条件：则则则则20 例例10-3-110-3-1 最大吊重为最大吊重为 P=20kN的简易吊车的简易吊车，如图所，如图所示，示，AB为工字为工字A3钢梁，许用应力钢梁，许用应力 100100MPa，试选试选择工字梁型号。择工字梁型号。ADCBF302m1mYAXACABF52kN_FNTxTyT20kNmM- -解：解：(1)选工字梁为研究对选工字梁为研究对象受力如图所示：象受力如图所示：分解：分解：画内力图如上：画内力图如上：21由由弯弯矩矩图图和和轴轴力力图图知知：C截面左侧为危险截面。截面左侧为危险截面。(2) 暂暂不不考考虑虑轴轴力力影影响响，只只按按弯弯曲曲正正应应力力强强度度条条件件初初选工字梁型号，有：选工字梁型号，有：(3) 按压弯组合变形进行校核。按压弯组合变形进行校核。初选成功，即选初选成功，即选20a号工字梁合适。号工字梁合适。 YAXACABF52kN_FNTxTyT20kNmM- -查型钢表，初选取查型钢表，初选取20a号工字号工字钢，钢，Wz=237cm3，A35.5cm222二、偏心拉伸（压缩）二、偏心拉伸（压缩）(1)若若F 的作用点在杆的一对称轴上，的作用点在杆的一对称轴上，FMFz则强度条件为：则强度条件为：23FMzMyyzFyz(2) 若若F 的作用点不在杆的任一对称轴上的作用点不在杆的任一对称轴上则强度条件为：则强度条件为：FMyMz24例例10-3-2图图示示压压力力机机，最最大大压压力力F=1400kN，机机架架用用铸铸铁铁作作成成，许许用用拉拉应应力力+=35MPa，许许用用压压应应力力- -=140MPa，试试校校核核该该压压力力机机立立柱柱部部分分的的强强度度。立立柱柱截截面面的的几几何何性性质质如如下下：yc=200mm，h=700mm，A=1.8105mm2，Iz=8.0109mm4。 解：解：由图可见，载荷由图可见，载荷 F 偏离立柱轴线，偏离立柱轴线，500FFhzycyC其偏心距为：其偏心距为： e=yc+500=200+500=700mm。FeFNM任一截面上的力如图：任一截面上的力如图：其中：其中：25在在偏偏心心拉拉力力 F 作作用用下下，横横截截面面上上由由各各内内力力产产生生的的应应力力如图：如图：可见，立柱符合强度要求。可见，立柱符合强度要求。 Pey2ycbcaFN=F26例例10-3-3一一端端固固定定、具具有有切切槽槽的的杆杆如如图图所所示示，试试指指出出危危险险点点的的位置，并求最大应力，已知位置，并求最大应力，已知F=1kN。10501010405Fyz510 解：解：在切槽的截面上的内力有：在切槽的截面上的内力有：截面几何性质：截面几何性质：危危险险点点在在切切槽槽截截面的左上角。面的左上角。27AACBFlaABFMe10.4 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合(1)分析分析AB杆，将力杆，将力F 向其向其B端端 简化，并画内力图。简化，并画内力图。- - -TFaMFl由内力图知由内力图知A为危险截面为危险截面K1K2(2) 画危险截面的应力分布图画危险截面的应力分布图K1、 K2两点为危险点两点为危险点28K1K1AK1K2从从K1点取一单元体，如图，点取一单元体，如图，其中其中第三强度理论：第三强度理论：第四强度理论：第四强度理论：即：即：29、外力分析：、外力分析：外力向形心简化并外力向形心简化并分解；分解；、内力分析：、内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力每个外力分量对应的内力方程和内力图，图，确定危险面；确定危险面；、应力分析：、应力分析：确定危险点；确定危险点；弯扭组合问题的求解步骤：弯扭组合问题的求解步骤：、建立强度条件：、建立强度条件：圆截面圆截面弯扭组合弯扭组合圆截面圆截面弯扭组合弯扭组合30 例例10-4-110-4-1 图图示示刚刚架架，两两杆杆在在水水平平面面内内且且相相互互垂垂直直，受受力力与与刚刚架架平平面面垂垂直直，F= =2kN, , l= =1m, ,各各杆杆直直径径d= =10mm， =70MPa，按按最最大剪应力理论校核大剪应力理论校核AB杆强度。杆强度。lFllABCD2FFl-M3Fl+T故：故：AB杆安全杆安全解解: : （1 1）将力向）将力向AB杆上简化杆上简化: :（2 2）画）画AB杆内力图杆内力图: :（3 3）强度校核）强度校核: :FMeAB31 例例10-4-210-4-2 电电机机带带动动一一圆圆轴轴AB，其其中中点点处处装装有有一一个个重重Q=5kN，直直径径D=1.2m的的胶胶带带轮轮，胶胶带带紧紧边边张张力力F1=6kN, ,松松边边张张力力F2=3kN，如如轴轴的的许许用用应应力力 =50MPa，试试按按第第三三强强度度理理论论设设计计轴轴的的直径直径d。FABCMxMe解解: : （1 1）将力向）将力向AB轴上简化轴上简化: :（2 2）画）画AB轴内力图轴内力图: :（3 3）强度计算）强度计算: :其中其中+4.2kNmM-1.8kNmT取取d=98mmF2l=1.2mABCQF1Dd32 例例10-4-310-4-3 将将上上例例中中的的胶胶带带由由竖竖直直索索引引改改为为水水平平索索引引，其其它它不不变，变，试按第三强度理论设计试按第三强度理论设计轴的直径轴的直径d。解解: : （1 1）将力向）将力向AB轴上简化轴上简化: :（2 2）画）画AB轴内力图轴内力图: :（3 3）强度计算）强度计算: :其中其中-1.8kNmT取取d=90mmF2F1Dl=1.2mABCQdQABCMxMeFxyz+1.5kNmMz2.7kNmMy代数据代数据33解：解：拉扭组合拉扭组合: : 例例1010-4-4-4-4 直径为直径为d=0.1=0.1m的圆杆受力如图，的圆杆受力如图，T= =7kNm，P=50kN， =100=100MPaPa，试按，试按第三强度理论校核此杆的强第三强度理论校核此杆的强度度。安全安全34 例例10-4-510-4-5 直径为直径为d的实的实心圆轴，若心圆轴，若m=Fd，指出危指出危险点的位置，并写出相当险点的位置，并写出相当应力应力 。解：解：FxmB画画轴内力图轴内力图: :可判断可判断轴的最上边缘点均轴的最上边缘点均为危险点。为危险点。35解：解： 例例10-4-610-4-6 图示直角折杆图示直角折杆ABC，AB段直径段直径d=60mm，l=90mm，F=6kN，=60MPa，试用第，试用第三强度理论校核轴三强度理论校核轴AB的强度的强度. . FyzxFCABllABFMxFMyAB轴为拉、弯、扭组合变形轴为拉、弯、扭组合变形（1）AB轴的计算简图如图示：轴的计算简图如图示：（2 2）画）画AB轴内力图轴内力图: :可见，固定端面可见，固定端面A为危险截面为危险截面可判断可判断A上上k1 、k2两点为危险点两点为危险点zyk1k2A45k1危险点应力状态图如图示危险点应力状态图如图示36安全安全k137 1、 在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的哪一点，现在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的哪一点，现有四种答案；有四种答案； （）点（）点 （）点（）点 （）点（）点 （）点（）点 本章习题本章习题一、选择题一、选择题382、在下列有关横截面核心的结论中，、在下列有关横截面核心的结论中， 是错误的。是错误的。、当拉力作用于截面核心内部时，杆内只有拉应力。、当拉力作用于截面核心内部时，杆内只有拉应力。 、当拉力作用于截面核心外部时，杆内只有压应力。、当拉力作用于截面核心外部时，杆内只有压应力。 、当压力作用于截面核心内部时，杆内只有压应力。、当压力作用于截面核心内部时，杆内只有压应力。 、当压力作用于截面核心外部时，杆内既有拉应力，又有压应、当压力作用于截面核心外部时，杆内既有拉应力，又有压应力。力。 393、图示正方形截面直柱，受纵向力、图示正方形截面直柱，受纵向力P的压缩作用。则当的压缩作用。则当P力作用力作用点由点由A点移至点移至B点时柱内最大压力的比值有四种答案：点时柱内最大压力的比值有四种答案：（）（）: （）（）: （）（）: （）（）: 404、决定截面核心的因素是、决定截面核心的因素是 。、材料的力学性质。、材料的力学性质。 、截面的形状和尺寸。、截面的形状和尺寸。 、载荷的大小和方向。、载荷的大小和方向。 、载荷作用点的位置。、载荷作用点的位置。 413、图图示示皮皮带带轮轮传传动动轴轴，传传递递功功率率N=7kW，转转速速n=200r/min。皮皮带带轮轮重重量量Q=1.8kN。左左端端齿齿轮轮上上啮啮合合力力Pn与与齿齿轮轮节节圆圆切切线线的的夹夹角角(压压力力角角)为为20o。轴轴材材料料的的许用应力许用应力s=80MPa，试按第三强度理论设计轴的直径。，试按第三强度理论设计轴的直径。解：解：外力简化外力简化(建立计算模型建立计算模型)：外力向：外力向AB轴轴线简轴轴线简化，并计算各力大小。化，并计算各力大小。 ABCD200200400f f300f f500D2QQzyF1=2F2F220oPn42zyD1ABCD200200400f f300f f500D2MyMz0.446kNm0.8kNm0.16kNm0.36kNmF1=2F2F220oPnxyQPyPz3F2MeMeQQPyPz作轴的扭矩图和弯矩图：作轴的扭矩图和弯矩图： 43可以看出可以看出D截面为危险截面，其上的内力为截面为危险截面，其上的内力为最后根据第三强度理论设计轴的直径：最后根据第三强度理论设计轴的直径： 讨论：讨论： 对于圆轴，由于对称性，其横截面上的两方向弯矩可以矢量合成对于圆轴，由于对称性，其横截面上的两方向弯矩可以矢量合成合合成成弯弯矩矩可可能能最最大大点点在在各各方方向向弯弯矩矩图图的的尖尖点点处处，如如上上题题，可可能能合弯矩最大值在合弯矩最大值在C、D处；处；444 4、图示水平直角折杆受竖直力、图示水平直角折杆受竖直力P作用，轴直径作用，轴直径 d=100mm d=100mm，a=400mma=400mm，E=200GPaE=200GPa，=0.25=0.25，在，在D D截面顶点截面顶点k k处测出处测出轴向应变轴向应变=2.7510=2.7510-4-4，求该折杆危险点的相当应力，求该折杆危险点的相当应力r3r3。2PaPa扭矩扭矩ADBPa弯矩弯矩CDAkaPBaak点所在截面点所在截面D的内力：的内力：MD=Pa T=Pa45解解: : (1)k 点应力状态点应力状态: :又又(2)危险点：危险点： A截面最上边缘点，应力状态与截面最上边缘点，应力状态与k点相同。点相同。k点所在截面点所在截面D的内力：的内力：MD=Pa T=Pa46第十章 组合变形结 束47