1.1 离散时间信号及其运算连续信号：指随时间而连续变化的信号，对任意时间值（除不连续点外）都可以给出确定的函数值。离散信号：只有在离散的时间点有确定的值。它通常都是通过对连续信号采样而得到的。数字信号：幅度上经过量化，加入量化误差，时间上离散。序列的定义： 离散时间信号通常是由连续时间信号抽样所得，设抽样时间间隔为T，则x(nT)表示的是该离散时间信号在nT点上的值。 由于离散信号处理常常是非实时的，可先记录数据再分析，因此x(nT)可以看作是按一定顺序排列的数据，可直接用x(n)表示第n个点的序列值，并用集合x(n)来表示离散时间信号序列。1、序列及其运算 序列的运算包括移位、翻褶、和差、积、累加、差分、时间尺度变换等。（1）移位 m为正时，将x(n)左移m得到x(n+m) m为负时，将x(n)右移-m得到x(n+m)例：序列的运算：（2）翻褶（3）和 两个序列之和即将两序列逐项相加。（4）积 两个序列之积即将两序列逐项相乘。（5）累加（6）差分运算前向差分：后向差分：所以：（7）时间尺度变换（8）卷积和 包含运算：例：2、常用的典型序列（1）单位抽样序列（2）单位阶跃序列() 矩形序列1 1 N-1 n() 实指数序列() 正弦序列-1正弦序列的周期性：（6）复指数序列当时，x(n)的实部和虚部分别是余弦序列和正弦序列。（7）用单位采样序列表示任何序列 对任何序列，常用单位采样序列的移位累加和来表示：式中：1.2 线性时不变系统 离散时间系统：将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。y(n)=Tx(n)TT.x(n)y(n)1.线性系统满足叠加原理（齐次性和可加性）。例例: 设一系统的输入输出关系为试判断系统是否为线性？解：输入信号x(n)产生的输出信号Tx(n)为：输入信号ax(n)产生的输出信号Tax(n)为：除了a=0,1情况，Tax(n) aTx(n)。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。2. 2. 时不变系统时不变系统即系统的特性不随时间而变化，线性时不变系统简称为：LTI。3. 3. 线性时不变系统的输入输出关系线性时不变系统的输入输出关系线性时不变系统既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不变系统可以用单位抽样响应来表示。我们知道，任一序列都可表示成各延时单位抽样序列的加权和如令为系统对单位抽样序列的响应，则系统对任一输入序列x(n)的响应为由于系统是线性的，满足迭加定理因此该式表明：对任何线性时不变系统，其输出可以用其输入与其单位抽样响应的卷积来表示。注意：也只有线性时不变系统才能这样表示。线性时不变系统的性质：线性时不变系统的性质：交换律：结合律：分配律：4.因果系统 因果系统：系统的输出y(n)只取决于当前以及过去的输入，即x(n)， x(n-1)，x(n-2)。 非因果系统：如果系统的输出y(n)取决于x(n+1)，x(n+2)，即系统的输出取决于未来的输入，则是非因果系统，也即不现实的系统(不可实现)。 因果系统的充要条件：h(n)=0，n0。 5.稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。 当且仅当 (充要条件) 时，该线性时不变系统是稳定的。例：分析单位脉冲响应为h(n)=anu(n)的线性时不变系统的因果性和稳定性。1.因果性：n0时，h(n)=0，系统是因果的2.稳定性：当|a|1时,单位抽样响应绝对可加，故系统是稳定系统；当|a|1时,则，级数发散，系统是不稳定系统。1.3 线性常系数差分方程一.线性移不变系统的线性常系数差分方程表示方法：二.线性常系数差分方程的求解： 方法有迭代法，卷积和法（仅限于零状态解），变换域求解法。例：用迭代法求解如下差分方程（单位抽样响应）：1.4 连续时间信号的采样1、采样器（抽样模型）P(t)T这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为的矩形脉冲，以P(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样输出为一般很小,越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。2. 理想采样开关闭合时间0时，为理想采样。 特点：采样序列表示为冲激函数的序列。 我们用M(t)表示这个冲激载波：理想采样过程：结论：采样过程在时域上就是脉冲调幅过程。 3、采样信号（实带限信号）的频谱分析 所以即：理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,重复周期为s(采样频率)。结论：如果信号最高频谱h超过s/2,那么在理想采样频谱中,各次调制频谱就会互相交叠,出现频谱的“混淆”现象,为简明起见,图中将xa(j)作为标量处理,一般xa(j)为复数,交叠也是复数相加。当出现频谱混淆后,一般就不可能无失真地滤出基带频谱,用基带滤波恢复出来的信号就要失真。奈奈奎奎斯斯特特采采样样定定理理：要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍，即：s2max如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超过s/2，理想采样的频谱就不会产生混叠，因此，将采样信号 通过一个理想低通滤波器（只让基带频谱通过），其截止频率为S/2，特性如图：4采样的恢复（频域恢复）如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱小于采样频率的1/2：则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有S/2将采样信号通过一个理想低通滤波器（作用：只让基带频谱通过），其带宽等于S/2，特性如图:采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：也就恢复了模拟信号：y(t)=xa(t)实际上，理想低通滤波器是不可能实现的，但在满足一定精度的情况下，总可用一个可实现网络去逼近。H(j)h(t)H(j)Txa(t)y(t)=xa(t)0S/21.5序列的傅里叶变换及其性质1.序列的傅里叶变换定义定义为序列的傅里叶变换。傅里叶变换成立的充分必要条件是序列x(n)绝对可和（序列的能量有限），即满足下式：傅里叶反变换：定义：为傅里叶反变换。2.周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，可以展开成离散傅里叶级数，即：其中是离散傅里叶级数的系数。3.周期序列的傅里叶变换4.序列傅里叶变换的性质