第五节第五节 极限存在准则和两个重要极限极限存在准则和两个重要极限 本节建立极限存在的两个基本准则本节建立极限存在的两个基本准则, 及由准则导出两及由准则导出两本节要点本节要点一、夹逼准则一、夹逼准则个重要极限个重要极限.二、单调有界准则二、单调有界准则一、夹逼准则一、夹逼准则则则准则准则1 如果如果当当 （或（或 ）时）时, 有有 该准则的数列形式为该准则的数列形式为准则准则 如果数列如果数列则数列则数列 的极限存在的极限存在, 且且 满足下列条件满足下列条件:证证 仅对仅对 时函数的极限证明夹逼准则时函数的极限证明夹逼准则. 因因 故故时时, 有有 即即 又因又因 对此对此时时, 有有 即即 取取当当 时有时有 注注: 在数列情况下在数列情况下, 要求从第一项开始不等式成立要求从第一项开始不等式成立.而实际情况是而实际情况是: 数列的极限存在与否与前数列的极限存在与否与前 项的取值无项的取值无 即即 故故关关, 故条件可放宽为自某一项以后故条件可放宽为自某一项以后, 不等式成立即可不等式成立即可. 重要极限重要极限1: 如图所示如图所示, 在单位圆中在单位圆中, 记圆心角记圆心角证证 首先注意到函数首先注意到函数 , 对一切对一切 都有定义都有定义, 并并AODCBx点点 处的切线与处的切线与 的延长线交于的延长线交于 且函数为偶函数且函数为偶函数, 故仅需证明对故仅需证明对 时极限成立即可时极限成立即可.则则即即从而从而变形为变形为 因因 的面积的面积扇形扇形 的面积的面积 的面积的面积,不等式两边都除以不等式两边都除以 , 得得因因 由准则由准则1, 得得 注注: 因当因当 时时, 有不等式有不等式即即:即即当当 时时, 由准则由准则1, 得得例例1 求求解解 例例2 求求 解解 注注 本例说明极限本例说明极限这是一个重要的极限这是一个重要的极限.例例3 求求解解 令令则由复合函数的极限运算法则则由复合函数的极限运算法则, 得得 则则 , 当当 时时,例例4 证明证明所以所以即即证证 当当 时时, 令令于是于是两边取极限两边取极限, 由夹逼定理得由夹逼定理得:即有即有 因对任意的因对任意的 , 总有总有 由此得由此得由此极限由此极限, 得到得到二、单调有界收敛准则二、单调有界收敛准则准则准则2 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限. 更具体地说更具体地说:若数列若数列 单调递增且有上界单调递增且有上界 , 则则 存在并且存在并且若数列若数列 单调递减且有下界单调递减且有下界 则则 存在并且存在并且不大于不大于 ;不小于不小于 应用此准则应用此准则, 我们来讨论另一个重要极限我们来讨论另一个重要极限 设设 , 今证数列今证数列 单调增加且有界单调增加且有界.类似地有类似地有比较比较 的展开式的展开式, 可以看到除前两项外可以看到除前两项外, 的每的每一项都小于一项都小于 的对应项的对应项, 且且 还多了最后的一项还多了最后的一项,其值大于零其值大于零, 所以所以由此说明数列由此说明数列 是单调递增的是单调递增的. 又因又因此说明数列此说明数列 是有界的是有界的, 由极限存在准则由极限存在准则2, 知数列知数列 的极限存在的极限存在, 下面证明下面证明, 当当 时时, 函数函数限均存在限均存在, 且都等于且都等于 , 即有即有的极的极以数以数 表示表示, 即即因为因为事实上事实上, 若若 记记 则则由夹逼准则由夹逼准则, 得得由此得到由此得到:若若 令令 则则例例5 求求解解 进一步有进一步有例例6 求求解解进一步有进一步有 例例7 求求解解注注 此极限的一般形式是此极限的一般形式是例例8 设设求求解解即即 例例9 求求解解 因因而而一般一般, 若若则则