第第七七章章立立体体几几何何第七第七节节空间空间向量向量及其及其运算运算（理）（理）抓抓 基基 础础明明 考考 向向提提 能能 力力教教 你你 一一 招招我我 来来 演演 练练返回 备考方向要明了备考方向要明了考考 什什 么么1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意 义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量积判掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量积判 断向量的共线与垂直断向量的共线与垂直4.掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间的掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间的 距离公式，并会解决简单的立体几何问题距离公式，并会解决简单的立体几何问题. 返回怎怎 么么 考考 从高考内容上来看，空间向量的概念及其运算在命从高考内容上来看，空间向量的概念及其运算在命题中单独命题较少，多置于解答题中作为一种方法进行考题中单独命题较少，多置于解答题中作为一种方法进行考查，难度中等查，难度中等.返回返回一、空间向量及其有关概念一、空间向量及其有关概念语言描述语言描述共线向量共线向量(平行向量平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线表示空间向量的有向线段所在的直线 共面向量共面向量平行于平行于 的向量的向量共线向共线向量定理量定理对空间任意两个向量对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存存在在R，使，使平行或重合平行或重合同一平面同一平面ab返回语言描述语言描述共面共面向量向量定理定理若两个向量若两个向量a、b不共线，则向量不共线，则向量p与向量与向量a，b共面共面存在唯一的有序实数对存在唯一的有序实数对(x，y)，使，使p空间空间向量向量基本基本定理定理(1)定理：如果三个向量定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间不共面，那么对空间任一向量任一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组x，y，z使得使得p (2)推论：设推论：设O、A、B、C是不共面的四是不共面的四点，则对空间一点点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数都存在唯一的三个有序实数x、y、z使使 x y z 且且xyz1xaybzcxayb返回ab0a2返回a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量和向量和ab 向量差向量差ab向量积向量积ab共线共线ab (R)2向量的坐标运算向量的坐标运算(a1b1，a2b2，a3b3)(a1b1，a2b2，a3b3)a1b1a2b2a3b3a1b1，a2b2，a3b3返回垂直垂直ab夹角夹角公式公式cosa，ba1b1a2b2a3b30返回返回答案：答案：B返回返回答案：答案： A返回返回答案：答案： D返回4已知向量已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则，则(ab)(ab)的值为的值为_答案：答案： 13解析：解析： ab(10，5，2)ab(2,1，6)(ab)(ab)13.返回5已知已知a(1,2，2)，b(0,2,4)，则，则a，b夹角的余弦夹角的余弦值为值为_返回1用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化后应进行转化2空间向量的加法、减法经常逆用，来进行向量的分解空间向量的加法、减法经常逆用，来进行向量的分解3几何体中向量问题的解决，选好基底是关键几何体中向量问题的解决，选好基底是关键返回返回返回返回返回返回巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)返回返回答案：答案：D返回冲关锦囊冲关锦囊 用已知向量来表示未知向量一定要结合图形，以图用已知向量来表示未知向量一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义灵活运用三角形法则及四边形法则乘运算的几何意义灵活运用三角形法则及四边形法则.返回返回返回返回其中真命题的个数是其中真命题的个数是 ()A1 B2C3 D4返回答案：答案：B返回冲关锦囊冲关锦囊 应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：面的方法比较：返回返回返回返回题目条件不变，若题目条件不变，若(ab)(ab)与与z轴垂直，求轴垂直，求，应满足的关系应满足的关系解：解：ab(0,1,2)，ab(2,1，2)，(ab)(ab)(2，22)(ab)(ab)与与z轴垂直，轴垂直，(2，22)(0,0,1)220，即当即当，满足关系满足关系0时，可使时，可使(ab)(ab)与与z轴垂直轴垂直返回巧练模拟巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！课堂突破保分题，分分必保！)3(2012寿光模拟寿光模拟)如图，在如图，在30的二面角的二面角l的棱上的棱上 有两点有两点A、B，点，点C、D分别在分别在、内，且内，且ACAB， BDAB，ACBDAB1，则，则CD的长度为的长度为_返回返回冲关锦囊冲关锦囊1应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是取相互应用数量积解决问题时一般有两种方法：一是取相互之间夹角已知，模已知的基向量为基底表示题中的向之间夹角已知，模已知的基向量为基底表示题中的向量再计算，二是建立空间直角坐标系利用坐标运算来量再计算，二是建立空间直角坐标系利用坐标运算来解决，后者更为简捷解决，后者更为简捷2在求立体几何中线段的长度时，转化为求在求立体几何中线段的长度时，转化为求aa|a|2，或利用空间两点间的距离公式或利用空间两点间的距离公式返回返回解题样板解题样板 构造法在空间向量运算中构造法在空间向量运算中的应用的应用返回返回返回答案：答案：B返回高手点拨高手点拨 上述解法一构造了特殊的几何体上述解法一构造了特殊的几何体正四面体，并应正四面体，并应用了正四面体的对棱相互垂直的结论，属于特例法在选择用了正四面体的对棱相互垂直的结论，属于特例法在选择题中的应用解法二选取基向量运用线性运算化归后求题中的应用解法二选取基向量运用线性运算化归后求得结果解答本题易出现由于参与运算的向量较多，找不得结果解答本题易出现由于参与运算的向量较多，找不到突破口，无从下手，盲目选择而导致出错的现象到突破口，无从下手，盲目选择而导致出错的现象返回点击此图进入点击此图进入