高等数学（上）高等数学（上）高等数学（上）高等数学（上）7.77.77.77.7节节节节 常系数齐次微分方程常系数齐次微分方程常系数齐次微分方程常系数齐次微分方程1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 2 n阶常系数齐次线性微分方程的解法主主 要要 内内 容容二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程基本思路基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:当当r为常数时为常数时,代入代入得得( r 为待定常数为待定常数 ),所以，令所以，令的解为的解为 特征方程特征方程特征根特征根二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程特征方程特征方程:特征根的三种情况：特征根的三种情况：2个相异实根个相异实根2个相等实根个相等实根2个复根个复根二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程1. 当当时时, 有两个相异实根有两个相异实根方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为因此方程的通解为则微分则微分例例1.1.的通解的通解.解解: 特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程的通解为因此原方程的通解为二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程2. 当当时时, 特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解设另一特解设另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:是特征方程的重根是特征方程的重根取取 u = x , 则得则得因此原方程的通解为因此原方程的通解为二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程例例2.2. 求解初值问题求解初值问题解解: 特征方程特征方程有重根有重根因此原方程的通解为因此原方程的通解为利用初始条件得利用初始条件得于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程3.3. 当当时时, 特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为因此原方程的通解为二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程例例3.3.的通解的通解.二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程小结小结特征方程特征方程:实根实根 特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 2 n阶常系数齐次线性微分方程的解法主主 要要 内内 容容n阶常系数齐次线性微分方程阶常系数齐次线性微分方程若特征方程含若特征方程含 k 重复根重复根若特征方程含若特征方程含 k 重实根重实根 r , 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项则其通解中必含则其通解中必含对应项对应项特征方程特征方程: 特征方程为特征方程为给出给出2k项项一对一对k重复根重复根给出给出k项项k重实根重实根r给出两项给出两项一对单复根一对单复根给出一项给出一项单实根单实根r通解中的对应项通解中的对应项特征方程的根特征方程的根小结小结例例4.4.的通解的通解. 解解: 特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程通解为因此原方程通解为例例5.解解: 特征方程特征方程:特征根特征根 :原方程通解原方程通解:(不难看出不难看出, 原方程有特解原方程有特解n阶常系数齐次线性微分方程阶常系数齐次线性微分方程例例6.6. 解解: 特征方程特征方程:即即其根为其根为方程通解方程通解 :n阶常系数齐次线性微分方程阶常系数齐次线性微分方程例例7.7.解解: 特征方程特征方程:特征根为特征根为则方程通解则方程通解 :