第第4讲数列求和讲数列求和2数列求和的几种常用方法(1)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的(4)倒序相加法如果一个数列an的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的(5)并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050.感悟提升两个防范一是用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，如(1)二是含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论，如(2)中a需要分a0，a1，a1且a0三种情况求和，只有当a1且a0时可用错位相减法求和. 考点一分组转化法求和【例1】 已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2 ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn.规律方法 (1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式【训练1】 (2014湖州质检)在等比数列an中，已知a13，公比q1，等差数列bn满足b1a1，b4a2，b13a3.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记cn(1)nbnan，求数列cn的前n项和Sn.规律方法 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的考点三错位相减法求和【例3】 (2013湖南卷)设Sn为数列an的前n项和，已知a10，2ana1S1Sn，nN*.(1)求a1，a2，并求an的通项公式；(2)求数列nan的前n项和审题路线(1)令n1求a1令n2求a2利用anSn Sn1(n2)推导an与an1的关系式由an与an1的递推式求an.(2)由(1)知数列nan错位相减法求和得出结论(2)由(1)知，nann2n1.记数列n2n1的前n项和为Bn，于是Bn122322n2n1，2Bn12222323n2n. 得Bn12222n1n2n2n1n2n.从而Bn1(n1)2n.规律方法 (1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式.【训练3】 (2013嘉兴二模)在数列an中，a12，an13an2.(1)记bnan1，求证：数列bn为等比数列；(2)求数列nan的前n项和Sn.(1)证明由an13an2，可得an113(an1)因为bnan1，所以bn13bn，又b1a113，所以数列bn是以3为首项，以3为公比的等比数列数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和答题模板7求数列|an|的前n项和问题【典例】 (14分)(2013浙江卷)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|an|.反思感悟 (1)本题求解用了分类讨论思想，求数列|an|的和时，因为an有正有负，所以应分两类分别求和(2)常出现的错误：当n11时，求|an|的和，有的学生认为就是S11110；当n12时，求|an|的和，有的学生不能转化为2(a1a2a11)(a1a2an)，导致出错答题模板求数列|an|的前n项和一般步骤如下：第一步：求数列an的前n项和；第二步：令an0(或an0)确定分类标准；第三步：分两类分别求前n项和；第四步：用分段函数形式下结论；第五步：反思回顾：查看|an|的前n项和与an的前n项和的关系，以防求错结果【自主体验】已知等差数列an前三项的和为3，前三项的积为8.(1)求等差数列an的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列|an|的前n项和