1.1基本不等式湖北省公安县车胤中学湖北省公安县车胤中学 数学教研组数学教研组 杨翠元杨翠元ICM2002会标弦图问问1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,设设AF=a,BF=b,AF=a,BF=b,则在图中则在图中可找到何不等关系？可找到何不等关系？【探究探究】问问2 2： 与与 有相等的情况吗？有相等的情况吗？何时相等？何时相等？ADCBHGFEADBCEFGHba当当a=ba=b时，时，a a2 2+b+b2 2=2ab=2abE(FGH)aABCDb问问问问3 3 3 3： 若若若若a, b a, b R R，那么，那么，那么，那么 仍然成立吗？仍然成立吗？仍然成立吗？仍然成立吗？ a a2 2+b+b2 2 2ab 2ab若成立，你能给出它的代数证明吗？若成立，你能给出它的代数证明吗？若成立，你能给出它的代数证明吗？若成立，你能给出它的代数证明吗？证明证明证明证明: : : : 作差比较法作差比较法作差比较法作差比较法 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b， 当且仅当当且仅当a=b时时“=”号成立。号成立。（当且仅当（当且仅当a=b时时“=”号成立）号成立）简称：重要不等式 探究发现探究发现基本不等式基本不等式如何证明不等式如何证明不等式?当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当a ab b时，取时，取时，取时，取“”号号号号证明：证明： CD=_OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? 如图如图,以以 AB为直径作圆为直径作圆, O为圆心，点为圆心，点C在在AB上，上，AC=a, BC=b. 过点过点C作垂作垂直于直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.ADBEOCab 探究发现探究发现ADEBO（C）ab（当且仅当（当且仅当a=b时取时取“=”）你能在图中找出哪些线段可以用你能在图中找出哪些线段可以用 表示表示?并给基本不等式作出几何解释了？并给基本不等式作出几何解释了？CD OD (当当C与与O重合时取得重合时取得“CD =OD”)从代数角度可描述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数从代数角度可描述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数. .从几何角度也可描述为圆的半弦不大于半径。从几何角度也可描述为圆的半弦不大于半径。例例1：如如图图，用用一一段段长长为为36m的的篱篱笆笆围围成成一一个个矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形菜菜园园的的长长和和宽宽各各为为多多少少时时，菜菜园园的的面面积积最最大，最大面积是多少？大，最大面积是多少？解：如图，设解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则则 2(x + y)= 36 , x + y =18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy m2得得 xy 81当且仅当当且仅当x=y ,即即x=y=9时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，时，菜园面积最大，最大面积是最大面积是81m2ABDC由由【实际应用实际应用】 练练习习1：如如图图,用用篱篱笆笆围围成成一一个个面面积积为为100m2的的矩矩形形菜菜园园,问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱篱笆笆最最短短，最最短的篱笆是多少？短的篱笆是多少？ABDC当且仅当当且仅当时，取等号时，取等号练习练习2 2：口诀：积定和最小，和定积最大口诀：积定和最小，和定积最大 已知已知x，y都是正数都是正数（1）、若）、若xy=P（P为定值），则当为定值），则当x=y时，时，x+y取得最小值取得最小值（2）、若）、若x+y=S（S为定值），则当为定值），则当x=y时，时，xy取得最大值取得最大值 S2条件：一正条件：一正 二定二定 三相等三相等 结论结论 【课堂小结课堂小结】1.本节课我们学习的主要内容是什么？本节课我们学习的主要内容是什么？2.在应用基本不等式时，需要注意哪几点？在应用基本不等式时，需要注意哪几点？重要不等式重要不等式基本不等式基本不等式一正、二定、一正、二定、三相等三相等 课本课本1010页习题页习题1.11.1的的1212，1313【作业作业】