振动振动（Vibration）第一篇第一篇 力力 学学静力学静力学：研究物体平衡的条件：研究物体平衡的条件运动学运动学：研究物体位置随时间的变化：研究物体位置随时间的变化动力学动力学：研究各类运动发生的原因：研究各类运动发生的原因1振动振动（Vibration）第四章第四章 振动振动（Vibration）4.1 谐振动谐振动4.2 谐振动的合成谐振动的合成4.3 阻尼振动阻尼振动4.4 受迫振动，共振受迫振动，共振2振动振动（Vibration）第四章第四章 振振 动动1.1 简谐振动1.2 同方向同频率谐振动的合成3振动振动（Vibration） 机机械械振振动动 简简谐谐振振动动阻尼振动阻尼振动描述简谐振动的方法描述简谐振动的方法在周期外力作用下的振动在周期外力作用下的振动振动特征振动特征 描述简谐振描述简谐振动的物理量动的物理量动力学方程动力学方程运动学方程运动学方程频率频率 圆圆频率频率 振幅振幅 A周期周期 T相位相位 t+ 初相初相 解析法解析法矢量法矢量法受迫振动受迫振动振幅随时间减小的振动振幅随时间减小的振动谐振动的能量谐振动的能量 动能动能势能势能总能量总能量4振动振动（Vibration） 谐谐振振动动的的合合成成 同同方方向向同同频频率率 同频率振动同频率振动方向垂直方向垂直 当频率比为整数比当频率比为整数比时为利萨如图形时为利萨如图形分振动分振动方程方程 合振动合振动方程方程 不同频率振不同频率振动方向垂直动方向垂直合振动轨迹为合振动轨迹为 椭圆或圆椭圆或圆cosx111=+A()tcosx222=+A()txx12=+xcos=+A()t5振动振动（Vibration）第四章第四章 振振 动动任何一个物理量在某一定值附近作周期性变化任何一个物理量在某一定值附近作周期性变化振动振动物体在一定位置附近作来回往复运动物体在一定位置附近作来回往复运动机械振动机械振动6振动振动（Vibration）-动力学方程动力学方程一、谐振动动力学方程谐振动动力学方程xvv -AA弹簧振子弹簧振子1、弹簧振子：由物体和轻质弹簧组成系统弹簧振子：由物体和轻质弹簧组成系统4. 1 简谐振动简谐振动7振动振动（Vibration）2、单摆（数学摆）单摆（数学摆）-动力学方程动力学方程mg 不可伸长的轻质细线下悬挂一质点，不可伸长的轻质细线下悬挂一质点，在平衡位置附近在平衡位置附近 (5的)小角摆动小角摆动的装置。的装置。ml8振动振动（Vibration）3、复摆（物理摆）、复摆（物理摆） 一个可绕水平固定轴自由小一个可绕水平固定轴自由小角摆动的刚体装置角摆动的刚体装置.-动力学方程动力学方程+转转动动正正方方向向omgh.c质心质心转轴o9振动振动（Vibration）谐振动共同特征：谐振动共同特征：物体在线性恢复力物体在线性恢复力(矩矩)作用下的运作用下的运动动 线性恢复力线性恢复力(矩矩)：具有大小与：具有大小与(相对于平衡位置相对于平衡位置)位位移成正比移成正比,方向始终指向平衡位置性质的力方向始终指向平衡位置性质的力(矩矩)只与系统本身有关只与系统本身有关10振动振动（Vibration）二、谐振动的运动方程谐振动的运动方程 由d2x/dt2+ 02x=0得x=Acos( t+ )=Asin( t+ + /2)=Asin( t+ )1。运动方程中各物理量运动方程中各物理量(1)周期、频率、角频率周期、频率、角频率周期周期T：完成一全振动所需的时间完成一全振动所需的时间Ax+=cos()tA+=cos()tT +一个周期后位移相等，所以一个周期后位移相等，所以T =211振动振动（Vibration）频率频率 ：单位时间完成振动次数：单位时间完成振动次数园频率园频率 ：2 秒内振动次数秒内振动次数(2)振幅振幅A：物体最大位移的绝对值物体最大位移的绝对值由初始条件确定由初始条件确定Ax t=0=x 0v t=0=v 012振动振动（Vibration）(3)位相（相位、周相）位相（相位、周相）约定：初位相约定：初位相 (- ， (4)两同频率谐振动位相之差两同频率谐振动位相之差x1=A1cos(t+1)x2=A2cos(t+2)=( t+ 2)-( t+ 1) = 2- 113振动振动（Vibration）a )= k2 (k=0,1,2) 同（位）相同（位）相x1x2xtoa )b )= (2k+1) (k=0,1,2) 反（位）相反（位）相x1x2toxb )c )为除上述两种情况外的一般情形为除上述两种情况外的一般情形x1x2tox12c )14振动振动（Vibration）谐振动的位移、速度及加速度位相关系谐振动的位移、速度及加速度位相关系vavaxxtoT15振动振动（Vibration） 例例 水面上浮有一方形木块，静止时水面以上高度为水面上浮有一方形木块，静止时水面以上高度为a，以下高度为以下高度为b。水密度为水密度为 ，木块密度为，木块密度为 ，不计水的阻力。，不计水的阻力。现用外力将木块压入水中，使木块上表面与水面平齐。现用外力将木块压入水中，使木块上表面与水面平齐。求求证：放手后木块将作谐振动，并写出谐振动方程证：放手后木块将作谐振动，并写出谐振动方程 平平衡衡位位置置bca.0xsy任任意意位位置置acb0xxs y.解解:(1).确定平衡位置确定平衡位置平平衡衡位位置置bca.0xsy16振动振动（Vibration）(2).任意位置木块受力分析：任意位置木块受力分析：任任意意位位置置acb0xxs y.线性恢复力线性恢复力所以木块作谐振动所以木块作谐振动: x=Acos(t-)由由牛顿定律：牛顿定律：17振动振动（Vibration）o解解:(1).确定平衡位确定平衡位置置x(2).写出写出任意位置处任意位置处物块的加速度物块的加速度T1mgT2T1a(1)(2)(3)(4)谐振动谐振动R,Jmx-x0已知：初态时弹簧处于原长已知：初态时弹簧处于原长（1）.证明物块作谐振动，证明物块作谐振动，（2）写出振动表达式。）写出振动表达式。例例18振动振动（Vibration）oR,Jmx-x019振动振动（Vibration） 例m, l 均质细杆AB可绕水平轴A 旋转,其B 端固定一轻质弹簧k,弹簧另一端固定于天花板.开始时,将B 端抬起使弹簧无变形,然后从静止释放.求证:细杆作简谐振动,并求振动周期及谐振方程km,lBAxqxbo谐振动谐振动20振动振动（Vibration）0V00oxt=1:oV00(2).旋转矢量法68振动振动（Vibration）oX69振动振动（Vibration）【例】【例】.质点按余弦规律作质点按余弦规律作谐振动，其谐振动，其v-t关系曲线如图关系曲线如图所示，周期所示，周期T=2。试求振动表达式。试求振动表达式。70振动振动（Vibration）四、谐振动的能量四、谐振动的能量以弹簧振子为例谐振动总能量与振幅平方成正比谐振动总能量与振幅平方成正比说明说明:该结论对任一谐振系统均成立该结论对任一谐振系统均成立2、谐振子能量变化规律及曲线谐振子能量变化规律及曲线变化规律: 系统系统EK、EP亦随时间作周期性变化亦随时间作周期性变化,其其频率是系统固有频率频率是系统固有频率2倍倍,尽管它们尽管它们之间相互转化之间相互转化,但任一时刻总能量守恒但任一时刻总能量守恒1、谐振动能量表达式谐振动能量表达式E =EEkp+A212k71振动振动（Vibration）EA212k=EkEpEtox,votAx=costv= A cos(t+/2)谐振子的动能、势能及总能量变化曲线谐振子的动能、势能及总能量变化曲线72振动振动（Vibration）解：解：（1）分析：平衡位置处）分析：平衡位置处v=vm，且是且是m1、m2分离处分离处m1m2光滑73振动振动（Vibration）m1m2光滑74振动振动（Vibration）解解（1）（1）（2）（3）【例】如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端连接【例】如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端连接一质量为一质量为M 的容器，容器可在光滑的水平面上运动，当的容器，容器可在光滑的水平面上运动，当弹簧未变形时容器位于弹簧未变形时容器位于o处，今使容器自处，今使容器自o点左端点左端l0处由处由静止开始运动，每经过静止开始运动，每经过o点一次时，从上方滴管中滴入一点一次时，从上方滴管中滴入一质量为质量为m的油的油滴。滴。求求（1）滴到容器中）滴到容器中n滴以后，容器运动到距滴以后，容器运动到距o点的最远距点的最远距离。离。（2）第（）第（n+1）滴与滴与n滴的时间间隔。滴的时间间隔。l0oMmx75振动振动（Vibration）l0oMmx76振动振动（Vibration） 例题例题4-34-3两根两根弹簧弹簧( (弹性系数分别为弹性系数分别为k k1 1,k,k2 2自然长自然长度均为度均为l0) )与物体与物体m m连接后作连接后作A A0 0的谐振的谐振. .当当m m运动到两运动到两弹簧处于自然长度时弹簧处于自然长度时, ,突然速度为突然速度为0 0的质点的质点m m0 0轻粘在轻粘在m m上上, ,求：求：m m0 0粘上后振动系统周期和振幅粘上后振动系统周期和振幅k1k2m mm02l0v0 0 0解解: :粘上后系统振动周期粘上后系统振动周期: :其中：M=m0+m， K=k1+k2证明：设证明：设m0与与m一起偏离平衡位置一起偏离平衡位置x77振动振动（Vibration）（粘接过程系统水平方向动量守恒）（粘接过程系统水平方向动量守恒）k1k2m mm02l0v0 0 0k1k2m mm02l0v 粘接过程粘接过程78振动振动（Vibration）由谐振能量求由谐振能量求A A粘接前粘接前粘接后粘接后k1k2m mm02l0v0 0 0k1k2m mm02l0v 粘接过程粘接过程79振动振动（Vibration）证明：证明： 平衡位置处平衡位置处80振动振动（Vibration）cosx111=+A()tcosx222=+A()txx12=+xcos=+A()t合振动的振幅为：合振动的振幅为：合合振动的初相为：振动的初相为：物体同时参与两分振动：物体同时参与两分振动：AA11A22xo4. 2 同方向同频率谐振动的合成同方向同频率谐振动的合成81振动振动（Vibration）旋转矢量法旋转矢量法xA210xAA212Asin2Asin11cos11Acos22A82振动振动（Vibration）合振幅的讨论12AA若若合振动加强合振动加强1AA2若若合振动减弱合振动减弱83振动振动（Vibration）解解: :由由x x1 1 t:xt:x0 0=0, =0, v v0 000 1 1= -= - /2 /2由由x x2 2 t: xt: x0 0= -A, = -A, v v0 0=0=02 2= = 例题例题4-64-6两谐振曲线如图示两谐振曲线如图示, ,它们是同频率谐动，它们是同频率谐动，求：它们合振动方程求：它们合振动方程t (s)x(cm)Ox1x20.050.1-5-55 5由由谐振曲线图谐振曲线图: : A=5cm, T=0.1sA=5cm, T=0.1s84振动振动（Vibration）利用矢量图求谐振合成利用矢量图求谐振合成OMOM1 1 =OM=OM2 2 = 5= 5 /4 /45 5 /4 /4 = 5 = 5 2 2 cmcmA= A= 2 OM 2 OM1 1 MxOM1M285振动振动（Vibration） 例题例题 已知：同方向谐振动已知：同方向谐振动x1=0.05cos(10t+30.05cos(10t+3 /4),/4), x2=0.06cos0.06cos(10t+10t+ /4/4),x3=0.07cos(10t+0.07cos(10t+ 3 3) )求求:(1) x1、x2合振动的合振动的A、 (2) 3为何值为何值,x1+x3振幅振幅最大最大? (3) 3为何值为何值,x2+x3振幅振幅最小最小? = /4+tg -1(A1/A2) A=A12+A22 =0.078A解解:（1）A1OA2 = 1- 2 = /2xOA2A186振动振动（Vibration）（2）13=（t+1)-(t+3) =2k (k=0,1,2)（3）23=(t+2)-(t+3) =(2k+1) (k=0,1, 2)xOA2A13=1- 2k= 3/4- 2k(-, 3=3/43=2-(2k+1)= /4-(2k+1)(-, 3=-3/487