正弦函数图像与性质正弦函数图像与性质正弦函数图像的作出 以上我们作出了以上我们作出了y=sinx，x0，2的图的图象，因为象，因为sin(2k+x)=sinx (kZ)，所以正弦，所以正弦函数函数y=sinx在在x2，0，x2，4，x4，6时的图象与时的图象与x0，2时的形状时的形状完全一样，只是位置不同。完全一样，只是位置不同。 现在把上述图象沿着现在把上述图象沿着x轴平移轴平移2，4，就得到就得到y=sinx，xR的图象。的图象。叫做叫做正弦曲线正弦曲线 正弦函数正弦函数y=sinx，xR，的图象叫做，的图象叫做正弦曲线正弦曲线例例1 用用五点法五点法作下列函数的简图作下列函数的简图(1) y=sinx，x0，2，(2) y=1+sinx，x0，2， (1)(2) y=1+sinx (x0, 2 )例例2利用正弦函数的图象，求满足下列条利用正弦函数的图象，求满足下列条件的件的x的集合：的集合：解：在解：在y轴上取点轴上取点(0, 0.5)，过该点作，过该点作x轴的平行线轴的平行线,与正弦函数图象相交于点与正弦函数图象相交于点 等，所以等，所以不等式的解集是不等式的解集是正弦函数正弦函数y=sinx性质性质 (1)定义域：定义域：y=sinx的定义域是的定义域是实数集实数集R(2)值域值域:正弦函数的值域是正弦函数的值域是1，1.当且仅当当且仅当x 2k，kZ时，正弦函数时，正弦函数取得最大值取得最大值1；当且仅当当且仅当x 2k，kZ时，正弦函时，正弦函数取得最小值数取得最小值1(3) 周期性周期性: 由由sin(x2k)sinx (kZ)知：知： 正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的这种性质称为的这种性质称为三角函数的周期性三角函数的周期性。正弦函数正弦函数y=sinx性质性质 对于函数对于函数f(x)，如果存在一个，如果存在一个非零常数非零常数T，使得定义域内任意使得定义域内任意x，都有，都有f(xT)f(x)，那么，那么函数函数f(x)就叫做就叫做周期函数周期函数，非零常数，非零常数T叫做这个叫做这个函数的函数的周期。周期。 对于一个周期函数对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期，如果在它所有的周期中存在一个中存在一个最小的正数最小的正数，那么这个最小正数就叫，那么这个最小正数就叫做做f(x)的的最小正周期。最小正周期。（有些周期函数没有最小正（有些周期函数没有最小正周期）周期）.注意：注意：(1) 周期函数中，周期函数中，x 定义域定义域M，则必有，则必有x+T M, 且若且若T0，则定义域无上界；，则定义域无上界；T0则定义域无下界；则定义域无下界；(2) “每一个值每一个值”，只要有一个反例，则，只要有一个反例，则f (x)就不为就不为周期函数（如周期函数（如f (x0+T) f (x0)）；）；(3) T往往是多值的（如往往是多值的（如y=sinx, T=2k 都是周都是周期期,最小正周期是最小正周期是2.） (4) 奇偶性奇偶性:由由sin(x)sinx,可知：可知：ysinx为奇函数为奇函数,因此正弦曲线关于原点因此正弦曲线关于原点O对称对称.(5)单调性单调性闭区间闭区间 2k， 2k(kZ)上都是增上都是增函数，其值从函数，其值从1增大到增大到1； 闭区间闭区间 2k， 2k(kZ)上都是减上都是减函数，其值从函数，其值从1减小到减小到1例例3：设：设sinx=t3，xR，求，求t的取值范围。的取值范围。 解：因为解：因为1sinx1, 所以所以1t31, 由此解得由此解得2t4.例例4： 求使下列函数取得最大值的自变量求使下列函数取得最大值的自变量x的的集合，并说出最大值是什么集合，并说出最大值是什么.(1) ysin2x，xR; (2) y=sin(3x+ ) 1 解解：(1) 令令w2x，那么，那么xR得得ZR，且使函，且使函数数ysinw，wR，取得最大值的集合是，取得最大值的集合是ww 2k，kZ由由2xw 2k，得得x k.即即 使函数使函数ysin2x，xR取得最大值的取得最大值的x的的集合是集合是xx k，kZ 函数函数ysin2x，xR的最大值是的最大值是1.(2) 当当3x+ =2k + 即即 x= (k Z)时时, y的最大值为的最大值为0.例例5：求下列三角函数的周期：求下列三角函数的周期：(1)y=sin(x+ )； (2) y=3sin( + ) (3) y=|sinx|解：解： (1) 令令z= x+ 而而 sin(2 +z)=sinz 即：即：f (2 +z)=f (z) ,f (x+2 )+ =f (x+ )函数的周期函数的周期T=2 .(2) y=3sin( ) 解：令解：令z= ， 则则 f (x)=3sinz=3sin(z+2 )函数的周期函数的周期T=4 .=f (x+4 ) =3sin( )=3sin( +2 )(3) y=|sinx|解：解：f(x+)=|sin(x+)|=|sinx|,所以函数的周期是所以函数的周期是T=. 一般地，函数一般地，函数yAsin(x)（其中（其中 ）的周期是）的周期是 例例6：不通过求值，指出下列各式大于：不通过求值，指出下列各式大于0还是还是小于小于0,(1)sin( )sin( )；(2)sin( )sin( )解：解：(1) 且函数且函数ysinx，x ， 是增函数是增函数即即sin( )sin( )0(2)sin( )sin sin( )sin 函数函数y=sinx在区间在区间( )内为增函数内为增函数,sin( )sin( )0.