方向导数概念与计算公式方向导数概念与计算公式梯度概念与计算梯度概念与计算小结小结 思考题思考题 作业作业directional derivative and gradient第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度数量场与向量场的概念数量场与向量场的概念第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用11. 方向导数的定义方向导数的定义 设有二元函数设有二元函数沿任何方向的变化率沿任何方向的变化率 考虑函数在某点考虑函数在某点射线是指有方向的半直线射线是指有方向的半直线,即即一、方向导数概念与计算公式一、方向导数概念与计算公式方向导数与梯度方向导数与梯度2定义定义 如果极限如果极限存在存在,则将这个极限值称为函数则将这个极限值称为函数在点在点记为记为即即注注方向导数是函数沿半直线方向的变化率方向导数是函数沿半直线方向的变化率.方向导数与梯度方向导数与梯度32. 方向导数的几何意义方向导数的几何意义的的几何意义为曲面几何意义为曲面,当限制当限制自变量沿方向自变量沿方向 变化时变化时,对应的空间点对应的空间点形成过形成过的铅垂平面与曲面的交线的铅垂平面与曲面的交线,这条交线在点这条交线在点M有一条有一条记此半切线与方向记此半切线与方向的夹角为的夹角为则由方向导数的则由方向导数的半切线半切线,定义得定义得方向导数与梯度方向导数与梯度4一定为正一定为正!是函数在某点沿是函数在某点沿任何方向任何方向的变化率的变化率.方向导数方向导数偏导数偏导数 分别是函数在某点沿分别是函数在某点沿平行于坐标轴平行于坐标轴的直线的直线x、y可正可负！可正可负！的变化率的变化率.注注方向导数与梯度方向导数与梯度5事实上事实上,的方向导数存在的方向导数存在,事实上事实上,同理同理,的方向导数存在的方向导数存在,方向导数与梯度方向导数与梯度存在时存在时,6方向导数与梯度方向导数与梯度反之反之,存在时存在时,是否是否一定存在一定存在7方向导数与梯度方向导数与梯度例如例如, 函数函数沿方向沿方向的方向导数的方向导数但但不存在不存在.即即z在在(0, 0)点的偏导数不存在点的偏导数不存在.8证证 由于函数由于函数可微可微,得到得到3. 关于方向导数的存在及计算公式关于方向导数的存在及计算公式 充分条件充分条件定理定理可可微微,则函数则函数且且则增量可表示为则增量可表示为两边同除以两边同除以方向导数与梯度方向导数与梯度9故有方向导数故有方向导数方向导数与梯度方向导数与梯度10注注 即为即为(1)(2)计算方向导数只需知道计算方向导数只需知道l 的方向及函数的的方向及函数的偏导数偏导数.方向导数与梯度方向导数与梯度在定点在定点的方向导数为的方向导数为(3)(4) 关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在可微可微11例例 考虑函数考虑函数 定点定点P0(3,1), P1(2,3).求求函数在函数在 P0沿沿 方向的方向导数方向的方向导数. 解解 方向导数与梯度方向导数与梯度12解解 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知(1) 最大值最大值;(2) 最小值最小值; (3) 等于零等于零?并问在并问在怎样的方向上此方向导数有怎样的方向上此方向导数有(这夹角为转角这夹角为转角)例例方向导数与梯度方向导数与梯度13故故方向导数达到最大值方向导数达到最大值方向导数达到最小值方向导数达到最小值方向导数等于方向导数等于和和(1) 最大值最大值; (2) 最小值最小值; (3) 等于零等于零?问在问在怎样的方向上此方向导数有怎样的方向上此方向导数有方向导数与梯度方向导数与梯度14方向导数与梯度方向导数与梯度求求函数函数 在点在点P( 2, 3 )沿曲线沿曲线朝朝x增大方向的方向导数增大方向的方向导数. .用参数方程表示为用参数方程表示为它在点它在点P 的的切向量为切向量为解解 将已知曲线将已知曲线15推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数对于三元函数它在空间一点它在空间一点的方向导数的方向导数, 可定义为可定义为方向导数与梯度方向导数与梯度同理同理,当函数在此点当函数在此点可微可微时时,那末函数在该点那末函数在该点沿任意方向沿任意方向l的方向导数都存在的方向导数都存在,且有且有是是l的方向向量的方向向量.16解解 令令故故其方向余弦为其方向余弦为1991年研究生考题年研究生考题, 计算计算,5分分例例方向导数与梯度方向导数与梯度17故故方向导数与梯度方向导数与梯度18练习练习求函数求函数 在点在点 处处沿沿解解切线方向的方向向量切线方向的方向向量(注意这时注意这时t=1)在此在此点的切线方向上点的切线方向上方向导数与梯度方向导数与梯度曲线曲线的方向导数的方向导数.191996年研究生考题年研究生考题, 填空填空,3分分解解 此此方向的方向向量为方向的方向向量为方向导数与梯度方向导数与梯度20问题问题方向导数与梯度方向导数与梯度二、梯度概念二、梯度概念与计算与计算已知方向导数公式已知方向导数公式方向：方向：模：模： 方向一致时方向一致时, ,方向导数取最大值方向导数取最大值f 变化率最大的方向变化率最大的方向f的最大变化率之值的最大变化率之值函数函数沿什么方向的方向导数为最大沿什么方向的方向导数为最大(gradient)一个二元函数在给定的点处沿不同方向一个二元函数在给定的点处沿不同方向的方向导数是不一样的的方向导数是不一样的.21方向导数与梯度方向导数与梯度定义定义记作记作读作读作nable.即即为函数为函数称向量称向量梯度梯度(gradient),称为称为或或算子算子, ,或或向量微分算子向量微分算子. .引入算符引入算符哈米尔顿算子哈米尔顿算子, ,设函数设函数可偏导可偏导,利用梯度的概念利用梯度的概念, ,可将方向导数计算公式写成可将方向导数计算公式写成22方向导数与梯度方向导数与梯度梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式23结论结论x轴到梯度的转角的正切为轴到梯度的转角的正切为函数在某点的函数在某点的梯度梯度是这样一个是这样一个向量向量,方向方向与取得与取得最大方向导数最大方向导数的方向一致的方向一致,它的它的而而它的模它的模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的模为梯度的模为方向导数与梯度方向导数与梯度24在几何上在几何上曲面被平面曲面被平面所得曲线在所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线面上投影是一条平面曲线等值线等值线梯度为等值线上的法向量梯度为等值线上的法向量表示一个曲面表示一个曲面,所截得所截得方向导数与梯度方向导数与梯度如图如图:25 法线的斜率法线的斜率为为:为等值线上点为等值线上点P处的处的法向量法向量.所以所以梯度梯度事实上事实上,由于等值线由于等值线上任一点上任一点方向导数与梯度方向导数与梯度等值线等值线26 类似于二元函数类似于二元函数,此梯度也是一个向量此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方向导数的方向一致其方向与取得最大方向导数的方向一致, 其其模为方向导数的最大值模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数三元函数三元函数在空间区域在空间区域G内内则对于每一点则对于每一点都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度)具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,方向导数与梯度方向导数与梯度27类似地类似地,设曲面设曲面为函数为函数此函数在点此函数在点的梯度的方向与过点的梯度的方向与过点P的等量面的等量面在在这点的法线的一个方向相同这点的法线的一个方向相同,的等量面指向数值较高的等量面的等量面指向数值较高的等量面,等于函数在这个法线方向的方向导数等于函数在这个法线方向的方向导数.且从数值较低且从数值较低而梯度的模而梯度的模方向导数与梯度方向导数与梯度28解解故故例例并问在哪些点处梯度为零向量并问在哪些点处梯度为零向量?=0=0=0方向导数与梯度方向导数与梯度处处的梯度的梯度,29方向导数与梯度方向导数与梯度设设 可导可导, ,其中其中处向径处向径的模的模, ,试证试证证证例例为点为点30方向导数与梯度方向导数与梯度例例 设函数设函数 (1) 求出求出沿什么方向具有最大的增长率沿什么方向具有最大的增长率,方向的变化率方向的变化率. (2) 最大增长率为多少最大增长率为多少?解解 (1) PQ方向的方向向量为方向的方向向量为31方向导数与梯度方向导数与梯度沿什么方向具有最大的增长率沿什么方向具有最大的增长率,(2) 最大增长率为多少最大增长率为多少?解解 方向具有最大的增长率方向具有最大的增长率,最大的增长率为最大的增长率为:即为即为梯度方向梯度方向.321992年研究生考题年研究生考题, 填空填空,3分分解解方向导数与梯度方向导数与梯度33方向导数与梯度方向导数与梯度函数函数数量场数量场 ( (数性函数数性函数) )场场向量场向量场( (矢性函数矢性函数) )可微函数可微函数梯度场梯度场( (势势) )( ( 势场势场 ) )如如: : 温度场温度场, ,电位场电位场, ,密度场密度场等等如如: : 力场力场, ,速度场等速度场等三、数量场与向量场的概念三、数量场与向量场的概念( (物理量的分布物理量的分布) )34例例解解其方向余弦为其方向余弦为方向导数与梯度方向导数与梯度35故故方向导数与梯度方向导数与梯度36方向导数的概念方向导数的概念梯度的概念梯度的概念方向导数与梯度的关系方向导数与梯度的关系(注意方向导数是数、方向导数与一般所说偏导注意方向导数是数、方向导数与一般所说偏导数的数的区别区别)(注意梯度是一个注意梯度是一个向量向量)梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数在这点增长在这点增长最快的方向最快的方向.方向导数与梯度方向导数与梯度四、小结四、小结数量场与向量场的概念数量场与向量场的概念37思考题思考题方向导数与梯度方向导数与梯度在点在点(是非题是非题)非非函数函数沿梯度方向的沿梯度方向的方向导数最大方向导数最大.因此因此,在在(1, 1)处最大的方向导数为处最大的方向导数为因为方向导数是数量因为方向导数是数量,而梯度是向量而梯度是向量.两者两者不能相等不能相等.方向导数与梯度的关系是方向导数与梯度的关系是:沿梯度方向的方向导数达到方向导数的最大值沿梯度方向的方向导数达到方向导数的最大值.数值上等于梯度的模数值上等于梯度的模.38作业作业习题习题8-78-7(51(51页页) ) 2. 3. 4. 5. 7. 10. 方向导数与梯度方向导数与梯度39