新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习新课标高中一轮总复习1第二单元第二单元函函 数数2第第15讲讲函数的综合应用函数的综合应用3 理理解解函函数数的的概概念念，掌掌握握函函数数的的图图象象和和性性质质，会会用用函函数数的的图图象象和和性性质质解解决决数数学学中中的的综综合合问问题题；理理解解函函数数与与方方程程、不不等等式式的的关关系系，会会用用这这些关系解决有关问题些关系解决有关问题.41.设设f(x)=xsinx,若若x1、x2 - , 且且f(x1)f(x2), 则则下下列列不不等等式式恒恒成成立的是立的是( )DA.x1x2 B.x10 D.x12x225 (方方法法一一)因因为为f(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=f(x),所所以以f(x)在在R上上是是偶偶函函数数.又又f(x1)f(x2)，所以所以f(|x1|)f(|x2|).又又f(x)在在0, 上是增函数，上是增函数，所以所以|x1|x2|，即即x12x22，故选，故选D.(方方法法二二)f(x)在在R上上是是偶偶函函数数,且且在在0, 上上递递增增,作图如右作图如右,由图象知由图象知|x1|x2|,即即x12x22,故选故选D.62.设设f(x)= (x1) 1 (x=1),若若关关于于x的的方方程程f2(x)+bf(x)+c=0有有三三个个不不同同的的实实数数解解x1、x2、x3，则，则x12+x22+x32等于（等于（ ）AA.5 B.2+C.13 D.3+7 作函数作函数f(x)的图象如图所示的图象如图所示.由图象知由图象知f(x)关于关于x=1对称对称,因此方因此方程的根也必须关于程的根也必须关于x=1对称对称.由由题题意意，方方程程三三个个根根，必必有有x1=1的的根根，另另外外两根有两根有x2+x3=2，且且由由 =1 2=0或或x2=2,则则x3=2或或x3=0.所所以以x12+x22+x32=5，选，选A.83.已已知知f(x)是是定定义义在在R上上且且以以3为为周周期期的的偶偶函函数数，且且f(2)=0，则则方方程程f(x)=0在在区区间间(0,6)内解的个数的最小值为内解的个数的最小值为( )BA.5 B.4 C.3 D.2 因为因为f(x)是偶函数是偶函数,所以所以f(-2)=f(2)=0.又因为又因为f(x)是以是以3为周期的周期函数，为周期的周期函数，所以所以f(-2)=f(1)=f(4)=0,f(2)=f(5)=0,故方程故方程f(x)=0在在(0,6)内至少有内至少有4个解个解.94.若若a1，且且a-m+logann0 B.m=n0C.nm0 D.不确定不确定 设设f(x)=a-x-logax，因因为为a1，所所以以f(x)为单调递减函数为单调递减函数.由由a-m+logana-n+logam，得得a-m-logama-n-logan,即即f(m)n0.101.函数的综合主要包括以下两个方面函数的综合主要包括以下两个方面(1)函函数数内内容容本本身身的的相相互互综综合合，如如函函数数的的概概念念、图图象象和和性性质质等等方方面面知知识识的的综综合合，复复合合函函数数等等.(2)函函数数与与其其他他知知识识的的综综合合，如如函函数数与与方方程程、不等式、三角函数、数列和几何的综合不等式、三角函数、数列和几何的综合.2.函函数数的的思思想想方方法法包包括括：化化归归、数数形形结结合合、分分类讨论等思想方法类讨论等思想方法11题型一题型一 恒成立问题恒成立问题例例1 f(x)=ax3-3x+1对于对于x-1,1总有总有f(x)0成立成立,求求a的值的值. 若若x=0,则不论则不论a取何值取何值,f(x)0显然成立显然成立,当当x0即即x(0,1时时，f(x)=ax3-3x+10，可可化为化为a - .12设设g(x)= - ，则，则g(x)= ,所以所以g(x)在区间在区间(0, 上单调递增，在区上单调递增，在区间间 ,1上单调递减，上单调递减，因此因此g(x)max=g( )=4,从而从而a4.当当x0即即x-1,0)时，时，f(x)=ax3-3x+1可化为可化为a - ,g(x)= - 在区间在区间-1,0)上单调递增，上单调递增，因此因此g(x)min=g(-1)=4，从而，从而a4,综上综上a=4. 函数的综合运用函数的综合运用,包括构造函数模型、包括构造函数模型、解决不等式的恒成立问题，通常采用分离参解决不等式的恒成立问题，通常采用分离参数后，构造函数模型求最值数后，构造函数模型求最值.13题型二题型二 比较参数值的大小比较参数值的大小例例2若正实数若正实数a、b满足满足ab=ba,且且ab B.abC.a=b D.不能确定不能确定a、b的大小的大小14由由a1,可得可得f(a)0,根据题意知根据题意知f(b)0,即即b0，所以函数所以函数f(x)在在(0,1)上是增函数，上是增函数，又又f(a)=f(b)，所以，所以a=b. 等等式式ab=ba两两边边取取对对数数可可以以转转化化为为 = ,构构造造函函数数f(x)= ,利利用用函函数数的的性性质质解题解题.15 在在近近几几年年的的高高考考中中，出出现现了了与与函函数数f(x)= 相相关关的的一一些些试试题题,若若利利用用函函数数f(x)= 的的图图象象和和性性质质进进行行求求解解，就就比比较简单易解较简单易解.函数函数f(x)= 的导函数的导函数f (x)= ,若若f (x)0,则则xe；若若f (x)e.即函数即函数f(x)= 在在(0,e上是增函数，上是增函数，16在在e,+)上上是是减减函函数数.且且注注意意x1时时，函函数数f(x)0，所所以以函函数数f(x)的的图图象象如如图图所所示示，由图象可得其性质由图象可得其性质.17 若若m、n是正整数，且是正整数，且nm1，求，求证：证：(1+m)n(1+n)m. (1+m)n(1+n)m (nm1),构造函数构造函数f(x)= (x1)，易知函数易知函数f(x)= 在在(1,+)上是减函数，上是减函数，当当nm1时，时，f(m)f(n),即即 ,所以所以(1+m)n(1+n)m.18题型三题型三 函数与不等式的综合问题函数与不等式的综合问题例例3 已已知知函函数数f(x)的的定定义义域域为为 0,1,且且同同时时满满足足：对对任任意意x0,1总总有有f(x)2；f(1)=3；若若x10，x20，且且x1+x21，则则有有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)-2.求：求：（1）f(0)的值；的值；（2）f(x)的最大值的最大值.19 (1)由条件由条件，得，得f(0)2，又由条件又由条件,取取x1=x2=0,得得f(0)2,所以所以f(0)=2.(2)任取任取x1、x20,1,且且x1x2,则则0x2-x11，所以所以f(x2-x1)2.又又f(x2)=f(x2-x1)+x1f(x2-x1)+f(x1)-2f(x1),所以所以f(x)在在0,1上为增函数，上为增函数，所以所以f(x)max=f(1)=3.20 已已 知知 f(x)是是 二二 次次 函函 数数 ， 不不 等等 式式f(x)0的的解解集集是是(0,5)，且且函函数数f(x)在在区区间间-1，4上的最大值是上的最大值是12.(1)求函数求函数f(x)的解析式；的解析式；(2)是是否否存存在在自自然然数数m,使使得得方方程程f(x)+ =0在在区区间间(m,m+1)内内有有且且只只有有两两个个不不等等的的实实数数根根？若若存存在在，求求出出所所有有m的的值值；若若不存在，说明理由不存在，说明理由.21 (1)因为函数因为函数f(x)是二次函数是二次函数,且且f(x)0),如图所示如图所示.又函数又函数f(x)在区间在区间-1,4上的最大值为上的最大值为12，由图象可知由图象可知f(-1)=6a=12,所以所以a=2,由此得到函数由此得到函数f(x)=2x(x-5)=2x2-10x.(2)方程方程f(x)+ =0等价于方程等价于方程2x3-10x2+37=0.设函数设函数g(x)=2x3-10x2+37,22则则g(x)=6x2-20x=2x(3x-10).当当x(0, )时时,g(x)0,g(x)在在( ,+)上是增函数上是增函数,又因为又因为g(3)=10，g( )=- 0,所所以以方方程程g(x)=0在在区区间间(3, ),( ,4)内内分分别别有有惟惟一一实数根实数根,而在区间而在区间(0,3),(4,+)内没有实根内没有实根,所所以以存存在在惟惟一一的的自自然然数数m=3,使使得得方方程程f(x)+ =0在区间在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根内有且只有两个不同的实数根.23 本本题题主主要要考考查查“三三个个二二次次”的的关关系系、函函数数的的单单调调性性、极极值值、最最值值、求求二二次次函函数数的的解解析析式式等等基基本本知知识识，考考查查运运用用导导数数研研究究函函数数性性质质的的方方法法，考考查查函函数数与与方方程程、数数形形结结合合等等思思想想方方法法和和分分析析问问题题、解解决决问问题题的的能能力力.与与二二次次函函数数有有关关的的综综合合题题涉涉及及面面广广，包包容容量量大大，几几乎乎贯贯穿穿高高中中数数学学的的各各个个章章节节，是是推推理理能能力力的的重重要要题型题型.241.理解函数的概念，掌握函数的图象和性质理解函数的概念，掌握函数的图象和性质是解决函数综合问题的基础，灵活运用函是解决函数综合问题的基础，灵活运用函数的图象、性质及数学思想方法是解决函数的图象、性质及数学思想方法是解决函数的综合问题的关键数的综合问题的关键.2.解决函数综合问题时，要认真分析、处理解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系、把握问题的主线，运用相关好各种关系、把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决的知识和方法逐步化归为基本问题来解决.要注意等价转换要注意等价转换(化归化归)、数形结合、分类、数形结合、分类讨论等数学思想和方法的综合运用讨论等数学思想和方法的综合运用.253.函函数数与与方方程程，函函数数与与不不等等式式是是函函数数的的综综合合中中最最重重要要的的部部分分，是是历历年年高高考考的的重点、热点和难点，应予以重视重点、热点和难点，应予以重视.4.隐隐函函数数问问题题：注注意意赋赋值值法法的的应应用用，其其次次要要充充分分的的利利用用已已知知的的条条件件挖挖掘掘隐隐含含条条件件，抽抽象象概概括括函函数数的的一一些些性性质质，如如奇偶性、单调性、周期性等奇偶性、单调性、周期性等.26学例1 (2009天津卷天津卷)已知函数已知函数 f(x)=x2+4x,x0 4x-x2,x0，若若f(2-a2)f(a)，则则实实数数a的的取值范围是（取值范围是（ ）CA.(-，-1)(2，+) B.(-1，2)C.(-2，1) D.(-，-2)(1，+) 本题解题的关键是正确作出函数的图象本题解题的关键是正确作出函数的图象,概括出函数在概括出函数在R上是单调递增函数上是单调递增函数. 所以由所以由f(2-a2)f(a) 2-a2a -2a1.27学例2 (2009全全国国卷卷)已已知知AC、BD为为圆圆O:x2+y2=4的的两两条条相相互互垂垂直直的的弦弦,垂垂足足为为M（1, ),则则四四边边形形ABCD的的面面积积的的最最大值为大值为 .5 如如图图，取取AC的的中中点点F，BD的的中中点点E,连接连接OE、OF，则则OEBD，OFAC.又又ACBD，所以四边形所以四边形OEMF为矩形为矩形.28设设OF=d1，OE=d2，所以所以d12+d22=OM2=3.又又|AC|= ,|BD|= ,所以所以S四边形四边形ABCD = |AC|BD|= = .因为因为0d223.所以当所以当d22= 时时,S四边形四边形ABCD有最大值为有最大值为5.29本节完，谢谢聆听