圆圆的的方方程程 一、内容归纳一、内容归纳1.知识精讲知识精讲.圆的方程圆的方程(1)标标准准式式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)，其其中中r为圆的半径，为圆的半径，(a，b)为圆心。为圆心。(2)一般式：一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)，其中圆心为，其中圆心为，半径为，半径为， (3)直径式：直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中，其中点点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）点。（用向量法证之） （4）半圆方程：）半圆方程：(5)圆系方程：圆系方程： i)过圆过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线和直线l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为的交点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0ii)过两圆过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(-1)该方程不包括圆该方程不包括圆C2；（时时为为一一条条直直线线方方程程，相相交交两两圆圆时时为为公公共共弦弦方方程程；两两等等圆圆时时则则为为两两圆圆的的对对称称轴方程）轴方程）(6)圆的参数方程圆的参数方程圆心在圆心在(0,0),半径为半径为r的圆的参数方程为的圆的参数方程为为参数为参数圆心在圆心在(a,b),半径为半径为r的圆的参数方程为的圆的参数方程为为参数为参数圆圆 的的 一一 般般 方方 程程 与与 二二 元元 二二 次次 方方 程程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系；的关系；二二元元二二次次方方程程表表示示圆圆的的充充要要条条件件A=C0，B=0，D2+E2-4AF0。二、问题讨论二、问题讨论例例1、根据下列条件，求圆的方程。、根据下列条件，求圆的方程。 (1)和和圆圆x2+y2=4相相外外切切于于点点P(-1，)，且且半半径径为为4；(2)经经过过坐坐标标原原点点和和点点P(1，1)，并并且且圆圆心心在在直直线线2x+3y+1=0上上；(3)已已知知一一圆圆过过P(4，-2)、Q(-1，3)两两点点，且且在在y轴轴上上截截得得的的线线段段长长为为4，求求圆圆的的方方程。程。思思维维点点拔拔无无论论是是圆圆的的标标准准方方程程或或是是圆圆的的一一般般方方程程，都都有有三三个个待待定定系系数数，因因此此求求圆圆的的方方程程，应应有有三三个个条条件件来来求求。一一般般地地，已已知知圆圆心心或或半半径的条件，选用标准式，否则选用一般式。径的条件，选用标准式，否则选用一般式。例例2(优化设计优化设计P112例例1)设设为为两两定定点点，动动点点P到到A点点的的距距离离与与到到B点点的的距距离离的的比比为定值为定值，求，求P点的轨迹。点的轨迹。【评述评述】上述解法是直接由题中条件，建立上述解法是直接由题中条件，建立方程关系方程关系,，然后化简方程，这种求曲线方程，然后化简方程，这种求曲线方程的方法称为直接法。的方法称为直接法。例例3、(优优化化设设计计P112例例2)一一圆圆与与y轴轴相相切切，圆圆心心在在直直线线上上，且且直直线线截截圆圆所所得得的弦长为的弦长为，求此圆的方程。，求此圆的方程。【评述评述】求圆的弦长方法求圆的弦长方法（1）几几何何法法：用用弦弦心心距距，半半径径及及半半弦弦构构成直角三角形的三边成直角三角形的三边（2）代数法：用弦长公式）代数法：用弦长公式例例4、已已知知 O的的半半径径为为3，直直线线与与 O相相切切，一一动动圆圆与与相相切切，并并与与 O相相交交的的公公共共弦弦恰恰为为 O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。的直径，求动圆圆心的轨迹方程。BOMACxy【点评点评】建立适当的建立适当的坐标系能使求轨迹方坐标系能使求轨迹方程的过程较简单、所程的过程较简单、所求方程的形式较求方程的形式较“整整齐齐”.备用题：备用题：例例5、设定点、设定点M(-3，4)，动点，动点N在圆在圆x2+y2=4上上运动，以运动，以OM、ON为两边作平行四边形为两边作平行四边形MONP，求点，求点P的轨迹。的轨迹。思维点拔思维点拔：求与圆有关的轨迹问题，充分利：求与圆有关的轨迹问题，充分利用圆的方程和圆的几何性质，找出动点与圆上用圆的方程和圆的几何性质，找出动点与圆上点之间的关系或动点所满足的几何条件。点之间的关系或动点所满足的几何条件。例例6、已已知知圆圆的的方方程程是是：x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0，其中，其中a1，且，且aR。(1)求求证证：a取取不不为为1的的实实数数时时，上上述述圆圆恒恒过过定点；定点；(2)求与圆相切的直线方程；求与圆相切的直线方程；(3)求圆心的轨迹方程。求圆心的轨迹方程。思思维维点点拔拔：本本题题是是含含参参数数的的圆圆的的方方程程，与与圆圆的的参参数数方方程程有有本本质质的的区区别别。当当参参数数取取某某一一确确定定的的值值时时，方方程程表表示示一一个个确确定定的的圆圆，当当a变变动动时时，方方程程表表示示圆圆的的集集合合，即即圆圆系系。解解本本题题(1)可可用用分分离离系系数数法法求求解解；(2)可可用用待待定定系系数数法法求求解解；(3)可可用配方法求解。用配方法求解。一一般般地地，过过两两圆圆C1：f(x，y)=0与与C2：g(x，y)=0的交点的圆系方程为：的交点的圆系方程为：f(x，y)+g(x，y)=0(为参数为参数)。三、课堂小结三、课堂小结1、求求圆圆的的方方程程：主主要要用用待待定定系系数数法法，有有两两种种求求数数，一一是是利利用用圆圆的的标标准准方方程程，求求出出圆圆心心坐坐标标和和半半径径；二二是是利利用用圆圆的的一一般般方方程程求求出出系系数数D、E、F的值。的值。2、已已知知圆圆经经过过两两已已知知圆圆的的交交点点，求求圆圆的的方方程程，用经过两圆交点的圆系方程简捷。用经过两圆交点的圆系方程简捷。3、解解答答圆圆的的问问题题，应应注注意意数数形形结结合合，充充分分运运用用圆的几何性质，简化运算。圆的几何性质，简化运算。4、与与圆圆有有关关的的轨轨迹迹问问题题，可可根根据据题题设设条条件件选选择择适适当当方方法法（如如直直接接法法、定定义义法法、动动点点转转移移法法等等），有有时时还还需需要要结结合合运运用用其其他他方方法法，如如交交轨轨法、参数法等。法、参数法等。