第一节两个计数原理考纲点击掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题.热点提示以选择题或填空题的形式考查两个计数原理的应用以及对实际问题的分析处理能力.1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法那么完成这件事共有N_种不同的方法mn2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法mn在解题过程中如何判定用分类加法计数原理还是用分步乘法计数原理？ 【提示】如果已知的每类办法中的每一种方法都能完成这件事，应该用分类加法计数原理；如果每类办法中的每一种方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法计数原理. 1从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为()A6种 B5种C3种 D2种【解析】“完成这件事”即选出一人作主持人，可分选女主持人和男主持人两类进行，分别有3种和2种，共有325种【答案】B25位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A10种 B20种C25种 D32种【解析】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，所以每位同学都有两种选择方法由分步乘法计数原理得共有222222532种方法【答案】D3从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人1天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有()A40种 B60种C100种 D120种【答案】B4在5张卡片的正反两面上，分别写着数字0和1,2和3,4和5,6和7,8和9，将它们中的任意三张并排组成三位数，不同的三位数的个数为_【答案】4325从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答)【解析】可分两步解决第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：第一步，先选学习委员有4种选法，第二步选体育委员有3种选法由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有34336种【答案】36【思路点拨】采用列举法分类，先确定一个加数，再利用“和大于20”确定另一个加数【自主解答】当一个加数是1时，另一个加数只能是20,1种取法当一个加数是2时，另一个加数可以是19,20,2种取法当一个加数是3时，另一个加数可以是18,19,20,3种取法当一个加数是10时，另一个加数可以是11,12，20,10种取法当一个加数是11时，另一个加数可以是12,13，20,9种取法当一个加数是19时，另一个加数是20,1种取法由分类加法计数原理可得共有12310981100种取法1.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理2在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏教师选讲在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【解析】方法一：根据题意，将十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知：符合题意的两位数共有8765432136(个)方法二：分析个位数字，可分以下几类：个位是9，则十位可以是1,2,3，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1,2,3，7中的一个，故有7个；同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；个位是2的只有1个由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有1234567836(个)【思路点拨】确定横坐标a确定纵坐标b分步计数原理或间接法确定点的个数【自主解答】(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法根据分步计数原理，得到平面上的点数是6636(个)(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a0，所以有2种确定方法由分步计数原理，得到第二象限点的个数是326(个)(3)点P(a，b)在直线yx上的充要条件是ab.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线yx上的点有6个由(1)得不在直线yx上的点共有36630(个)1.如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理2解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还是分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取1某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注若这个人要把符合这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？【解析】第1步：从01到17中选3个连续号有15种选法；第2步：从19到29中选2个连续号有10种选法；第3步：从30到36中选1个号有7种选法由分步乘法计数原理可知：满足要求的注数共有151071 050注，故至少要花1 05022 100元【思路点拨】先根据条件把“比2 000大的四位偶数”分类选取千位上的数字选取百位上的数字选取十位上的数字【解析】完成这件事有3类方法：第一类是用0做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法依据分步乘法计数原理，这类数的个数有44348个；第二类是用2做结尾的比2 000大的4位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法依据分步乘法计数原理，这类数的个数有34336个；第三类是用4做结尾的比2 000大的4位偶数，其步骤同第二类对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的比2 000大的四位偶数有443343343120个在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步2将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数【解析】如右图所示，由题知，四棱锥SABCD的顶点S、A、B所染颜色互不相同，染色方法共有54360种当S、A、B已染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3；若C染颜色2，则D可染颜色3、4、5之一，有3种染法；若C染颜色4，则D可染颜色3或5，有2种染法；若C染颜色5，则D可染颜色3或4，也有2种染法可见，当S、A、B已染好时，C与D还有7种染法因此不同的染色方法共有607420种(12分)中央电视台“开心辞典”节目的现场观众来自四个不同的单位，分别在图中的A、B、C、D四个区域落座现有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同色服装，且相邻区域不能同色，则不同的着装方法共有多少种？【思路点拨】可把四个区域分为两种情况：A与C、B与D.先讨论A与C的着装，后讨论B与D的着装【规范解答】当A、B、C、D四个区域的观众服装颜色全不相同时，有432124种不同的方法；3分当A区与C区同色，B区和D区不同色且不与A、C同色时，或B区、D区同色，A区、C区不同色且不与B、D同色时，有243248种不同的方法；6分当A区与C区同色，B区与D区也同色且不与A、C同色时，有4312种不同的方法.9分由分类计数原理知共有24481284种不同的着装方法.12分解决计数问题的求解方法：(1)首先要明确“完成一件事”是需分类还是分步；分类时，类与类之间应避免交叉重复且要互补；分步时，步与步之间应用连续性其次对较复杂的问题，一般是先分类，各类之中再分步，分类时要注意选好分类标准，设计好分类方案，要防止重复和遗漏(2)一些非常规计数问题的解决方法枚举法将各种情况通过树形图、表格等方法一一列举出来，它适用于计数种数较少的情况，将问题分类实际也是将分类种数一一列举出来间接法若计数时分类较多，或无法直接计数时，可用间接法先求出没有限制的个数，再用总数减去1(2009年北京高考)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A324 B328C360 D648【答案】B2(2009年湖南高考)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A85 B56C49 D28【答案】【答案】C【答案】C3(2009年全国高考)甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有()A150种 B180种C300种 D345种【答案】D教师选讲(2009年天津)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有_个(用数字作答)【答案】3241两个基本原理作为两种计数的方法，是指完成某件事的所有方法的种数，因而要求我们计数时不能出现重复，也不能出现遗漏，使用哪个基本原理就要看是否适合这个原理的条件，否则就容易出错2要重视教材中例题的示范作用初步解决以下几个方面的问题：首先是通过实例看满足什么条件时使用分类计数原理，满足什么条件时使用分步计数原理；其次通过实例的类比了解两个原理的意义及其区别；另外，更重要的是通过例题初步了解解决实际问题的基本思想方法，如“分类”的思想、“分步”的思想等课时提能精练点击进入链接