第五节对 数 函 数【知识梳理知识梳理】1.1.必会知识教材回扣填一填必会知识教材回扣填一填(1)(1)对数的概念对数的概念: :如果如果a ax x=N(a0,=N(a0,且且a1),a1),那么数那么数x x叫做以叫做以a a为底为底N N的对数的对数, ,记作记作x=_.x=_.logloga aN N(2)(2)对数的性质、换底公式与运算性质对数的性质、换底公式与运算性质: :性质性质logloga a1=_;log1=_;loga aa=_; =_.a=_; =_.换底换底公式公式logloga ab=_b=_(a,c(a,c均大于均大于0 0且不等于且不等于1,b0)1,b0)运算运算性质性质如果如果a0,a0,且且a1,M0,N0,a1,M0,N0,那么那么: :logloga a(M(MN)=_;N)=_;logloga a =_;=_;logloga aM Mn n=_(nR)=_(nR)0 01 1N Nlogloga aM+logM+loga aN Nlogloga aM-logM-loga aN Nnlognloga aM M(3)(3)对数函数的定义、图象与性质对数函数的定义、图象与性质: :定义定义函数函数_叫做对数函数叫做对数函数图象图象a1a10a10a0,x(a0,且且a1)a1)性质性质定义域定义域:_:_值域值域:_:_当当x=1x=1时时,y=0,y=0,即过定点即过定点_当当0x10x1时时,y0;,y1x1时时,_,_当当0x10x0;,y0;当当x1x1时时,_,_在在(0,+)(0,+)上为上为_在在(0,+)(0,+)上为上为_(0,+)(0,+)(-,+)(-,+)(1,0)(1,0)y0y0y0y0,a0,且且a1,b0,a1,b0,且且b1,m,nR.b1,m,nR.(2)(2)对数函数的图象与底数大小的比较对数函数的图象与底数大小的比较如图如图, ,作直线作直线y=1,y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数数. .故故0cd1ab.0cd1ab.由此我们可得到以下规律由此我们可得到以下规律: :在第一象限内从左到右底在第一象限内从左到右底数逐渐增大数逐渐增大. .3.3.必用技法核心总结看一看必用技法核心总结看一看(1)(1)常用方法常用方法: :换元法、图象平移法换元法、图象平移法. .(2)(2)数学思想数学思想: :数形结合思想、分类讨论思想数形结合思想、分类讨论思想. .(3)(3)记忆口诀记忆口诀:换底公式的记忆口诀换底公式的记忆口诀换底公式真神奇换底公式真神奇, ,换成新底可任意换成新底可任意, ,原底加底变分母原底加底变分母, ,真数加底变分子真数加底变分子. .对数函数性质口诀对数函数性质口诀对数函数很简单对数函数很简单, ,图象恒过图象恒过(1,0)(1,0)点点. .a a大大1 1时单调增时单调增,(0,1),(0,1)之间单调减之间单调减. .图象都在图象都在y y轴右轴右, ,第一象限底逆减第一象限底逆减. .【小题快练小题快练】1.1.思考辨析静心思考判一判思考辨析静心思考判一判(1)log(1)loga ax x2 2=2log=2loga ax.(x.() )(3)(3)函数函数y=ln y=ln 与与y=ln(1+x)-ln(1-x)y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同的定义域相同.(.() )(4)(4)若若logloga amlogmloga an,n,则则mn.(m0,a1)a0,a1)的图象如图的图象如图, ,则下列结论成立的是则下列结论成立的是( () )A.a1,c1A.a1,c1B.a1,0c1,0c1C.0a1C.0a1D.0a1,0c1D.0a1,0c0,x(a0,且且a1)a1)的图象的图象如图所示如图所示, ,则下列函数图象正确的是则下列函数图象正确的是( () )【解题提示解题提示】利用图象的变换知识利用图象的变换知识, ,或利用函数的增减性来排除干扰或利用函数的增减性来排除干扰项项. .【解析解析】选选B.B.由题得由题得,a=3,a=3,因此因此,A,A选项函数为选项函数为y=3y=3-x-x= ,= ,在定义域内在定义域内是减函数是减函数, ,图象不对图象不对;B;B选项函数为选项函数为y=xy=x3 3, ,图象正确图象正确;C;C选项函数为选项函数为y=y=(-x)(-x)3 3, ,在定义域内应是减函数在定义域内应是减函数, ,图象不对图象不对;D;D选项选项y=logy=log3 3(-x)(-x)应与应与y=logy=log3 3x x的图象关于的图象关于y y轴对称轴对称, ,因此不符因此不符. .【加固训练加固训练】1.1.函数函数y= y= 的图象大致为的图象大致为( () )2.2.函数函数f(x)=ln xf(x)=ln x的图象与函数的图象与函数g(x)=xg(x)=x2 2-4x+4-4x+4的图象的交点个数为的图象的交点个数为( () )A.0A.0B.1B.1C.2D.3D.3考点考点3 3对数函数的性质及其应用对数函数的性质及其应用知知考情考情对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一, ,主要考查主要考查比较对数值的大小比较对数值的大小, ,解简单的对数不等式解简单的对数不等式, ,有时考查判断对数型函数的有时考查判断对数型函数的单调性、奇偶性及最值问题单调性、奇偶性及最值问题. .多以选择题或填空题的形式考查多以选择题或填空题的形式考查, ,难度低、难度低、中、高档都有中、高档都有. .明明角度角度命题角度命题角度1:1:求函数的定义域求函数的定义域【典例典例3 3】(2014(2014山东高考山东高考) )函数函数f(x)= f(x)= 的定义域为的定义域为( () )A.(0,2)A.(0,2)B.(0,2B.(0,2C.(2,+)C.(2,+)D.2,+)D.2,+)【解题提示解题提示】本题考查了函数的定义域本题考查了函数的定义域, ,对数函数的性质对数函数的性质, ,利用定义域利用定义域的求法的求法:1.:1.分母不为零分母不为零;2.;2.被开方数为非负数被开方数为非负数;3.;3.真数大于真数大于0 0求定义域求定义域. .【解析解析】选选C.C.由定义域的求法知由定义域的求法知: : 解得解得x2,x2,故选故选C.C.命题角度命题角度2:2:比较对数值的大小比较对数值的大小【典例典例4 4】(2014(2014辽宁高考辽宁高考) )已知已知 则则( () )A.abcA.abcB.acbB.acbC.cabC.cabD.cbaD.cba【解题提示解题提示】结合指数函数与对数函数的图象及性质结合指数函数与对数函数的图象及性质, ,判断判断a,b,ca,b,c的范的范围围, ,确定大小确定大小. .【解析解析】选选C.C.由于指数函数由于指数函数y=2y=2x x在在R R上为增函数上为增函数, ,则则0 0 2 20 0=1;=1;而对数函数而对数函数y=logy=log2 2x x为为(0,+)(0,+)上的增函数上的增函数, ,则则loglog2 2 log ab.,cab.命题角度命题角度3:3:解对数不等式解对数不等式【典例典例5 5】(2015(2015宁波模拟宁波模拟) )设函数设函数f(x)=f(x)=若若f(a)f(-a),f(a)f(-a),则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是( () )A.(-1,0)(0,1).A.(-1,0)(0,1).B.(-,-1)(1,+)B.(-,-1)(1,+)C.(-1,0)(1,+)C.(-1,0)(1,+)D.(-,-1)(0,1)D.(-,-1)(0,1)【解题提示解题提示】由由a0a0或或a0af(-a),f(a)f(-a),列出不等式组求解列出不等式组求解, ,化简化简中注意到换底公式的应用中注意到换底公式的应用. .【规范解答规范解答】选选C.C.由题意可得由题意可得 或或 解得解得a1a1或或-1a0.-1alogxloga ab b的不等式的不等式, ,借助借助y=logy=loga ax x的单调性求解的单调性求解, ,如果如果a a的取的取值不确定值不确定, ,需分需分a1a1与与0a10abxb的不等式的不等式, ,需先将需先将b b化为以化为以a a为底的对数式的形式为底的对数式的形式. .通通一类一类1.(20131.(2013新课标全国卷新课标全国卷)设设a=loga=log3 32,b=log2,b=log5 52,c=log2,c=log2 23,3,则则( () )A.acbA.acbB.bcaB.bcaC.cbaC.cbaD.cabD.cab【解析解析】选选D.D.方法一方法一:a=log:a=log3 32log2log3 33=1,b=log3=1,b=log5 52log2log3log2 22=1,2=1,又又loglog3 32= ,log2= ,log5 52= ,lg3lg5,2= ,lg3log2log5 52,2,综上综上cab.cab.故选故选D.D.方法二方法二: :因为因为 23,12 ,23,12 ,所以所以loglog3 3 loglog3 32log2log3 33,log3,log5 51log1log5 52log2log3log2 22,2,所以所以 a1,0ba1,0b1,c1,所以所以cab.cab.2.(20152.(2015开封模拟开封模拟) )设函数设函数f(x)= f(x)= 则满足则满足f(x)2f(x)2的的x x的取值范围是的取值范围是( () )A.-1,2A.-1,2B.0,2B.0,2C.1,+)C.1,+)D.0,+)D.0,+)【解析解析】选选D.D.当当x1x1时时,2,21-x1-x2,2,解得解得x0,x0,所以所以0x1;0x1;当当x1x1时时, ,1-log1-log2 2x2,x2,解得解得x ,x ,所以所以x1.x1.综上可知综上可知x0.x0.3.(20153.(2015中山模拟中山模拟) )已知函数已知函数f(x)=logf(x)=loga a(8-ax)(a0,a1),(8-ax)(a0,a1),若若f(x)1f(x)1在区间在区间1,21,2上恒成立上恒成立, ,则实数则实数a a的取值范围为的取值范围为. .【解析解析】当当a1a1时时,f(x)=log,f(x)=loga a(8-ax)(8-ax)在在1,21,2上是减函数上是减函数, ,由由f(x)1f(x)1恒成立恒成立, ,则则f(x)f(x)m minin=log=loga a(8-2a)1,(8-2a)1,解之得解之得1a ,1a ,若若0a10a1f(x)1恒成立恒成立, ,则则f(x)f(x)m minin=log=loga a(8-a)1,(8-a)1,故故8-2a0,8-2a0,所以所以a4,a4,又因为又因为0a1,0a1a1解题解题. .【规避策略规避策略】1.1.注意分类讨论注意分类讨论对数函数的底数决定了对数函数的单调性对数函数的底数决定了对数函数的单调性, ,对数函数在闭区间上的最对数函数在闭区间上的最值取决于其单调性值取决于其单调性, ,如果对数函数的底数含有参数如果对数函数的底数含有参数, ,在处理有关问题时在处理有关问题时, ,必须对参数进行讨论必须对参数进行讨论. .2.2.解决与对数有关问题的两个关注点解决与对数有关问题的两个关注点: :(1)(1)务必先研究函数的定义域务必先研究函数的定义域.(2).(2)对数函数的单调性取决于底数对数函数的单调性取决于底数a,a,应应注意底数的取值范围注意底数的取值范围. .【自我矫正自我矫正】(1)(1)若若a1,a1,则函数则函数y=logy=loga ax(2x4)x(2x4)为增函数为增函数, ,由题意得由题意得logloga a4-log4-loga a2=log2=loga a2=1,2=1,所以所以a=2,a=2,又又21,21,符合题意符合题意. .(2)(2)若若0a1,0a1,则函数则函数y=logy=loga ax(2x4)x(2x4)为减函数为减函数, ,由题意得由题意得logloga a2-log2-loga a4=log4=loga a =1, =1,所以所以a= ,a= ,又又0 1,0 1,符合题意符合题意. .综上可得综上可得a=2a=2或或a= .a= .答案答案:2:2或或