2024/7/251CHAPTER2 线性规划及单纯形法 (LINEAR PROGRAMMING) LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论人工变量法 LP模型的应用本章主要内容：本章主要内容：2024/7/252线性规划问题的数学模型1. 规划问题生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。线性规划通常解决下列两类问题：线性规划通常解决下列两类问题：（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）2024/7/253线性规划问题的数学模型例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最大？ xa2024/7/254线性规划问题的数学模型例1.2 某厂生产两种产品，下表给出了单位产品所需资源及单位产品利润 问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？ 解：1.决策变量：设产品I、II的产量 分别为 x1、x22.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x23.约束条件： 5x2 15 6x1+ 2x2 24 x1+ x2 5 x1， x202024/7/255线性规划问题的数学模型例1.3 已知资料如下表所示，问如何安排生产才能使利润最大？ 设设 备备产产 品品 A B C D利润利润（元）（元） 2 1 4 0 2 2 2 0 4 3 有有 效效 台台 时时12 8 16 12解：1.决策变量：设产品I、II的产量分别为 x1、x22.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + 3x23.约束条件： x1 0 , x2 0 2x1 + 2x2 12 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 122024/7/256线性规划问题的数学模型例1.4 某厂生产三种药物，这些药物可以从四种不同的原料中提取。下表给出了单位原料可提取的药物量 解：要求：生产A种药物至少160单位；B种药物恰好200单位，C种药物不超过180单位，且使原料总成本最小。1.决策变量：设四种原料的使用 量分别为：x1、x2 、x3 、x42.目标函数：设总成本为z min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x43.约束条件： x1 + 2x2 + x3 + x4 160 2x1 +4 x3 +2 x4 200 3x1 x2 +x3 +2 x4 180 x1、x2 、x3 、x4 02024/7/257 例1.5 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、货运成本如下表所示：航线号航线号船队船队类型类型编队形式编队形式货运成本货运成本（千元队）（千元队）货运量货运量（千吨）（千吨）拖轮拖轮A型型驳船驳船B型型驳船驳船1112362521436202322472404142720船只种类船只种类船只数船只数拖拖 轮轮30A型驳船型驳船34B型驳船型驳船52航线号航线号合同货运量合同货运量12002400问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型2024/7/258 解：设：xj为第j号类型船队的队数（j = 1，2，3，4）， z 为总货运成本则： min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4 x1 + x2 + 2x3 + x4 30 2x1 + 2x3 34 4x2 + 4x3 + 4x4 5225x1+20x2 200 40x3+20x4 400 xj 0 （ j = 1,2,3,4）线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型2024/7/259线性规划问题的数学模型2. 2. 线性规划的数学模型由三个要素构成线性规划的数学模型由三个要素构成决策变量决策变量 Decision variables Decision variables 目标函数目标函数 Objective functionObjective function约束条件约束条件 ConstraintsConstraints其特征是：其特征是：（1 1）问题的目标函数是多个决策变量的）问题的目标函数是多个决策变量的线性线性函数，函数，通常是求最大值或最小值；通常是求最大值或最小值；（2 2）问题的约束条件是一组多个决策变量的）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性线性不不等式或等式。等式或等式。 怎样辨别一个模型是线性规划模型？怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 2024/7/2510线性规划问题的数学模型3. 3. 建模条件建模条件 (1) (1) 优化条件优化条件优化条件优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且能够用极值（能够用极值（能够用极值（能够用极值（max max 或或或或 min min）来表示；）来表示；）来表示；）来表示；(2)(2) 限定条件限定条件限定条件限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的线性等式或线性不等式表示；用决策变量的线性等式或线性不等式表示；用决策变量的线性等式或线性不等式表示；用决策变量的线性等式或线性不等式表示；(3)(3) 选择条件选择条件选择条件选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找出最优方案。出最优方案。出最优方案。出最优方案。2024/7/2511线性规划问题的数学模型4. 4. 建模步骤建模步骤 (1) (1) 确定决策变量确定决策变量确定决策变量确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。一般：即需要我们作出决策或选择的量。一般：即需要我们作出决策或选择的量。一般：即需要我们作出决策或选择的量。一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；情况下，题目问什么就设什么为决策变量；情况下，题目问什么就设什么为决策变量；情况下，题目问什么就设什么为决策变量；(2)(2) 找出所有限定条件找出所有限定条件找出所有限定条件找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束；：即决策变量受到的所有的约束；：即决策变量受到的所有的约束；：即决策变量受到的所有的约束；(3)(3) 写出目标函数写出目标函数写出目标函数写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是：即问题所要达到的目标，并明确是：即问题所要达到的目标，并明确是：即问题所要达到的目标，并明确是max max 还是还是还是还是 min min。2024/7/2512线性规划问题的数学模型目标函数：目标函数：约束条件：约束条件：5. 5. 线性规划数学模型的一般形式线性规划数学模型的一般形式简写为：2024/7/2513线性规划问题的数学模型向量形式：向量形式：其中：2024/7/2514线性规划问题的数学模型矩阵形式：矩阵形式：其中：2024/7/2515线性规划问题的数学模型6. 线性规划问题的标准形式特点：(1)目标函数求最大值；(2) 约束条件为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零；(3) 决策变量xj为非负。2024/7/2516线性规划问题的数学模型（2 2）如何化标准形式）如何化标准形式 目标函数的转换 如果是求极小值即 ，则可将目标函数乘以(-1)，可化为求极大值问题。也就是：令 ，可得到上式。即 若存在取值无约束的变量 ，可令 其中： 变量的变换2024/7/2517线性规划问题的数学模型 约束方程的转换：由不等式转换为等式。称为松弛变量称为剩余变量 常量 bi0 的变换:约束方程两边乘以（1）2024/7/2518线性规划问题的数学模型例1.6 将下列线性规划问题化为标准形式用 替换 ，且 解:（）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以2024/7/2519线性规划问题的数学模型(2) 第一个约束条件是“”号，在“”左端加入松驰变量x4，x40,化为等式；(3) 第二个约束条件是“”号，在“”左端减去剩余变量x5，x50；(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右端常数项化为正数； (5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到max z=-z，即当z达到最小值时z达到最大值，反之亦然;2024/7/2520线性规划问题的数学模型标准形式如下：2024/7/2521 例1.7 将下列线性规划问题化为标准形式为无约束（无非负限制）线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型2024/7/2522 解: 标准形式如下：线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型2024/7/2523 例1.8 将线性规划问题化为标准型解：线性规划问题的数学模型线性规划问题的数学模型无约束2024/7/2524线性规划问题的数学模型7. 线性规划问题的解线性规划问题求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。2024/7/2525线性规划问题的数学模型 可行解：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。 基：设A为约束条件的mn阶系数矩阵(m04010出基将3化为15/311801/301/31011/3303005/304/3乘以1/3后得到103/51/518011/5 2/5400112024/7/2547单纯形法的计算步骤例1.13 用单纯形法求解解：将数学模型化为标准形式：不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。2024/7/2548单纯形法的计算步骤cj12100icB基变量基变量bx1x2x3x4x50x4152-32100x5201/31501121000x42x220x x2 221/3150120753017131/309022560x x1 111017/31/31250128/9-1/92/335/300-98/9 -1/9 -7/32024/7/2549变成标准型单纯形法的计算步骤例1.14 用单纯形法求解2024/7/2550约束方程的系数矩阵 为基变量为非基变量I 为单位矩阵且线性独立单纯形法的计算步骤单纯形法的计算步骤2024/7/25512024/7/25522024/7/25532024/7/2554单纯形法的计算步骤学习要点：1. 线性规划解的概念以及3个基本定理2. 熟练掌握线性规划问题的标准化 3.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤2024/7/2555单纯形法的进一步讨论人工变量法人工变量法：前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。2024/7/2556单纯形法的进一步讨论人工变量法例1.10 用大M法解下列线性规划解：首先将数学模型化为标准形式系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建立初始单纯形表。2024/7/2557单纯形法的进一步讨论人工变量法故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。 2024/7/2558单纯形法的进一步讨论人工变量法cj32-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x7i-Mx64-431-101040x5101-1201005-Mx712-21000113-2M2+M-1+2M-M-Mx63-650-1013/50x58-3300108/3-1x312-210005-6M5M0-M002x23/56/5101/500x531/53/5003/5131/3-1x311/52/5012/505 00002x213010123x131/310015/3-1x319/300102/3000-5-25/32024/7/2559单纯形法的进一步讨论人工变量法例1.11 用大M法解下列线性规划解：首先将数学模型化为标准形式系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建立初始单纯形表。2024/7/2560单纯形法的进一步讨论人工变量法故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。 2024/7/2561单纯形法的进一步讨论人工变量法Cj3-1-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70x4111-21100011-Mx63-4120-1103/2-Mx71-20100011Z-4M3-6M-1+M-1+3M0-M000x4103-20100-1-Mx610100-11-21-1x31-2010001Z-M-11-1+M00-M0-3M+12024/7/2562单纯形法的进一步讨论人工变量法Cj3-1-100-M-MCBXBbx1x2x3x4x5x6x70x4123001-22-54-1x210100-11-2-1x31-2010001Z-21000-1-M+1-M-13x141001/3-2/32/3-5/3-1x210100-11-2-1x390012/3-4/34/3-7/3Z2000-1/3-1/3-M+1/3-M+2/32024/7/2563单纯形法的进一步讨论 通过大法或两阶段法求初始的基本可行解。但是如果在大法的最优单纯形表的基变量中仍含有人工变量，那么该线性规划就不存在可行解。 无可行解 2024/7/2564C -3 -2 -1 0 0 0 -M -M CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 0-M-M x4x7x8 643 1 1 1 1 0 0 0 01 0 -1 0 -1 0 1 00 1 -1 0 0 -1 0 1 6/1-3/1 Z -7M -6-4M -15-M -3+M -2+M -1-2M 0 -M -M 0 0 0-M-2 x4x7x2 343 1 0 2 1 0 1 0 -11 0 -1 0 -1 0 1 00 1 -1 0 0 -1 0 1 3/14/1- Z Z -3+M 0 -3-M 0 -M -2 0 2-M -3-M-2 x1x7x2 313 1 0 2 1 0 1 0 -10 0 -3 -1 -1 -1 1 10 1 -1 0 0 -1 0 1 0 0 3-3M 3-M -M 1-M 0 -1 例单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论运算到检验数全负为止，仍含有人工变量，无可行解。2024/7/2565单纯形法的进一步讨论 无可行解是指原规划不存在可行解，从几何的角度解释是指 线性规划问题的可行域为空集； 无界解则是指线性规划问题存在可行解，但是可行解的目 标函数达不到最优值，即目标函数在可行域内趋于无穷大。 判别方法：无界解判定定理 在求解极大化的线性规划问题过程中，若某单纯形表的检验 行存在某个大于零的检验数，但是该检验数所对应的非基变量 的系数列向量的全部系数都为负数或零，则该线性规划问题 无界解 无界解2024/7/2566C 2 2 0 0 CXB B x1 x2 x3 x4 0X3 1-11100X4 2-1/2101Z02200因 但 所以原问题无界解单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论2024/7/2567 退化 即计算出的 （用于确定换出变量）存在有两个以上相同的最小比值，会造成下一次迭代中由一个或几个基变量等于零，这就是退化（会产生退化解）。 为避免出现计算的循环，勃兰特(Bland)提出一个简便有效的规则（摄动法原理）： 当存在多个 时，选下标最小的非基变量为换入变量；(2) 当值出现两个以上相同的最小值时，选下标最小的基变量为换出变量。单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论2024/7/2568 无穷多最优解 若线性规划问题某个基本可行解所有的非基变量检验数都小于等于零，但其中存在一个检验数等于零，那么该线性规划问题有无穷多最优解。例：最优表：非基变量检验数，所以有无穷多最优解。C 1 2 0 0 0CBXBb x1 x2 x3 x4 x5021x3x2x12320 0 1 2 -10 1 0 1 01 0 0 -2 12/23/1-Z8 0 0 0 0 -1单纯形法的进一步讨论单纯形法的进一步讨论2024/7/2569单纯形法的进一步讨论单纯性法小结:建建立立模模型型个个 数数取取 值值右右 端端 项项等式或等式或不等式不等式极大或极小极大或极小新加变新加变量系数量系数两两个个三个三个以上以上xj0xj无无约束约束xj 0 bi 0bi 0=max Zmin Zxs xa求求解解图图解解 法法、单单纯纯形形法法单单纯纯形形法法不不处处理理令令xj = xj - xj xj 0xj 0令令 xj =- xj不不处处理理约束约束条件条件两端两端同乘同乘以以-1-1加加松松弛弛变变量量xs加加入入人人工工变变量量xa减减去去xs加加入入xa不不处处理理令令z=- ZminZ=max z0-M2024/7/2570 线性规划模型的应用一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条件时，才能建立线性规划模型。 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数 存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述2024/7/2571 线性规划模型的应用常见问题合理利用线材问题：如何下料使用材最少。配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润。投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大。产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要。运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。2024/7/2572 线性规划模型的应用 (1)设立决策变量； (2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示； (3)用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极大（Max）还是极小（Min）； (4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：2024/7/2573 线性规划在经济管理中的应用例：现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米长的毛坯100根，长1.3米的毛坯200根。问如何才能既满足需要，又能使总的用料最少？解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的，为此可以设计出4种下料方案以供套裁用。2.5m32101.3m0246料头料头0.50.40.30.21. 合理下料问题2024/7/2574 线性规划在管理中的应用设按方案、下料的原材料根数分别为xj (j=1，2,3,4)，可列出下面的数学模型：2024/7/2575 线性规划在管理中的应用2.人力资源分配问题例1.11 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如下表所示：班次班次时间时间所需人员所需人员16:0010:0060210:0014:0070314:0018:0060418:0022:0050522:002:002062:006:0030设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数减少?2024/7/2576 线性规划在管理中的应用解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。此问题最优解：x140， x230， x330， x420， x50， x630，一共需要司机和乘务员150人。2024/7/25773.连续投资问题 某投资公司拟制定今后五年的投资计划，初步考虑下面的四个投资项目：2024/7/2578问题: 现有投资金额100万元，如何使得第五年年末能够获得最大的利润。2024/7/2579 年份年份项目项目12345Ax11x21x31x41Bx32Cx23Dx14x24x34x44x54模型的分析：2024/7/2580第1年：将100万元资金全部用于项目A和项目D的投资，即2024/7/25812024/7/25822024/7/2583连续投资问题的数学模型:2024/7/2584第1年：项目A为716981.1元和项目D为283018.9元第2年：项目C的投资金额为300000元，第3年：项目D 的投资为424528.3元和项目B为400000元，第4年：投资项目A的金额为450000元。第5年年末该公司拥有总资金为1437500元，即收益率为43.75%。 连续投资方案: