导入新课讲授新课当堂练习课堂小结24.6 正多边形与圆第2课时 正多边形的性质第24章 圆学习目标1.理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念.（重点）2.掌握正多边形的性质并能加以应用.（难点）导入新课导入新课复习引入问题1 什么是正多边形？ 问题2 如何作出正多边形？ 各边相等，各角也相等的多边形叫作正多边形.将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或外切正n变形.讲授新课讲授新课正多边形的性质一互动探究OABCD问题1 以正四边形为例,根据对称轴的性质，你能得出什么结论？EFGHEF是边AB、CD的垂直平分线，OA=OB，OD=OC.GH是边AD、BC的垂直平分线，OA=OD；OB=OC.OA=OB=OC=OD.正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.OABCDEFGHAC是DAB及DCB的角平分线，BD是ABC及ADC的角平分线，OE=OH=OF=OG.正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.其它的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.想一想OABCDEFGHRr正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫作正多边形的中心.外接圆的半径叫作正多边形的半径.内切圆的半径叫作正多边形的边心距.知识要点正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正多边形的每个中心角都等于典例精析例1 求变成为a的正六边形的周长和面积.解：如图，过正六边形的中心O作OGBC，垂足为G,连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为L和S. FABCDEOG 多边形ABCDEF为正六边形， BOC=60，BOC是等边三角形. L=6BC=6a.在BOC中，有想一想问题1 正n边形的中心角怎么计算？CDOBEFAP问题2 正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？aRr问题3 边长a，边心距r的正n边形的面积如何计算？其中l为正n边形的周长.问题2 画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结果？正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都通过正多边形的中心.如果n为偶数，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.例2 如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；解：连接BF，CE，则有BFAG，CEAG理由如下：ABCDEFGH是正八边形，它的内角都为135又HA=HG，HAG=22.5.GAB=135-1=112.5 GAB=135-1=112.5正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，即BAG+ABF=180，故BFAG同理，可得CEBF， CEAG；PNMQ（2）有题意可知PHA=PAH=45，P=90，同理可得Q=M=90，四边形PQMN是矩形PHA=PAH=QBC=QCB=MDE=MED=45，AH=BC=DE，PAHQCBMDE，PA=QB=QC=MD即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积在RtPAH中，PAH=45，AB=2，PNMQ故S四边形PQMN= 例3 有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积 (精确到0.1 m2).CDOEFAP抽象成利用勾股定理,可得边心距亭子地基的面积4mOABCDEFM r解：过点O作OMBC于M.在RtOMB中,OB4, MB亭子地基的周长l=64=24(m)2.作边心距，构造直角三角形.1.连半径，得中心角；OABCDEFRM r圆内接正多边形的辅助线O边心距r边长一半半径RCM中心角一半方法归纳当堂练习当堂练习正多边形边数半径边长 边心距周长面积34161. 填表2128422122. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是 .34. 要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要_cm.也就是要找这个正方形外接圆的直径3.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 _度.（不取近似值）5.如图，四边形ABCD是O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求O的面积解：正方形的面积等于4，正方形的边长AB=2.则半径为O的面积为ABCDEFP6.如图，正六边形ABCDEF的边长为 ，点P为六边形内任一点则点P到各边距离之和是多少？点P到各边距离之和=3BD=36=18解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CGBD于G.GHKP到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长.六边形ABCDEF是正六边形ABDE，AFCD，BCEF，BC=CD，BCD=ABC=CDE=120，CBD=BDC=30，BDHK，且BD=HK.CGBD，BD=2BG=2BCcosCBD=6.拓广探索如图,M,N分别是O内接正多边形AB,BC上的点,且BM=CN.(1)求图中MON=_;图中MON= ; 图中MON= ;(2)试探究MON的度数与正n边形的边数n的关系.ABCDEABCD.ABCMNMNMNOOO90 72 120 图图图课堂小结课堂小结正多边形的性质正多边形和圆 的 关 系正多边形的有 关 概 念正多边形的有 关 计 算添加辅助线的方法：连半径，作边心距任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆中心半径边心距中心角正多边形的对称性