第第4 4节随机事件的概率节随机事件的概率知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读】【教材导读】 1.1.事件事件A A发生的频率与概率之间有何关系发生的频率与概率之间有何关系? ?提示提示: :事件事件A A发生的频率是随机的发生的频率是随机的, ,事件事件A A发生的概率是客观存在的常数发生的概率是客观存在的常数, ,在大量的随机试验中事件在大量的随机试验中事件A A发生的频率在事件发生的频率在事件A A发生的概率附近波动发生的概率附近波动. .频率是概率的近似值频率是概率的近似值, ,概率是频率的稳定值概率是频率的稳定值. .2.2.互斥事件与对立事件的关系如何互斥事件与对立事件的关系如何? ?提示提示: :两事件互斥不一定对立两事件互斥不一定对立, ,但两事件对立一定互斥但两事件对立一定互斥. .知识梳理知识梳理 1.1.事件的相关概念事件的相关概念(1)(1)必然事件必然事件: :在一定条件下在一定条件下, , 发生的事件发生的事件; ;(2)(2)不可能事件不可能事件: :在一定条件下在一定条件下, , 发生的事件发生的事件; ;(3)(3)随机事件随机事件: :在一定条件下在一定条件下, ,可能发生也可能不发生的事件可能发生也可能不发生的事件. .一定会一定会一定不会一定不会频数频数 (2)(2)概率概率对对于于给给定的随机事件定的随机事件A,A,如果随着如果随着试验试验次数的增加次数的增加, ,事件事件A A发发生的生的频频率率f fn n(A)(A)稳稳定在某个常数上定在某个常数上, ,把把这这个常数个常数记记作作P(A),P(A),称称为为事件事件A A的概率的概率, ,简简称称为为A A的概率的概率. .B BA A 不可能不可能 不可能不可能 4.4.概率的几个基本性质概率的几个基本性质(1)(1)概率的取值范围概率的取值范围: : . .(2)(2)必然事件的概率必然事件的概率P(E)=1.P(E)=1.(3)(3)不可能事件的概率不可能事件的概率P(F)=0.P(F)=0.(4)(4)互斥事件概率的加法公式互斥事件概率的加法公式如果事件如果事件A A与事件与事件B B互斥互斥, ,则则P(AB)=P(AB)= . .若事件若事件B B与事件与事件A A互为对立事件互为对立事件, ,则则P(A)=1-P(B).P(A)=1-P(B).【重要结论】【重要结论】 1.1.在无法具体求得某个事件的概率值时在无法具体求得某个事件的概率值时, ,可以用该事件发生的频率值代替可以用该事件发生的频率值代替概率值概率值. .2.2.计算事件的概率时计算事件的概率时, ,把该事件表达为若干个互斥事件之和把该事件表达为若干个互斥事件之和, ,利用互斥事件的概率加法公式计算利用互斥事件的概率加法公式计算, ,如果事件较为复杂如果事件较为复杂, ,则可以使用互为则可以使用互为对立事件的两个事件的概率之和为对立事件的两个事件的概率之和为1 1求解求解. .0P(A)10P(A)1P(A)+P(B)P(A)+P(B)夯基自测夯基自测A A A A 3.3.一个人打靶时连续射击两次一个人打靶时连续射击两次, ,事件事件“至少有一次中靶至少有一次中靶”的对立事件是的对立事件是.解析解析: :至少有一次的对立面是一次也没有至少有一次的对立面是一次也没有. .答案答案: :两次均没有中靶两次均没有中靶4.4.设设A,BA,B为两个事件为两个事件, ,若若A,BA,B互斥互斥, ,则则P(A)+P(B)P(A)+P(B)1,1,若若A,BA,B对立对立, ,则则P(A)+P(B)P(A)+P(B)1.1.解析解析: :A,BA,B互斥时互斥时,P(A)+P(B)1,P(A)+P(B)1,等号为等号为A,BA,B对立时成立对立时成立. .答案答案: := =5.5.若若P(AB)=P(A)+P(B),P(AB)=P(A)+P(B),则事件则事件A,BA,B是是事件事件, ,若若P(AB)=P(A)+P(B)=1,P(AB)=P(A)+P(B)=1,则事件则事件A,BA,B是是事件事件.解析解析: :根据事件及其概率之间的关系根据事件及其概率之间的关系, ,结合集合运算与事件的关系可得结合集合运算与事件的关系可得. .答案答案: :互斥对立互斥对立考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 随机事件的概念随机事件的概念【例【例1 1】 下列事件不是随机事件的是下列事件不是随机事件的是( () )(A)(A)明天下雨明天下雨 (B) (B)购买一瓶饮料里面有奖购买一瓶饮料里面有奖(C)(C)某次列车晚点某次列车晚点(D)(D)鱼儿离不开水鱼儿离不开水解析解析: :其中其中A,B,CA,B,C中的事件可能发生也可能不发生中的事件可能发生也可能不发生, ,是随机事件是随机事件, ,选项选项D D中中描述的是一个确定性规律描述的是一个确定性规律, ,不是随机事件不是随机事件. .故选故选D.D.反思归纳反思归纳 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件是随机事件在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件是随机事件, ,这是判断随机事件的标准这是判断随机事件的标准. .【即时训练】【即时训练】 下列事件下列事件: : 某地某地1 1月月1 1日刮西北风日刮西北风;当当x x是实数时是实数时,|x|0;,|x|0;某人上午某人上午9 9时到达车站时到达车站, ,立即乘车前往目的地立即乘车前往目的地;一个音乐一个音乐茶话会的上座率超过茶话会的上座率超过90%,90%,其中是随机事件的序号是其中是随机事件的序号是.解析解析: :事件事件均可能发生也可能不发生均可能发生也可能不发生, ,故是随机事件故是随机事件, ,事件事件一一定发生定发生, ,是必然事件是必然事件. .答案答案: :考点二考点二概率的统计定义概率的统计定义【例【例2 2】 下表是使用计算机模拟抛掷硬币时正面出现的次数的频率的统下表是使用计算机模拟抛掷硬币时正面出现的次数的频率的统计表计表: :1 1模模拟拟次数次数1010正面向上的正面向上的频频率率0.30.32 2模模拟拟次数次数100100正面向上的正面向上的频频率率0.530.533 3模模拟拟次数次数1 0001 000正面向上的正面向上的频频率率0.520.524 4模模拟拟次数次数5 0005 000正面向上的正面向上的频频率率0.499 60.499 65 5模模拟拟次数次数10 00010 000正面向上的正面向上的频频率率0.5060.5066 6模模拟拟次数次数50 00050 000正面向上的正面向上的频频率率0.501 180.501 187 7模模拟拟次数次数100 000100 000正面向上的正面向上的频频率率0.499 040.499 048 8模模拟拟次数次数500 000500 000正面向上的正面向上的频频率率0.500 190.500 19据此表格据此表格, ,估计抛掷一枚硬币时正面向上的概率是估计抛掷一枚硬币时正面向上的概率是.解析解析: :可以看出随着试验次数的逐步增加可以看出随着试验次数的逐步增加, ,正面向上的次数的频率越来越正面向上的次数的频率越来越稳定在稳定在0.50.5附近附近, ,据此估计抛掷一枚硬币时正面向上的概率是据此估计抛掷一枚硬币时正面向上的概率是0.5.0.5.答案答案: :0.50.5反思归纳反思归纳 概率是频率的稳定值概率是频率的稳定值, ,可以根据大量的试验中的频率估计事可以根据大量的试验中的频率估计事件发生的概率件发生的概率. .概率是一个确定的值概率是一个确定的值, ,这个值是客观存在的这个值是客观存在的, ,但在我们没但在我们没有办法求出这个值时有办法求出这个值时, ,就可以使用大量重复试验中的频率值估计概就可以使用大量重复试验中的频率值估计概率值率值. .【即时训练】【即时训练】 的前的前n n位小数中数字位小数中数字6 6出现的频率如下表出现的频率如下表: :n n数字数字6 6出出现现的次数的次数数字数字6 6出出现现的的频频率率1001009 90.090 0000.090 00020020016160.080 0000.080 00050050048480.096 0000.096 0001 0001 00094940.094 0000.094 0002 0002 0002002000.100 0000.100 0005 0005 0005125120.102 4000.102 40010 00010 0001 0041 0040.100 4000.100 40050 00050 0005 0175 0170.100 3400.100 3401 000 0001 000 00099 54899 5480.099 5480.099 548则数字则数字6 6出现的概率的估计值是出现的概率的估计值是.解析解析: :根据表格可以看出数字根据表格可以看出数字6 6在在的各位小数数字中出现的频率接近常的各位小数数字中出现的频率接近常数数0.1,0.1,并在其附近摆动并在其附近摆动, ,故数字故数字6 6出现的概率的估计值是出现的概率的估计值是0.1.0.1.答案答案: :0.10.1互斥事件和对立事件的概率互斥事件和对立事件的概率考点三考点三 【例【例3 3】 将两颗骰子投掷一次将两颗骰子投掷一次, ,求求: :(1)(1)向上的点数之和是向上的点数之和是8 8的概率的概率; ;(2)(2)向上的点数之和不小于向上的点数之和不小于8 8的概率的概率. .反思归纳反思归纳 在概率计算题中将随机事件表示为一些互斥事件的和是一在概率计算题中将随机事件表示为一些互斥事件的和是一种重要的解题技能种重要的解题技能, ,这种表示不但可以使得解题过程表达清晰这种表示不但可以使得解题过程表达清晰, ,还能有效还能有效地优化解题思路、避免错误地优化解题思路、避免错误. .备选例题备选例题 (2)(2)假定今年六月份的降雨量与近假定今年六月份的降雨量与近2020年六月份降雨量的分布规律相同年六月份降雨量的分布规律相同, ,并并将频率视为概率将频率视为概率, ,求今年六月份该水力发电站的发电量低于求今年六月份该水力发电站的发电量低于490490万千瓦时万千瓦时或超过或超过530530万千瓦时的概率万千瓦时的概率. .【例【例2 2】 某商场有奖销售中某商场有奖销售中, ,购满购满100100元商品得元商品得1 1张奖券张奖券, ,多购多得多购多得.1 000.1 000张奖券为一个开奖单位张奖券为一个开奖单位, ,设特等奖设特等奖1 1个个, ,一等奖一等奖1010个个, ,二等奖二等奖5050个个. .设设1 1张奖张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,A,B,C,求求: :(1)P(A),P(B),P(C);(1)P(A),P(B),P(C);(2)1(2)1张奖券的中奖概率张奖券的中奖概率; ;(3)1(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. .易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼事件的互斥与对立关系不清致误事件的互斥与对立关系不清致误【典例】【典例】 判断下列给出的每对事件判断下列给出的每对事件, ,是否为互斥事件是否为互斥事件, ,是否为对立事件是否为对立事件, ,并说明理由并说明理由, ,从扑克牌从扑克牌4040张张( (红桃、黑桃、方块、梅花点数从红桃、黑桃、方块、梅花点数从1 11010各各1010张张) )中中, ,任取一张任取一张. .(1)“(1)“抽出红桃抽出红桃”与与“抽出黑桃抽出黑桃”;”;(2)“(2)“抽出红色牌抽出红色牌”与与“抽出黑色牌抽出黑色牌”;”;(3)“(3)“抽出的牌点数为抽出的牌点数为5 5的倍数的倍数”与与“抽出的牌点数大于抽出的牌点数大于9”.9”.解解: : (1) (1)是互斥事件是互斥事件, ,不是对立事件不是对立事件. .原因是原因是: :从从4040张扑克牌中任意抽取一张张扑克牌中任意抽取一张,“,“抽出红桃抽出红桃”和和“抽出黑桃抽出黑桃”是不可能同时是不可能同时发生的发生的, ,所以是互斥事件所以是互斥事件, ,但是但是, ,不能保证其中必有一个发生不能保证其中必有一个发生, ,这是由于还可能抽出这是由于还可能抽出“方块方块”或者或者“梅花梅花”,”,因此因此, ,两者不是对立事件两者不是对立事件. .(2)(2)既是互斥事件既是互斥事件, ,又是对立事件又是对立事件. .原因是原因是: :从从4040张扑克牌中张扑克牌中, ,任意抽取一张任意抽取一张.“.“抽出红色牌抽出红色牌”与与“抽出黑色牌抽出黑色牌”,”,两个事两个事件不可能同时发生件不可能同时发生, ,但其中必有一个发生但其中必有一个发生, ,所以它们既是互斥事件所以它们既是互斥事件, ,又是对立事件又是对立事件. .(3)(3)不是互斥事件不是互斥事件, ,当然不可能是对立事件当然不可能是对立事件. .原因是原因是: :从从4040张扑克牌中任意抽取一张张扑克牌中任意抽取一张.“.“抽出的牌点数为抽出的牌点数为5 5的倍数的倍数”与与“抽出的牌点抽出的牌点数大于数大于9”9”这两个事件可能同时发生这两个事件可能同时发生, ,如抽得点数为如抽得点数为10,10,因此因此, ,两者不是互斥事件两者不是互斥事件, ,当然当然不可能是对立事件不可能是对立事件. .易错提醒易错提醒: : (1) (1)不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件, ,必有一个发必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件生的两个互斥事件叫做对立事件, ,要主抓定义要主抓定义;(2);(2)两个事件互斥不一两个事件互斥不一定对立定对立, ,对立一定互斥对立一定互斥( (即不互斥就一定不对立即不互斥就一定不对立);(3);(3)如果用集合来表如果用集合来表示两个事件示两个事件, ,互斥事件的两个集合交集是空集互斥事件的两个集合交集是空集, ,如果其并集是全集则这如果其并集是全集则这两个互斥事件就是对立事件两个互斥事件就是对立事件. .在解答与两个事件有关的问题时一定要在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌仔细斟酌, ,全面考虑全面考虑, ,防止出现错误防止出现错误. .