看一看看一看探索多边形的内角和探索多边形的内角和了解一下了解一下在平面内，由若干条不在同一条直线上的线在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形多边形.顶点顶点内角内角边边对角线对角线(连接不相邻两个顶点的线段连接不相邻两个顶点的线段)这这里里所所说说的的多多边边形形都都指指凸凸多多边边形形 我们现在研究的是如图我们现在研究的是如图1所示的多边所示的多边形，是凸多边形；形，是凸多边形； 如图如图2所示的多边形，所示的多边形，是凹多边形，但不在现在研究的范围中。是凹多边形，但不在现在研究的范围中。今后如果不说明，我们讲的多边形都是今后如果不说明，我们讲的多边形都是凸多边形。凸多边形。图图 2比一比图1 看一看看一看四边形四边形五边形五边形六边形六边形八边形八边形 A BCDE想一想想一想我们知道，三角形的内角和是我们知道，三角形的内角和是 度度,四边四边形的内角和是形的内角和是 度，那这个五边形的内度，那这个五边形的内角和呢？角和呢？小明利用下图求出小明利用下图求出了五边形的内角和，了五边形的内角和，你知道他是怎么做你知道他是怎么做的吗？的吗？180360180 3 = 540你能动手做一做吗你能动手做一做吗?E ABCD.O想一想想一想小亮是利用下图求出五边形的内角和的，你知小亮是利用下图求出五边形的内角和的，你知道他又是怎么做的吗？道他又是怎么做的吗？180 5 360 = 540想一想想一想还有其他的做法吗？还有其他的做法吗？例如：例如：ABCDEF180 4 180 = 540归纳总结归纳总结按照小明的做法来看：按照小明的做法来看：三角形的内角和是三角形的内角和是 度；度；四边形可分成四边形可分成 个三角形，其内角和是个三角形，其内角和是 度；度；五边形可分成五边形可分成 个三角形，其内角和是个三角形，其内角和是 度；度；六边形可分成六边形可分成 个三角形，其内角和是个三角形，其内角和是 度；度； 十五边形可分成十五边形可分成 个三角形，其内角和是个三角形，其内角和是 度；度； n边形可分成边形可分成 个三角形，其内角和是个三角形，其内角和是 度。度。180236035404720132340(n-2)(n-2) 180请同学们课后按照小亮的做法去归纳一下看看，是否会请同学们课后按照小亮的做法去归纳一下看看，是否会有相同的结果？有相同的结果？想一想想一想观察下图中的多边形，它们的边角有什么特点观察下图中的多边形，它们的边角有什么特点？ 在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形。正多边形。议一议议一议（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？都相等吗？（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？ （3）正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六）正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？边形、正八边形的内角分别是多少度？菱形菱形矩形矩形（分别是（分别是60度，度，90度，度，108度，度，120度，度，135度。）度。）练一练练一练1、如图、如图：(1)作多边形所有过顶点作多边形所有过顶点A的对角线，并分别用字母表达出来。的对角线，并分别用字母表达出来。(2)求这个多边形的内角和。求这个多边形的内角和。ABCDEF解：解： (1)过顶点过顶点A的对角线共有的对角线共有 三三 条，分别是条，分别是AC、AD和和AE . (2)这个多边形的内角和这个多边形的内角和是：是：(6-2) 180 = 720(度度).练一练练一练2、如果一个多边形的内角和是、如果一个多边形的内角和是1440度，度，那么这是那么这是 边形。边形。 解：由多边形的内角和公式可得解：由多边形的内角和公式可得（n - 2） 180 = 1440 (n - 2) = 8 n = 10这是十边形。这是十边形。十十练一练练一练3、若正、若正n边形的一个内角是边形的一个内角是144n度，那么度，那么n= .解：由多边形的内角和公式可得：解：由多边形的内角和公式可得：(n - 2) 180 = 144n180n 360 = 144n180n -144n=36036n = 360n = 1010练一练练一练4、在四边形、在四边形ABCD中，中，A=120度，度，B：C：D = 3：4：5，求，求B，C，D的度数。的度数。解：设解：设B，C，D的度数分别是的度数分别是3x , 4x , 5x 度，由度，由四边形的内角和等于四边形的内角和等于360度可得：度可得： 120 + 3x + 4x + 5x = 360 12x = 240 x = 20 3x = 60 4x = 80 5x = 100答：答：B，C，D的度数分别为的度数分别为60，80, 100度。度。生活中的平面图形 清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。逆时针方向跑步。（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？（3）在上图中，你能求出1+ 2+ 3+ 4+ 5=吗？你是怎样得到的？ABCDEACDEBO12345结论： 1， 2， 3， 4， 5的和等于的和等于36想一想：想一想：如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。多边形的外角和等于多边形的外角和等于36想一想：（1）还有什么方法可以推导出多边形外角和公式？（2）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角和的结论？议一议：议一议：利用多边形外角和的结论，能推导多边形内角和的结论吗？反过来呢？例1：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？随堂练习：随堂练习：1.一个多边形的外角和都等于60,这个多边形是几边形?2.下图是三个不完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？课堂小结课堂小结谈谈你这节课的收获：谈谈你这节课的收获：（1）这节课我们主要学习了多边形的内角和公式。）这节课我们主要学习了多边形的内角和公式。 （2）从多边形的一个顶点出发可以引（）从多边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对）条对角线，把多边形分成（角线，把多边形分成（n-2）个三角形。）个三角形。你学习了本节课有哪些收获？多边形的外角的定义；多边形的外角和的定义；多边形的外角和公式。