第三节第三节一、平面方程平面方程二、两平面的相互关系二、两平面的相互关系三、点到平面的距离三、点到平面的距离空间的平面与直线空间的平面与直线 第三节第三节一、平面方程平面方程二、两平面的相互关系二、两平面的相互关系三、点到平面的距离三、点到平面的距离空间的平面与直线空间的平面与直线 四、空间直线的方程四、空间直线的方程 五、两直线、直线与平面的夹角五、两直线、直线与平面的夹角六六 平面束平面束八、八、两直线共面的条件，异面直线的距离两直线共面的条件，异面直线的距离七、点到直线的距离七、点到直线的距离曲面方程曲面方程的概念的概念二次曲面方程的定义：二次曲面方程的定义：三元二次方程三元二次方程表示的图形称为表示的图形称为二次曲面二次曲面. .以下给出几例常用的二次曲面以下给出几例常用的二次曲面.空间曲线的空间曲线的一般方程一般方程和和参数方程参数方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组将曲线将曲线C上的动点坐标上的动点坐标x, y, z表示成参数表示成参数t 的函数的函数: :称它为空间曲线的称它为空间曲线的 参数方程参数方程. .一、平面方程一、平面方程设一平面通过已知点设一平面通过已知点且垂直于非零向且垂直于非零向称称式式为平面为平面 的的点法式方程点法式方程, ,求该平面求该平面 的的方程方程. .法向量法向量. .量量则则有有 故故1 1、平面的点法式方程、平面的点法式方程例例1 1. .求过三点求过三点即即解解: 取该平面取该平面 的法向量为的法向量为的平面的平面 的方程的方程. 利用点法式得平面利用点法式得平面 的方程的方程此平面的此平面的三点式方程三点式方程也可写成也可写成 一般情况一般情况 : 过三点过三点的的平面方程为平面方程为说明说明:2 2、平面的三点式方程、平面的三点式方程特别特别, ,当平面与三坐标轴的交点分别为当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的此式称为平面的截距式方程截距式方程. . 时时, ,平面方程为平面方程为 分析分析: :利用三点式利用三点式 按按第一行展开得第一行展开得 即即3 3、平面的、平面的截距式截距式方程方程4 4、平面的一般方程、平面的一般方程设有三元一次方程设有三元一次方程 以上两式相减以上两式相减 , 得平面的点法式方程得平面的点法式方程此方程称为此方程称为平面的一般平面的一般任取一组满足上述方程的数任取一组满足上述方程的数则则显然方程显然方程与此点法式方程等价与此点法式方程等价, , 的平面的平面, , 因此方程因此方程的图形是的图形是法向量为法向量为 方程方程.特殊情形特殊情形 当当 D = 0 时时, A x + B y + C z = 0 表表示示 通过原点通过原点的平面的平面; 当当 A = 0 时时, B y + C z + D = 0 的法向量的法向量平面平行于平面平行于 x 轴轴; A x+C z+D = 0 表示表示 A x+B y+D = 0 表示表示 C z + D = 0 表示表示 A x + D =0 表示表示 B y + D =0 表示表示平行于平行于 y 轴轴的平面的平面;平行于平行于 z 轴轴的平面的平面;平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面；的平面；平行于平行于 zox 面面 的平面的平面.例例2. 求通过求通过 x 轴和点轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程的平面方程.例例3. .用平面的一般式方程导出平面的截距式方程用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. .解解: 因因平面通过平面通过 x 轴轴 ,设所求设所求平面方程为平面方程为代入代入已知点已知点得得化化简简, ,得所求平面方程得所求平面方程(自己练习自己练习) 二、两平面的相互关系二、两平面的相互关系设平面设平面1的法向量为的法向量为 平面平面2的法向量为的法向量为则两平面夹角则两平面夹角 的余弦为的余弦为即即两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角( (常为锐角常为锐角) )称为称为两平面的夹角两平面的夹角. .特别有下列结论特别有下列结论：因此有因此有例例4. 一平面通过两点一平面通过两点垂直于平面垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为即即的法向量的法向量约去约去C , 得得即即和则所求则所求平面平面故故方程为方程为 且且外一点外一点, ,求求问题问题. 设设解解: :设平面法向量为设平面法向量为在平面上取一点在平面上取一点是平面是平面到平面的距离到平面的距离d ., ,则则P0 到平面的距离为到平面的距离为(点到平面的距离公式点到平面的距离公式)三、点到平面的距离三、点到平面的距离最后最后,看看平面的作图问题看看平面的作图问题过原点过原点,不过三轴不过三轴,在在xoy和和yoz上找两点上找两点两直线两直线OA, OB在平面上在平面上.在在yoz平面上作直线平面上作直线过其与过其与y轴和轴和z轴交点为轴交点为作作 x 轴的平行线轴的平行线此平面平行于此平面平行于x轴轴此平面过此平面过z轴轴在在xoy平面上作直线平面上作直线其上一点其上一点总结总结：可以用三角形：可以用三角形 和和 平行四边形平行四边形 作平面的图形作平面的图形.内容小结内容小结1.平面基本方程平面基本方程:一般式一般式点法式点法式截距式截距式三点式三点式2.平平面面与平面与平面之间的关系之间的关系平面平面平面平面垂直垂直:平行平行:夹角公式夹角公式:备用题备用题求过点求过点 且垂直于且垂直于二二平面平面 和和 的平面方程的平面方程. .解解: 已知二平面的法向量为已知二平面的法向量为取所求平面的法向量取所求平面的法向量 则所则所求求平面方程为平面方程为化简得