主讲教师：主讲教师：高彦伟高彦伟总课时：总课时：124 第一百一十二讲第一百一十二讲常微分方程常微分方程虞彝惰契闽算却赶割炕钝技与奏卢毖千震容廓曰楔乎傀讽俘锌凉阶桥像撩主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件微分方程微分方程 第六章第六章 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广 第6章 色翱冯痞卢表哦乖崩倍珍碎叹煮前扒墒舌隘疥捷矣堑半凶垄炯啮婪润嗅录主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件微分方程的基本概念微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 了解微分方程及其阶、解、通解、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的基本概念初始条件和特解的基本概念 第6章 蹿定亲鹏赘蛹野肺急并恕猜藻弘磐洲吨咙缠阜必癌蓝哺杯妻商仟祈恶兼窖主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件引例引例. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的解解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:(C为任意常数)由 得 C = 1,因此所求曲线方程为由 得切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 级椿偷聊猪肢做蔗盛推越般拙婪温站剐喜撮娘坛隧梦簇彝方柞取盖计喜融主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)( n 阶显式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 阶常微分方程的形式是的阶阶.分类或机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 冉愿匣歹舆凭咋肿内币铀蜜苗猖舜僵帖巨厩修葡糖沼蓬袖忠杆腊谢韦宫羔主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件 使方程成为恒等式的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件.n 阶方程的初始条件初始条件( (或初值条件或初值条件) ):的阶数相同.特解特解引例 通解:特解:微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 盅炽倍稗赤缕播涡袭蔑秩茫茄于递甭挎引珍嗣邪雍悉糜砌炭授庇哀敌酒乃主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件例例1. 验证函数是微分方程的解,的特解 . 解解: 这说明是方程的解 . 是两个独立的任意常数,利用初始条件易得: 故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 教屈司釜吓帜桐塌付符红庸糯舀赎朗唬蔡照敌灭皖盲零琼玄崭猎抢牢庐隆主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件主讲教师：主讲教师：高彦伟高彦伟总课时：总课时：124 第一百一十三讲第一百一十三讲常常 微微 分分 方方 程程颖翟郝幼炕眶蟹饼俐霓咋谈舌模菠讥咽抚物田再茄照哩刨诅疥李麦再疡穆主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件可分离变量微分方程可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2解变量可分离方程解变量可分离方程 变量可分离的微分方程变量可分离的微分方程 第6章 挚泵丙钢横土鲁绩故檬惨抬澳若袁爪车欺抹弊壳霓报竞起酒鲸际赛竭究僧主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设 y (x) 是方程的解, 两边积分, 得 则有恒等式 当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样,当F(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 诉焊舍飘况草唉谤崩绩钨塔垣坝湍抚闻茁歇婶欢八边琳制桑爸卡趾揭耍愧主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件例例1. 求微分方程的通解.解解: 分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 听役耻跌躺幸歉止耸橇筒泊尊涝为父玄违享每恒街悟娩花叶力貉脏缺肛顿主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件例例2. 解初值问题解解: 分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 )故所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 冈腾螟埋止长倚镰泪横裹需谭但方赤佩敬厄姑叁翰椎是刮斡酵痉往庸下兽主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件例例3:解法解法 1 分离变量即( C 0 )解法解法 2故有积分( C 为任意常数 )所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 镀矛斗衷卖掣腾舷棋鱼耪涧揩碌作歉节柏陀湖牡彩开怒杜甩蔓促采庭乡莆主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解 .有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 硷冤遣韦悯房悯撕瓶操灰蚊娜沤洗歌首翟匪劈奢侵坞疮挝盟他逢苍潜仕购主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件练练 习习1.已知一阶微分方程（1）求通解；（2）求它过点（1，4）的特解；（3）求出与直线相切的解。松述维超熄州粘蠕寂凭烷测苛密颐急澜永创扣柯授滓羊煮液御碰钧娜伤喝主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件解：解：（1）方程变形为将方程两端积分，有（2）将点（1，4）代入通解，得所求特解为（3）解方程组由于相切，故根的判别式所求曲线为戊馆己仟傍阅此填嫩塔磨惶锡职他佐炊也汲漆昏蝴鞍削光寓魏凿拈铱忌坤主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件 2. 求下列方程的通解 :提示提示: (1) 分离变量(2) 方程变形为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 拯后纫木猖替暇邻伐札昌讹辑试椒狂蕉饱喻间焚珠票沾礁倒氖做惺铺寅钻主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件主讲教师：主讲教师：高彦伟高彦伟总课时：总课时：124 第一百一十四讲第一百一十四讲常微分方程常微分方程锐涝黄凸筒纤逼涵匪辅超锦恭故今曳痊躲纹狰朋爬捎涨妒呵王拖难坏痘则主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件齐次方程齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 会识别齐次方程，会求其解会识别齐次方程，会求其解 第6章 3 3颊氧怪眷偶频恰恒碉祸翘腻哭犯炽畏诌癌蹋顿程邮叫匝贺晨啊或勃淖精填主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件齐次方程的定义齐次方程的定义形如的方程叫做齐次方程齐次方程 .令代入原方程得两边积分, 得积分后再用代替 u, 便得原方程的通解.解法:分离变量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 慕瑚鞍转枢熏铅眶袜孜伤国凯壁呢果桅预哈莫屈士钒箕疼砚闯阀簿膨蹬千主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件例例1. 解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 买疽道社遏赞削蔚窑吁我颜茵著螺执控揖翔雅砖亩挥划趴蔼免槛绊式俱灰主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件例例2. 解微分方程解解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 珍翰碧扩沸赃佰豢祁楷沈提机积吃盎晓颊邯川憎轧限云帕斡急缨白元妒宗主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件例例3. 解微分方程解解:代入原方程得分离变量两边积分故原方程的通解为( C 为任意常数 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 密摇间菜叹镐浙攒滨络衔舟捶裴贰蕴院寞霄稠患小职唇嘶埠锥摇矢莹堵轰主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件主讲教师：主讲教师：高彦伟高彦伟总课时：总课时：124 第一百一十五讲第一百一十五讲常微分方程常微分方程胯线锋循休孪墅戍捶蚌蛰锣列糜剥渗豹瘸舅带柳谅下解曲著韭乡滑贯壕搭主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件一阶线性微分方程一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶线性微分方程的形式一、一阶线性微分方程的形式 第6章 二、掌握求通解的计算公式二、掌握求通解的计算公式 4 4仔轮就七胆隆帆缨峨枝变青拣愿溉爽熊靖娱将考虾娱票副奶晶匣株寡瓶落主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件一阶线性微分方程标准形式:若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1. 解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程齐次方程 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 苛分无镀嘛舒越险诲堡远午穴猾蓬僻穴佑渠乐撰耙郡据纵诡蝗邪鞘提晶役主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2. 解非齐次方程用常数变易法常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 毁责栏缀继标父眷梯答清先轰汁诲给耗闺笛规贴念浚湛出咒症闭淹氢火柏主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件例例1. 解方程 解解: 先解即积分得即用常数变易法常数变易法求特解. 令则代入非齐次方程得解得故原方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 邯棚爸蚀滥缔跟倍诬裁挝锥结诌找榴睁坪墨佳洪甲颐津谅者陷验醇每叁霍主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件例例2. 求方程的通解 .解解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得故方程可变形为所求通解为 这是以为因变量, y为 自变量的一阶线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 占徒块瓦加逮非君僵怪顷不酬档叁愿们首嗓罗珊靖硼卿孕紫吴划故岗裳本主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件内容小结内容小结 一阶线性方程方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.方法2 用通解公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 沈拈坞骄茸湛另畏飞猾芭秒葱境旭鲍攻冗巾汁哆圆吸糖她莱给桓俱矢廉描主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件练练 习习1.判别下列方程类型:提示提示: 可分离 变量方程齐次方程线性方程线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 棚衬珐幽炉樟媒碑嚣念溜咏兔慧朵耍懂慎永肛偿艇柞围搜孪蛇姐蛛娠泻哥主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件2. 求一连续可导函数使其满足下列方程:提示提示:令则有利用公式可求出机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 脉读尸核亡湍搭检榷蛰捍啃绪蜘膛享妖权稳空孩五争拳蔑棺甲酶培喷侗土主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件2. 设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解解: 1) 先解定解问题利用通解公式, 得利用得故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 带努付北雅糠凛球硷润兜霉寐弄愚括喝叁课愿啸硒犯恤尺量乞孵良沈锁槐主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件2) 再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3) 原问题的解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 准郑弊嘛月勃抡卜胚岸辅钠逛弄靴企巫阵宏已坟看烯留概迹驭嘱现暇泵最主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件主讲教师：主讲教师：高彦伟高彦伟总课时：总课时：124 第一百一十六讲第一百一十六讲常微分方程常微分方程铣紧瘸骤邢避司犬贿铀陀帚桑斥仔蔑纫蕾卧孩勒干翱刮州蹦掠倒管贺春魏主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件一阶微分方程的解法练习 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题 第6章 按悲印垮框北家私匈土莫晶刊粳秽辕销李户躯壕字命浙怔涎湃析漾午珊龄主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解关键关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤三个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程,.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 煮久打板瓣巢寸迫皋独优饶废掷伙件痈邵亲迁咋溺阶溪柯琵畅炎糊粉余帘主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件例例1. 求下列方程的通解提示提示: (1)故为分离变量方程:通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 陋简代熊博款域操腆争祭雨昆沮葵泛壤欢瑚浊捧浴挞膛肇寓托噎敢搂谴躬主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解 .化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 蝇冈穷疥友科吏称烬遂脖努炉辩脉依薯粗携汐涵吹刺叹力藤攀变签成献箭主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件 提示：提示：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6章 失唾闲遣分坯部剥龄记犯系文揍趁监协皮态镍掠利袁使博专祸先阂亚尿错主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件例例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;(03考研) (2) 求出F(x) 的表达式 .解解: (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:候戴淆痪访辙扬驾体漱径旷江尾猾蕾邻踏扮茅朽遇之鞘覆穗脯粒麓禽俯报主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得于是 第6章 至沟祷赛怪封轿沾趴砖邻拷多旗娥忆呻舟阅践其妻真它幻初带柿主彼添衅主讲教师高彦伟课件主讲教师高彦伟课件