第二章 动态系统的描述n2-1 SISO线性连续系统的动态模型l时域模型：微分方程l 权函数和卷积l 阶跃响应l 状态方程l频域模型：传递函数G(S)l 频率特性G(j)l连续系统的离散化2021/6/161第二章 动态系统的描述n2-2 线性离散系统的动态模型l线性差分方程l权序列与卷积和l状态方程n2-3 随机动态系统的数学模型l随机噪声的数学模型l随机型差分方程l预报误差模型2021/6/1622-1 线性连续系统的动态模型n时域模型：微分方程n线性系统输入u(t)，输出y(t)，u(t)的n阶导数与y(t)的n阶导数分别用u(n)(t)与y(n)(t)表示，用微分方程描述n阶线性定常系统的动态特性：线性连续系统线性连续系统u(t)y(t)(2-1-1)2021/6/1632-1 线性连续系统的动态模型n时域模型：权函数和卷积n系统输入为单位脉冲(t)，输出g(t)为脉冲响应：n系统在任意输入u(t)作用下，有：(2-1-2)2021/6/1642-1 线性连续系统的动态模型n时域模型：权函数和卷积n考虑到0时，u()=0，g()=0，那么：n或者等价的有：n称为u(t)与g(t)的卷积，g(t)为权函数（加权函数）。已知g(t) 可求出任意u(t)作用下的y(t)(2-1-3)(2-1-3)2021/6/1652-1 线性连续系统的动态模型n时域模型：阶跃响应函数n输入为单位阶跃函数：n输出为单位阶跃响应函数：n若令t -=，则有：(2-1-4)(2-1-5)(2-1-6)2021/6/1662-1 线性连续系统的动态模型n单位阶跃相应函数k(t)与g(t)之间的关系：n已知k(t)可求出任意u(t)作用下的y(t)：2021/6/1672-1 线性连续系统的动态模型n时域模型：状态方程n把高阶微分方程改写成一阶微分方程组可以得到状态方程：n其中x(t)为k维列向量，A为kk维矩阵，B为k维列向量，C为k维行向量，d为标量。与(2-1-1)式输入输出关系等价的状态方程(2-1-7)式不是唯一的(2-1-7)2021/6/1682-1 线性连续系统的动态模型n频域模型：传递函数G(s)n由微分方程(2-1-1)式的拉氏变换可以得到：n由状态方程(2-1-7)式的拉氏变换可以得到：2021/6/1692-1 线性连续系统的动态模型n频域模型：频率特性G(j)n令G(s)中的s=j ，得到：n幅频特性：n相频特性：n对数幅频特性、对数相频特性：Bode图n幅相频率特性：Nyquist图(2-1-12)2021/6/16102-1 线性连续系统的动态模型n连续系统的离散化：从解微分方程的角度n近似认为在一个采样周期中u(t)保持不变；求解x(t)和y(t)而得到离散化后的方程，即经过采样后系统的状态方程：n离散化后方程（k=t0，k+1=t）：(2-1-26)2021/6/16112-1 线性连续系统的动态模型n连续系统的离散化：从解微分方程的角度n因为在一个采样周期T中u(t)将保持不变：2021/6/16122-1 线性连续系统的动态模型n连续系统的离散化：从拉氏变换到Z变换的角度n对象G0(s) 离散后的Z传递函数G0(z)是：n其中零阶保持器的传递函数为：n从以上两个角度得到的结果完全等价2021/6/16132-2 线性离散系统的动态模型nSISO系统的线性定常差分方程n其中k即kT，aj,bj是常系数，移位算子q-1y(k) =y(k-1) 线性离散系统线性离散系统u(k)y(k)(2-2-1)(2-2-2)2021/6/16142-2 线性离散系统的动态模型n与Z传递函数的关系n对于SISO系统，可以找出差分方程与Z传递函数之间的关系。零初始条件下对(2-2-1)式进行Z变换：n其中z=e-Ts，按Z传递函数定义，有：2021/6/16152-2 线性离散系统的动态模型nMIMO系统的差分方程n式(2-2-1)的SISO系统差分方程表达方法可以推广到MIMO系统。设系统具有m个输入和r个输出，可以定义：线性多输入多线性多输入多输出离散系统输出离散系统u1(k)u2(k)um(k)y1(k)y2(k)yr(k)2021/6/16162-2 线性离散系统的动态模型nMIMO系统的差分方程n系统可以用向量的差分方程来表示n方程中Aj，Bj分别是rr和rm维常系数矩阵n用向后一步平移算子来表示：n其中I、A1等为rr维矩阵，B0、B1等为 rm维矩阵2021/6/16172-2 线性离散系统的动态模型nSISO系统的权序列与卷积和n权序列定义：系统对于单位脉冲序列(k)的响应nSISO系统的权序列为h(i), i=0, 1, 2, n系统的输入输出关系可以表示为离散卷积和:n在i0时，u(i)=0，h(i)=0：2021/6/16182-2 线性离散系统的动态模型n权序列与Z传递函数的关系n权序列与差分方程的关系n比较等式两边相同幂次z-i的系数，可得：2021/6/16192-2 线性离散系统的动态模型nMIMO系统的权序列n考虑m输入r输出的多变量系统，权序列表达式变成权矩阵序列H(i)，其中第i个权矩阵为：n矩阵中元素hkl(k)表示第l个输入和第k个输出之间的权系数。相应的卷积和为：2021/6/16202-2 线性离散系统的动态模型nSISO系统的状态方程nSISO线性定常系统有：n其中x(k)为n维列向量，为nn维矩阵，为n维列向量，G为n维行向量，d为标量q-1G+d du(k)x(k+1)x(k)y(k)(2-2-12)2021/6/16212-2 线性离散系统的动态模型nSISO系统的状态方程n假定系统(2-2-12)完全能控能观，则：n那么该系统的权序列与差分方程是唯一确定的n反之，对应某一差分方程或权序列，状态变量选择不同，获得状态方程参数不同n但特定的规范型是唯一的。一般形式的状态方程通过等秩变换，可以得到规范型2021/6/16222-3 随机动态系统的数学模型n确定系统：无噪声干扰n随机系统：有噪声干扰n噪声：随机因素或难以确定描述的因素n加性噪声：n非加性噪声：混合信号有用信号随机噪声非加性函数2021/6/16232-3 随机动态系统的数学模型n随机噪声过程的数学模型n考虑加性噪声、对复杂噪声的抽象的统计描述n随机过程x(t)过程的实现固定时刻为随机变量2021/6/16242-3 随机动态系统的数学模型n随机噪声过程的数学模型l给定时刻的分布规律l不同时刻的相互关系n高维分布函数：不同时刻的统计特性2021/6/16252-3 随机动态系统的数学模型n平稳随机过程l严平稳随机过程：概率特性不随时间改变l宽平稳随机过程：数字特征不随时间改变l均值：l均方值：l方差：l协方差：l自相关函数：2021/6/16262-3 随机动态系统的数学模型n平稳过程的自相关函数与平均功率谱密度l确定性过程l其中x(t)与X(w)为傅立叶变换对平均功率功率谱密度2021/6/16272-3 随机动态系统的数学模型n平稳过程的自相关函数与平均功率谱密度l随机过程l自相关函数Rxx()与平均功率谱密度Sx(w)是傅立叶变换对平均功率平均功率谱密度2021/6/16282-3 随机动态系统的数学模型n典型的随机过程l白噪声过程w(t)或w(k)：理想化的平稳随机过程l有色噪声过程：经过线性环节滤波的白噪声均值为零能量均匀彼此无关彼此相关2021/6/16292-3 随机动态系统的数学模型n随机型差分方程l确定型差分方程l随机型差分方程白噪声有色噪声通常b0=02021/6/16302-3 随机动态系统的数学模型n随机型差分方程l受控自回归滑动平均模型（CARMA）l受控自回归模型（CAR）Auto RegressionControlledMoving Average2021/6/16312-3 随机动态系统的数学模型n随机型差分方程l自回归滑动平均模型（ARMA）l自回归模型（AR）l滑动平均模型（MA）2021/6/16322-3 随机动态系统的数学模型n预报误差模型（PEM: Predictive Error Model）n描述动态随机模型的一般数学表达式：预报值预报值预报值新息序列输入序列输出序列时间坐标参数向量2021/6/16332-4 小结n目的：给出系统辨识所需的模型类n连续模型与离散模型l微分方程差分方程l连续状态方程离散状态方程l权函数与卷积权序列与卷积和lS传递函数Z传递函数n考虑实际过程中噪声的存在l确定型模型随机型模型l预报误差模型2021/6/1634 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！