金融工程学 一般来说，在分析期权回报和盈亏的时候，有这样两个术语：回报（payoff） 不考虑期权费情况下的期权到期回报盈亏（Gain or Loss/Profit） 考虑期权费的期权到期回报第一节第一节 期权合约的回报与盈亏分布期权合约的回报与盈亏分布1 金融工程学（一）看涨期权的回报与盈亏分布（一）看涨期权的回报与盈亏分布看涨期权的回报和盈亏分布图如图10.1所示：payoff0stockpricec (a) 看涨期权多头看涨期权多头X2 金融工程学看涨期权空头的盈亏分布看涨期权空头的盈亏分布payoffc0stockprice (b) 看涨期权空头看涨期权空头 图图10.1 看涨期权盈亏分布图看涨期权盈亏分布图X3 金融工程学( (二）看跌期权的盈亏分布二）看跌期权的盈亏分布 payoffpayoffXx-c0stockprice(a)看跌期权多头X4 金融工程学第二节期权价格的特性（一）期权的内在价值（一）期权的内在价值 期权的内在价值期权的内在价值（IntrinsicValue）是指多方行使期权时可以获得的收益贴现值的最大值无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于maxS-X e-r(T-t)，0有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于maxS-D-Xe-r(T-t)，0，其中D为标的资产所获现金收益的贴现值5 金融工程学（一）期权的内在价值（一）期权的内在价值（一）期权的内在价值（一）期权的内在价值（2 2 2 2）无收益资产欧式看跌期权的内在价值都为maxXe-r(T-t)-S，0有收益资产欧式看跌期权的内在价值都为maxXe-r(T-t)+D-S，0有收益的美式看涨期权和美式看跌期权由于提前执行有可能是合理的，因此其内在价值与欧式看跌期权不同。案例10.1P1726 金融工程学(二)实值、平价与虚值期权 平价点：使期权内在价值由正值变化到0的标的资产价格的临界点 对于看涨期权来说把SXe-r(T-t)时的看涨期权称为实值期权实值期权（IntheMoney）把S=Xe-r(T-t)的看涨期权称为平价期权平价期权（AttheMoney）把SS时的看跌期权称为实值期权把Xe-r(T-t)+D=S的看跌期权称为平价期权把Xe-r(T-t)+DS的看跌期权称为虚值期权8 金融工程学（三）期权的时间价值（三）期权的时间价值期权的时间价值期权的时间价值（TimeValue）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。时间价值S图10.3无收益资产看涨期权时间价值与(S-Xe-r(T-t)的关系Xe-r(T-t)9 金融工程学 关于该图的几点理解： 1、当期权处于平价状态的时候，此时波动对于期权多头来说，只有利没有弊； 如果期权处于深度虚值状态，标的资产的价格变化到足以使期权变为实值的潜力几乎没有，人们将不愿意为时间价值支付更多； 如果处于深度实值状态，由于内在价值相当大，时间价值所代表的获利潜力同时也意味着可能使得既得得利益减少甚至消失，所以此时人们也对时间价值的支付意愿也会下降。 这样，由两边向中间递增，当期权处于平价状态时，时间价值最大。 2、在实值状态下，越是接近平价的期权，将来标的资产价格来的损失越小，因而未来潜力越大，时间价值越大。 在虚值状态下，越是接近平价的期权，未来标的资产得上升所带来的收益越大，因而时间价值越大 10 金融工程学期权时间价值的来源：标的资产价格变化导致期权价格变化的不对称性导致期权总价值超过其内在价值，无论将来价格怎么波动，期权多头的亏损永远是有限的，而增加的盈利却可能是无限的，因此标的资产的波动对于期权所有者来说是利大于弊的，这种不对称导致多头方愿意为了一段时间内的波动多付期权费，导致了时间价值的产生。11 金融工程学二、期权价格的影响因素二、期权价格的影响因素（一）标的资产的市场价格与期权的协议（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格价格 对于看涨期权而言，标的资产的价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格就越高。 对于看跌期权而言，标的资产的价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格就越高。12 金融工程学（二）期权的有效期（二）期权的有效期对于美式期权而言，由于它可以在有效期内任何时间执行，有效期越长，多头获利机会就越大，而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会，因此有效期越长，期权价格越高。 对于欧式期权而言，有效期与期权价格之间的关系显得较为复杂，如，考虑标的资产支付大量收益这一特殊情况。 13 金融工程学边际时间价值 但在一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况），由于有效期越长，标的资产的风险就越大，空头亏损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有效期越长，其期权价格也越高，即期权的边际时间价值（MarginalTimeValue）为正值。 随着时间的延长，期权时间价值的增幅是递减的。这就是期权的边际时间价值递减规律。14 金融工程学（三）标的资产价格的波动率（三）标的资产价格的波动率标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标。由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也应越高。15 金融工程学（四）无风险利率（四）无风险利率 从比较静态的角度看。无风险利率越高，看跌期权的价值越低；而看涨期权的价值则越高。从动态的角度看，当无风险利率提高时，看涨期权价格下降，而看跌期权的价格却上升。比较静态考虑建立在现阶段的价格不变的前提下，而动态考虑则会考虑现在价格是会变动的。16 金融工程学（五）标的资产的收益（五）标的资产的收益 由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行相应调整，因此在期权有效期内标的资产产生收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。17 金融工程学标的资产市场价格标的资产价格波动率有效期期权协议价格红利无风险利率欧式看涨期权价值 ？ ？ ？ ？ ？ ？欧式看跌期权价值美式看涨期权价值美式看涨期权价值变量18 金融工程学三、期权价格的上、下限三、期权价格的上、下限（一）期权价格的上限（一）期权价格的上限1、看涨期权价格的上限、看涨期权价格的上限对于美式和欧式看涨期权来说，标的资产价格就是看涨期权价格的上限：（10.1） 其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。19 金融工程学2、看跌期权价格的上限美式看跌期权价格（P）的上限为X：（10.2）欧式看跌期权的上限为：（10.3）其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。20 金融工程学（二）期权价格的下限（二）期权价格的下限1 1、欧式看涨期权价格的下限、欧式看涨期权价格的下限 （1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限我们考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一单位标的资产21 金融工程学1 1、欧式看涨期权价格的下限（、欧式看涨期权价格的下限（2 2）在T时刻，组合A的价值为：组合B的价值为ST。由于，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：（10.4）22 金融工程学（2）有收益资产欧式看涨期权价格的下限将上述组合A的现金改为 ，其中D为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：（10.5）23 金融工程学2、欧式看跌期权价格的下限（1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限考虑以下两种组合：组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D：金额为的现金在T时刻，组合C的价值为：max（ST，X），组合D的价值为X。24 金融工程学（1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为： （10.6）25 金融工程学我们只要将上述组合D的现金改为就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：（10.7）从以上分析可以看出，欧式期权的下限实际上就是其内在价值。（2）有收益资产欧式看跌期权价格的下限26 金融工程学欧式美式看涨看跌看涨看跌标的资产无收益标的资产有收益标的资产无收益标的资产有收益标的资产无收益标的资产有收益标的资产无收益标的资产有收益上限SSSSXX下限27 金融工程学四、提前执行美式期权的合理性四、提前执行美式期权的合理性（一）提前执行无收益资产美式期权的合（一）提前执行无收益资产美式期权的合理性理性1、看涨期权 提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。28 金融工程学考虑如下两个组合：组合A：一份美式看涨期权加上金额为的现金组合B：一单位标的资产在T时刻，组合A的现金变为X，组合A的价值为max（ST，X）。而组合B的价值为ST，可见，组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。这意味着，如果不提前执行，组合A的价值一定大于等于组合B。29 金融工程学若在时刻提前执行，则提前执行看涨期权所得盈利等于SX(其中S表示时刻标的资产的市价)而此时现金金额变为，其中表示T-时段的远期利率。因此，若提前执行的话，在时刻组合A的价值为：，而组合B的价值为。由于，因此。这就是说,若提前执行美式期权的话，组合A的价值将小于组合B。30 金融工程学比较两种情况我们可以得出结论：提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。因此，同一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的，即：C=c（10.8）根据（10.4），我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：（10.9）31 金融工程学2.看跌期权我们考察如下两种组合：组合A：一份美式看跌期权加上一单位标的资产组合B：金额为的现金若不提前执行，则到T时刻，组合A的价值为max（X，ST），组合B的价值为X，因此组合A的价值大于等于组合B。32 金融工程学若在 时刻提前执行，则组合A的价值为X，组合B的价值为，因此组合A的价值也高于组合B。比较这两种结果我们可以得出结论：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。美式期权的下限为:33 金融工程学（二（二 ）提前执行有收益资产美式期权的合理）提前执行有收益资产美式期权的合理性性1.看涨期权 提前执行可较早获得标的资产，因此在一定条件下，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。 假设在期权到期前，标的资产有n个除权日，t1，t2，tn为除权前的瞬时时刻，在这些时刻之后的收益分别为D1，D2，Dn，在这些时刻的标的资产价格分别为 S1，S2，Sn。34 金融工程学由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，我们可以据此得到一个推论：在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性。我们先来考察在最后一个除权日（tn）提前执行的条件。如果在tn时刻提前执行期权，则期权多方获得Sn-X的收益。若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到Sn-Dn。35 金融工程学根据式（10.5），在tn时刻期权的价值(Cn) :因此，如果：即： ,则在tn提前执行是不明智的。相反，如果 ,则在tn提前执行有可能是合理的。实际上，只有当tn时刻标的资产价格足够大时，提前执行美式看涨期权才是合理的。36 金融工程学同样，对于任意在ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值下限为：37 金融工程学2.看跌期权提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权，因此提前执行的可能性变小。通过同样的分析，我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是：下限为： 38 金融工程学五、期权价格曲线的形状五、期权价格曲线的形状（一）看涨期权价格曲线（一）看涨期权价格曲线我们先看无收益资产的情况。看涨期权价格的上限为S，下限为max。期权价格下限就是期权的内在价值。当内在价值等于零时，期权价格就等于时间价值。时间价值在S=Xe-r(T-t)时最大；当S趋于0和时，时间价值也趋于0，此时看涨期权价值分别趋于0和SXe-r(T-t)。特别地，当S=0时，C=c=0。39 金融工程学此外，r越高、期权期限越长、标的资产价格波动率越大，则期权价格曲线以0点为中心，越往右上方旋转，但基本形状不变，而且不会超过上限，如下图所示： 看涨期权价格期权价格上限(C=c=S)看涨期权价格曲线期权价格下限 时间价值 (C=c=max(S-Xe-r(T-t),0) 0 s =内在价值 虚值期权 平价期权实值期权(SXe-r(T-t)40 金融工程学（二）看跌期权价格曲线（二）看跌期权价格曲线1.1.欧式看跌期权价格曲线欧式看跌期权价格曲线我们先看无收益资产看跌期权的情形。欧式看跌期权的上限为，下限为。当时，它就是欧式看跌期权的内在价值，也是其价格下限，当时，欧式看跌期权内在价值为0，其期权价格等于时间价值。当S= 时，时间价值最大。当S趋于0和时，期权价格分别趋于和0。特别地，当S=0时， 。 41 金融工程学r越低、期权期限越长、标的资产价格波动率越高，看跌期权价值以0为中心越往右上方旋转，但不能超过上限，如下图所示：看跌期权价格Xe-r(T-t)上限 欧式看跌期权价格下限、内在价值 时间价值0Xe-r(T-t)S42 金融工程学2.美式看跌期权价格曲线对于无收益标的资产来说，美式看跌期权上限为X，下限为XS。但当标的资产价格足够低时，提前执行是明智的，此时期权的价值为XS。因此当S较小时，看跌期权的曲线与其下限或者说内在价值XS是重合的。当S=X时，期权时间价值最大。其它情况与欧式看跌期权类似，如下图所示。43 金融工程学美式看跌期权价格曲线美式看跌期权价格曲线 x x 上限 美式看跌期权价格下限、内在价值 时间价值 0 x x s44 金融工程学六、看涨期权与看跌期权之间的平价关系六、看涨期权与看跌期权之间的平价关系（一）欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（一）欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系1.无收益资产的欧式期权考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产45 金融工程学在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，即：（10.16）这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（Parity）。如果式（10.16）不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使式（10.16）成立。46 金融工程学2.有收益资产欧式期权在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合A中的现金改为，我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：（5.17）47 金融工程学（二）美式看涨期权和看跌期权之间的关系（二）美式看涨期权和看跌期权之间的关系1.无收益资产美式期权由于Pp,从式（10.16）中我们可得：对于无收益资产看涨期权来说，由于c=C，因此：即（10.18）48 金融工程学无收益资产美式期权考虑以下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为X的现金组合B：一份美式看跌期权加上一单位标的资产49 金融工程学如果美式期权没有提前执行，则在T时刻组合B的价值为max(ST,X)，而此时组合A的价值为 。因此组合A的价值大于组合B。如果美式期权在时刻提前执行，则在时刻 ，组合B的价值为X，而此时组合A的价值大于等于 。因此组合A的价值也大于组合B。50 金融工程学因此：又由于c=C，我们有：即结合式（5.18），我们可得：（10.19）这就是美式看涨期权和看跌期权的平价关系。51 金融工程学2.有收益资产美式期权同样，我们只要把组合A的现金改为D+X，就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式：S-D-XC-PS-D-Xe-r（T-t） (5.20)(5.20)52