第二十四章第二十四章圆圆1与圆有关的概念：正确理解弦、劣弧、优弧、圆与圆有关的概念：正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念，心角等与圆有关的概念， 并能正确分析它们的区别并能正确分析它们的区别与联系。与联系。2与圆有关的角：掌握圆周角和圆心角的区别与联与圆有关的角：掌握圆周角和圆心角的区别与联系，将圆中的直径与系，将圆中的直径与90的圆周角联系在一起，一般的圆周角联系在一起，一般地，若题目无直径，往往需要作出直径。地，若题目无直径，往往需要作出直径。3圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理：定理和圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理：定理和结论是在圆的旋转不变性上推出来的，结论是在圆的旋转不变性上推出来的， 需注意需注意“在在同圆或等圆中同圆或等圆中”中这个关系。中这个关系。4与圆有关的位置关系：了解点和圆、直径和圆、与圆有关的位置关系：了解点和圆、直径和圆、圆和圆共有几种位置关系，圆和圆共有几种位置关系， 并能恰当地运用数量关并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键。系来判断位置关系是学习的关键。5切线长定理：切线长定理是圆的对称性的体现，切线长定理：切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、它为说明线段相等、角相等、弧相等、 垂直关系提垂直关系提供了理论依据。供了理论依据。v有关圆的基本性质与定理有关圆的基本性质与定理v圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕圆心画弧绕360度后得到圆。度后得到圆。v圆与直线相切圆与直线相切v圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的平分弦所对的2条弧。条弧。v有关圆周角和圆心角的性质和定理有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心两条弦心距距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。等。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直直径所对的圆周角是直角。径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。度的圆周角所对的弦是直径。如果一条弧的长是另一条弧的如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的圆心角是另一条弧的2倍。倍。v有关外接圆和内切圆的性质和定理有关外接圆和内切圆的性质和定理v一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；离相等；v内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。形三边距离相等。vR=2S L（R：内切圆半径，：内切圆半径，S：面积，：面积，L：周长）：周长）v两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的线段）线段）v（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。垂直平分公共弦。v（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。v（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。v（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。v（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。v（9）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。差的一半。v有关切线的性质和定理有关切线的性质和定理v圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的外端，并圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。v切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。的直线是圆的切线。v切线的性质：切线的性质：v（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。v（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。v（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。）圆的切线垂直于经过切点的半径。v切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。那点与圆心的连线平分切线的夹角。v有关圆的计算公式有关圆的计算公式v1.圆的周长圆的周长C=2r=dv2.圆的面积圆的面积S=r2;v圆知识点总结圆知识点总结v平面上到定点的距离等于定长的的点的集合叫做圆。平面上到定点的距离等于定长的的点的集合叫做圆。v圆心：圆中心固定的一点叫做圆心。用字母圆心：圆中心固定的一点叫做圆心。用字母o或或 表示表示v直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母直径一般用字母d表示。表示。v半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母半径一般用字母r表示。表示。v圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的的2倍，半径是直径的二分之一倍，半径是直径的二分之一.d=2r或或r=二分之二分之dv圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。v圆知识点总结圆知识点总结v圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。表示。v圆的周长与直径的比值叫做圆周率。圆的周长与直径的比值叫做圆周率。v圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数，用字母它是一个无限不循环小数，用字母表示。计算时，通常表示。计算时，通常取它的近似值，取它的近似值，3.14。v直径所对的圆周角是直角。直径所对的圆周角是直角。90的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。v圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。r2，用字母用字母S表示。表示。v一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。v【圆和其他图形的位置关系圆和其他图形的位置关系】圆和点的位置关系：以点圆和点的位置关系：以点P与圆与圆O为例（设为例（设P是一点，是一点，则则PO是点到圆心的距离），是点到圆心的距离），P在在 O外，外，POr；P在在 O上，上，POr；P在在 O内，内，POr。v【圆和其他图形的位置关系圆和其他图形的位置关系】v直线与圆有直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线叫做切点。以直线AB与圆与圆O为例（设为例（设OP AB于于P，则，则PO是是AB到圆心的距离）：到圆心的距离）：AB与与 O相离，相离，POr；AB与与 O相切，相切，POr；AB与与 O相交，相交，POr。v练习题练习题如如图，在平面直角坐，在平面直角坐标系中，系中，C与与y轴相切，且相切，且C点坐点坐标为（1，0），），直直线l过点点A（1，0），与），与C相切于点相切于点D，求直，求直线l的解析式。的解析式。 解：如解：如图所示，所示，连接接CDCD，直直线l为C的切的切线，CDAD。C C点坐点坐标为（1 1，0 0），），OC=1OC=1，即，即C C的半径的半径为1 1，CD=OC=1CD=OC=1。又又点点A A的坐的坐标为（1 1，0 0），），AC=2AC=2，CAD=30CAD=30。作作DEACDEAC于于E E点，点，则CDE=CAD=30CDE=CAD=30，CE=CE= =，OE=OC-CE=OE=OC-CE=，点点D D的坐的坐标为（）。）。设直直线l的函数解析式的函数解析式为，则 k+b 解得解得k=，b=直直线l 的函数解析式的函数解析式为. .0=k+b，v已知：已知：ABC内接于内接于 O，过点，过点A作直线作直线EF。v（1）如图）如图1，AB为直径，要使为直径，要使EF为为 O的切线，还需添加的条件是的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：（只需写出三种情况）：；。v（2）如图）如图2，AB是非直径的弦，是非直径的弦，CAE= B，求证：，求证：EF是是 O的切的切线。线。图图1 图图2解：（解：（1）BA EF；CAE= B；BAF=90。（2）连接）连接AO并延长交并延长交 O于点于点D，连接，连接CD，则则AD为为 O的直径，的直径，D+ DAC=90。D与与B同对弧同对弧AC，D= B，又又CAE= B，D= CAE，DAC+ EAC=90，EF是是 O的切线。的切线。v如图如图3，在，在 O中，中，AB是直径，是直径，CD是弦，是弦，AB CD。v（1）P是优弧是优弧CAD上一点（不与上一点（不与C、D重合），求证重合），求证CPD= COB；v（2）点）点P在劣弧在劣弧CD上（不与上（不与C、D重合）时，重合）时，CPD与与COB有什有什么数量关系？请证明你的结论。么数量关系？请证明你的结论。图3解析：解析：（1 1）证明：明：连接接ODOD，ABAB是直径，是直径，ABCDABCD，COB=DOB=COB=DOB= 又又CPD=CPD=，CPD=COBCPD=COB。（2）CPD与与COB的数量关系是：的数量关系是：CPD+ COB=180。证明：证明：CPD+ CPD=180，CPD= COB，CPD+ COB=180。v如图，如图， 0的直径的直径AB=8，P是上半圆是上半圆(A、B除外除外)上任一点，上任一点，APB的平分线交的平分线交 O于于C，弦，弦EF过过AC、BC的中点的中点M、N，则，则EF的长是的长是()A4 B.2C.6 D. 2Av如图，如图， O的弦的弦AB、CD相交于点相交于点P，PA4厘米，厘米，PB3厘米，厘米，PC6厘米，厘米，EA切切 O于点于点A，AE与与CD的延长线交的延长线交于点于点E，AE2厘米，则厘米，则PE的长为（的长为（）（A）4厘米厘米（B）3厘米厘米（C） 厘米厘米 （D）厘米厘米Av自主训练自主训练1、如图（、如图（13），阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆），阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为的半径分别为20cm，10cm，AOB=120，求这个广告标，求这个广告标志面的周长。志面的周长。2 2、如、如图（1515），已知），已知P P的的圆心在直心在直线y=2x-1y=2x-1上运上运动（1 1）若）若P P半径半径为2 2，当，当P P和和x x轴相切相切时，求点，求点P P的坐的坐标；（2 2）若）若P P半径半径为2 2，当，当P P和和y y轴相切相切时，求点，求点P P的坐的坐标；（3）若要）若要让 P与与x轴、y轴都相切都相切时，则 P的半径是多少？的半径是多少？3、如图（、如图（12），），AB是是 O的直径，的直径，BC切切 O于点于点B，OC平行平行于弦于弦AD，求证：，求证：CD是是 O的切线。的切线。4、如图、如图4，两个半径都是，两个半径都是4cm的圆外切于点的圆外切于点C，一只蚂蚁由点，一只蚂蚁由点A开始依开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的的顺序沿着圆周上的8段长度相段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，段路径上不断爬行，直到行走直到行走2006cm后才停下来，则蚂蚁停的后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为那一个点为哪一个？哪一个？图4