向量的数乘运算向量的数乘运算 及其几何意义及其几何意义1.1.向量加法三角形法则向量加法三角形法则: :特点特点:首尾相接，首尾连首尾相接，首尾连特点特点:共起点共起点BAO特点：特点：共起点，连终点，方向指向被减数共起点，连终点，方向指向被减数2.2.向量加法平行四边形法则向量加法平行四边形法则: :3.3.向量减法三角形法则向量减法三角形法则: :实际背景讲授新课讲授新课思考题思考题1:已知向量已知向量 如何作出如何作出 和和 OABCNMQP记记:即即:同理可得同理可得:思考题思考题2: 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? 向量向量 与向量与向量 有什么关系有什么关系? (1)向量向量 的方向与的方向与 的方向相同的方向相同, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即(2)向量向量 的方向与的方向与 的方向相反的方向相反, 向量向量 的长度是的长度是 的的3倍倍,即即向量的数乘运算的定义：(1) 根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(2a)和和(6a) (a为非零向量为非零向量)，并进行比较。，并进行比较。=(2) 已知向量已知向量 a,b，求作向量，求作向量2(a+b)和和2a+2b，并进行比较。并进行比较。向量的数乘运算满足如下运算律：向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算向量的线性运算例、计算下列各式例、计算下列各式成立成立向量向量 b 与与非零向量非零向量 a 共线共线当且仅当当且仅当有唯一一个实数有唯一一个实数，使得使得 b=a 2) 2) b b 可以是零向量吗可以是零向量吗? ?思考思考思考思考:1) :1) a a为什么要是非零向量为什么要是非零向量? ?思考思考1 1：若存在实数若存在实数，使，使 ，则则A A、B B、C C三点的位置关系如何？三点的位置关系如何？思考思考2 2：如图，设点如图，设点M M为为ABCABC的重心，的重心，D D为为BCBC的中点，那么向量的中点，那么向量 与与 ， 与与 分别有什么关系？分别有什么关系？ABCDM对于任意一个三角形，对于任意一个三角形，三角形的三条高的交点叫做三角形的三条高的交点叫做垂心垂心，三角形的三条中线的交点所为三角形的三条中线的交点所为重心重心，三角形的三条角平分线的交点叫三角形的三条角平分线的交点叫内心内心，三角形的三条中垂线的交点叫三角形的三条中垂线的交点叫外心外心 例例、如图：已知如图：已知 ， ，试判断试判断 与与 是否共线是否共线 例、例、例、例、 如图，在平行四边形如图，在平行四边形如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点中，点中，点MM是是是是ABAB中点，点中点，点中点，点中点，点N N在线段在线段在线段在线段BDBD上，且有上，且有上，且有上，且有BN= BDBN= BD，求证：，求证：，求证：，求证：MM、N N、C C三点共线。三点共线。三点共线。三点共线。例、如图，已知任意两个向量例、如图，已知任意两个向量 ，试作，试作你能判断你能判断A、B、C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？ABCO例、如图，平行四边形例、如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点M，且，且 ，你能用，你能用 、 来表示来表示 。ABDCM例、例、 如图，在如图，在 中中, ,延长延长BABA到到C,C,使使AC=BA,AC=BA,在在OBOB上取上取点点D,D,使使BD= OB.DCBD= OB.DC与与OAOA交于交于E,E,设设 请用请用 . .ECODBA练习练习C.A.B.(2)设 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是( ).D.(1)下列四个说法正确的个数有( ).B.2个A.1个C.3个D.4个BC（ C ） 在平行四边形ABCD中, ,M为BC的中点,则 等于 (3(3) )(4)(4)ABCD练习练习练习练习（5 5）在）在 中中, ,设设D D为边的中点为边的中点, ,求证求证: :一、一、一、一、a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 (a0) b=a 向量向量a与与b共线共线 二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用： 1. 1. 证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共线向量共线 2. 2. 证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线: AB=: AB= BC A,B,CBC A,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线 3. 3. 证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行: : AB= AB= CD ABCD ABCDCD AB AB与与与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上直线直线直线直线ABAB直线直线直线直线CDCD设是两个不共线的向量，设是两个不共线的向量，若，若A、B、D三点共线，求三点共线，求k的值的值.