第四章第四章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换与与S域分析域分析第一节第一节 引言引言以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义给出的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处，但也有不足之处，傅里叶变换只能处理符合傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件狄利克雷条件的信号，而有的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制；受到限制；另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。无穷积分求解困难。傅里叶变换的局限性傅里叶变换的局限性拉氏变换的优点拉氏变换的优点把线性时不变系统的把线性时不变系统的时域模型时域模型简便地进行简便地进行变换变换，经求解再经求解再还原还原为时间函数。为时间函数。拉氏变换拉氏变换是求解是求解常系数线性微分方程常系数线性微分方程的的工具工具。应用拉氏变换：应用拉氏变换：（1）求解方程求解方程得到得到简化简化。且。且初始条件初始条件自动包含自动包含在在变换式变换式里。里。（2）拉氏变换将）拉氏变换将“微分微分”变换成变换成“乘法乘法”，“积分积分”变换成变换成“除法除法”。即将。即将微分方程微分方程变成变成代数代数方程方程。拉氏变换将时域中拉氏变换将时域中卷积运算卷积运算变换成变换成“乘法乘法”运算。运算。利用利用系统函数系统函数零点零点、极点分布极点分布分析系统的规律。分析系统的规律。第二节第二节拉氏变换的定义、拉氏变换的定义、收敛域收敛域一从傅里叶变换到拉普拉斯变换一从傅里叶变换到拉普拉斯变换则则1拉普拉斯正变换2 2拉氏逆变换拉氏逆变换3 3拉氏变换对拉氏变换对二、拉氏变换的物理意义二、拉氏变换的物理意义拉氏变换是将拉氏变换是将时间函数时间函数f(t)f(t)变换为变换为复变函数复变函数F(s)F(s)，或作相反变换。，或作相反变换。时域时域(t)(t)变量变量t t是实数是实数，复频域，复频域F(s)F(s)变量变量s s是复数是复数。变量变量s s又称又称“复频率复频率”。拉氏变换建立了拉氏变换建立了时域与时域与复频域复频域(s(s域）域）之间的联系。之间的联系。看出：将看出：将 频率频率变换为变换为复频率复频率s,且且 只能描述只能描述振荡振荡的的重复频率重复频率，而，而s不仅不仅能给出能给出重复频率重复频率，还，还给出振荡幅给出振荡幅度度的的增长速率或衰减速率增长速率或衰减速率。三拉氏变换的收敛域三拉氏变换的收敛域 收敛域：使收敛域：使F(s)存在的存在的s的区域称为收敛域。的区域称为收敛域。记为：记为：ROC(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；实际上就是拉氏变换存在的条件；例题及说明例题及说明1.阶跃函数2.指数函数全全s域平面收敛域平面收敛 3.单位冲激信号四一些常用函数的拉氏变换四一些常用函数的拉氏变换4tnu(t)作业P2504-1第三节第三节拉氏变换的基本拉氏变换的基本性质性质一线性已知已知则则同理同理例题：例题：推广：推广：证明：证明：二原函数微分二原函数微分电感元件的电感元件的s域模型域模型应用原函数微分性质应用原函数微分性质设设三原函数的积分三原函数的积分证明：证明：电容元件的电容元件的s域模型域模型四延时（时域平移）四延时（时域平移）证明：证明：例题例题 4-3-1已知已知证明：证明：五五s域平移域平移例例4-64-6时移和尺度变换都有时时移和尺度变换都有时: :证明：证明：六尺度变换六尺度变换七初值七初值初值定理证明初值定理证明由由原函数微分定理原函数微分定理可知可知八终值八终值证明：证明：根据初值定理证明时得到的公式根据初值定理证明时得到的公式终值存在的条件终值存在的条件:例如例如九卷积九卷积时域卷时域卷积定理积定理频域卷频域卷积定理积定理证明：证明：交换积分次序交换积分次序第四节第四节拉氏逆变换拉氏逆变换一、系统的s域分析方法（1）部分分式展开法）部分分式展开法（2）长除法）长除法用拉氏变换方法分析系统时，最后还要用拉氏变换方法分析系统时，最后还要将象函数进行将象函数进行拉氏反（逆）变换拉氏反（逆）变换。求解拉氏逆变换的方法有：求解拉氏逆变换的方法有：（3）留数法）留数法二、部分分式展开法ai,bi为实数，为实数，m,n为正整数。为正整数。部分分式展开法部分分式展开法举例举例4-8:4-8:举例举例4.2:4.2:举例举例4.2:4.2:举例举例4.2:4.2:部分分式展开法部分分式展开法共轭极点出现在共轭极点出现在求求f(t)例题F(s)具有共轭极点，不必用部分分式展开法具有共轭极点，不必用部分分式展开法求下示函数求下示函数F(s) 的逆变换的逆变换f(t)：解：解：求得求得另一种方法另一种方法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法部分分式展开法举例举例举例举例4.4:4.4:举例举例4.4:4.4:三、留数法留数法2.2.含含e-s的非有理式的非有理式作业P2514-4 第五节第五节拉氏变换法分拉氏变换法分析电路析电路一一. . 用拉氏变换法分析电路的步骤用拉氏变换法分析电路的步骤列列s域方程（可以从两方面入手）域方程（可以从两方面入手） 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换； 直接按电路的直接按电路的s域模型建立代数方程。域模型建立代数方程。求解求解s域方程。域方程。，得到时域解答。，得到时域解答。二微分方程的拉氏变换 我们采用我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知系统求解瞬态电路，简便起见，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态，道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态，求出元件的求出元件的s域模型。域模型。三利用元件的三利用元件的s域模型分析电路域模型分析电路1.电路元件的s域模型 电阻元件的s域模型电感元件的电感元件的s域模型域模型利用电源转换可以得到电流源形式的利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型：域模型： 电容元件的电容元件的s域模型域模型电流源形式：电流源形式：S域电路分析域电路分析举例举例4.16:4.16:举例举例4-4-16:16:举例举例4-16 :4-16 :举例举例4-16 :4-16 :举例举例4-16 4-16 : :第六节第六节系统函数系统函数（网络函数）（网络函数）H(s)1.定义系统函数系统函数系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比系统零状态响应的拉氏变换与激励的拉氏变换之比 2.H(s)的几种情况的几种情况策动点函数：激励与响应在同一端口时策动点函数：激励与响应在同一端口时策动点导纳策动点导纳策动点阻抗策动点阻抗转移导纳转移导纳转移阻抗转移阻抗电压比电压比电流比电流比转移函数：激励和响应不在同一端口转移函数：激励和响应不在同一端口系统函数求响应系统函数求响应利用网络的利用网络的s域元件模型图，列域元件模型图，列s域方程域方程系统函数求响应系统函数求响应例4-6-1解：解：1于是得到于是得到作业P2544-18第七节由系统函数零、极点分布决定时域特性4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性 序言序言H(s)零、极点与零、极点与h(t)波形特征波形特征H(s) 、E(s)的极点分布与自由响的极点分布与自由响应、强迫响应特性的对应应、强迫响应特性的对应 一序言一序言 冲激响应冲激响应h(t)与系统函数与系统函数H(s) 从时域和变换域两方从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。面表征了同一系统的本性。 在在s域域分析中，借助系统函数在分析中，借助系统函数在s平面平面零点与极点零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。系统的规律。系统的时域、频域特性时域、频域特性集中地以其系统函数的集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。零、极点分布表现出来。 主要优点：主要优点：1可以预言系统的时域特性；可以预言系统的时域特性；2便于划分系统的各个分量便于划分系统的各个分量 （自由强迫，瞬态稳态）；（自由强迫，瞬态稳态）；3可以用来说明系统的正弦稳态特性。可以用来说明系统的正弦稳态特性。二二H(s)零、极点与零、极点与h(t)波形特征的对应波形特征的对应在在s平面上，画出平面上，画出H(s)的零极点图：的零极点图： 极点：用极点：用表示，零点：用表示，零点：用表示表示1系统函数的零、极点极点：极点：零点：零点：画出零极点图：画出零极点图：H(s)零、极点分布与零、极点分布与h(t)的对应图解的对应图解（1）极点在原点：为单极点，则系统冲激响应为阶跃函）极点在原点：为单极点，则系统冲激响应为阶跃函数；为多重极点，则系统为增长函数，为不稳定系统。数；为多重极点，则系统为增长函数，为不稳定系统。变换到时域变换到时域H(s)零、极点分布与零、极点分布与h(t)的对应图解的对应图解变换到时域变换到时域（2）极点在）极点在s的左半平面：系统为衰减系统，为稳定系统。的左半平面：系统为衰减系统，为稳定系统。变换到时域H(s)零、极点分布与零、极点分布与h(t)的对应图解的对应图解（3）极点在）极点在s的虚轴上：单极点（一定为一对共轭极点），则的虚轴上：单极点（一定为一对共轭极点），则系统为振荡系统，则系统为临界稳定系统。若系统为多重极点，系统为振荡系统，则系统为临界稳定系统。若系统为多重极点，系统为增长系统，则系统为不稳定系统。系统为增长系统，则系统为不稳定系统。变换时域变换时域H(s)零、极点分布与零、极点分布与h(t)的对应图解的对应图解(4)极点在极点在s的右半平面：系统为增长函数，则系统为不稳定系统。的右半平面：系统为增长函数，则系统为不稳定系统。变换到时域变换时域几种典型情况几种典型情况 有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 ， 表明的极点位于表明的极点位于s左半平面，由此可知，左半平面，由此可知，收敛域包括虚轴，收敛域包括虚轴， 均存在，两者可通用，只均存在，两者可通用，只需将需将 即可。即可。 若若H(s)极点落在极点落在s s左半平面，则左半平面，则h(t)波形为衰减形式；波形为衰减形式；若若H(s)极点落在极点落在s s右半平面，则右半平面，则h(t)增长；落于虚轴上增长；落于虚轴上的一阶极点对应的的一阶极点对应的h(t)成等幅振荡或阶跃，而成等幅振荡或阶跃，而虚轴上的虚轴上的二阶极点将使二阶极点将使h(t)呈增长形式。呈增长形式。三三H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应的极点分布与自由响应、强迫强迫响应特征的对应响应特征的对应激励：激励：系统函数：系统函数：响应：响应：X自由响应分量自由响应分量 强制响应分量强制响应分量几点认识几点认识自由响应自由响应的极点只由系统的极点只由系统本身的特性本身的特性所决定，与激励所决定，与激励函数的形式无关，然而系数函数的形式无关，然而系数 都有关。都有关。响应响应r(t)由两部分组成：由两部分组成：系统函数的极点系统函数的极点自由自由响应分量；响应分量；激励函数的极点激励函数的极点强迫强迫响应分量。响应分量。定义系统行列式（特征方程）的根为系统的定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率固有频率（或称（或称“自然频率自然频率”、“自由频率自由频率”）。）。H(s)的极点都是系统的固有频率；的极点都是系统的固有频率；H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失零、极点相消时，某些固有频率将丢失。因此。因此H(s)只能研究系统的零状态响应只能研究系统的零状态响应暂态响应和稳态响应暂态响应和稳态响应瞬态响应瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现的有关成分，随着的有关成分，随着t增大，将消失。增大，将消失。稳态响应稳态响应完全响应瞬态响应完全响应瞬态响应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。例例4-7-2，教材习题，教材习题2-6(1)给定系统微分方程给定系统微分方程试完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响试完全响应，并指出其零输入响应，零状态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应分量。解：解： 方程两端取拉氏变换方程两端取拉氏变换零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应则则 稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应极点位于极点位于s s左半平面左半平面极点位于虚轴极点位于虚轴暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应H(s)的极点的极点E(s)的极点的极点自由响应自由响应强迫响应强迫响应举例举例4.19:4.19:举例举例4.19:4.19:举例举例4.19:4.19:举例举例4.19:4.19:举例举例4.19:4.19:作业P2564-27,4-30,4-31第八节由系统函数零、极点分布决定频响特性一、一、H(s)零、极点分布与频响特性的对应零、极点分布与频响特性的对应H(s)零、极点分布与频响特性的对应零、极点分布与频响特性的对应可以求得可以求得上式的逆变换为系统正弦稳态全响应系统正弦稳态全响应系统频响特性系统频响特性二、举例二、举例-滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性滤波网络的频响特性三、三、S平面几何分析法平面几何分析法S平面几何分析平面几何分析 当当 沿虚轴移动时，各复数因子沿虚轴移动时，各复数因子( (矢量矢量) )的模和辐角都的模和辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线。 S平面几何分析平面几何分析S平面几何分析平面几何分析讨论讨论H(s)极点位于极点位于s平面实轴平面实轴的情况，包括一阶与二阶系统。的情况，包括一阶与二阶系统。S平面几何分析平面几何分析举例举例4-4-20:20:举例举例4-204-20 : :举例举例4-204-20 : :举例举例4-204-20 : : 此点为高通滤波器的截止频率点。举例举例4-204-20 : :频响特性分析频响特性分析X例例4-21研究下图所示研究下图所示RCRC低通滤波网络低通滤波网络的频响特性的频响特性。写出网络转移函数表达式写出网络转移函数表达式解解: :频响特性举例举例4.22:4.22:举例举例4.22:4.22:举例举例4.22:4.22:举例举例4.22:4.22:举例举例4.22:4.22:举例举例4.22:4.22:举例举例4.22:4.22:举例举例4.22:4.22:频响特性第十节第十节 全通函数与最全通函数与最小相移函数的小相移函数的零、极点分布零、极点分布所谓所谓全通全通是指它的幅频特性为常数，对于全部频率的是指它的幅频特性为常数，对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。 零、极点分布零、极点分布 极点位于左半平面，极点位于左半平面，零点位于右半平面，零点位于右半平面，零点与极点对于虚轴零点与极点对于虚轴互为镜像互为镜像 一、全通函数的定义一、全通函数的定义频率特性频率特性幅频特性幅频特性常数常数相频特性相频特性不受约束不受约束全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。 由于由于N1N2N3与与M1M2M3相消，幅频特性等于常数相消，幅频特性等于常数K，即，即 例例4-23：系统函数如下系统函数如下其其零、极点分布互为镜像。零、极点分布互为镜像。因此为一个因此为一个全通网络。全通网络。其频率特性：其频率特性：二最小相移网络二最小相移网络 若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为“非非最小相移函数最小相移函数”，这类网络称为，这类网络称为“非最小相移网络非最小相移网络”。 *非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的级联。级联。 非最小相移网络非最小相移网络最小相移网络最小相移网络全通网络全通网络三级联三级联作业P2614-41，4-424.11 4.11 线性系统的稳定性线性系统的稳定性 由由H(s)的极点位置判断系统稳定性的极点位置判断系统稳定性定义（定义（BIBO）证明证明 稳稳定定性性是是系系统统自自身身的的性性质质之之一一，系系统统是是否否稳稳定定与与激激励励信信号号的的情情况况无无关关。冲冲激激响响应应h(t)和和H(s)系系统统函函数数 从从两两方方面面表表征征了了同同一一系系统统的的本本性性，所所以以能能从从两两个个方方面面确确定系统的稳定性。定系统的稳定性。一由一由H(s)的极点位置判断系统稳定性的极点位置判断系统稳定性1 1稳定系统稳定系统 若若H(s)的的全全部部极极点点位位于于s平平面面的的左左半半平平面面（不不包包括括虚虚轴），则可满足轴），则可满足系统是稳定的。系统是稳定的。例如例如系统稳定；系统稳定；系统稳定。系统稳定。2 2不稳定系统不稳定系统 如如果果H(s)的的极极点点位位于于s s右右半半平平面面，或或在在虚虚轴轴上上有有二二阶（或以上）极点阶（或以上）极点系统是不稳定系统。系统是不稳定系统。3临界稳定系统 如果如果H(s)极点位于极点位于s s平面虚轴上，且只有一阶。平面虚轴上，且只有一阶。 为阶跃或等幅振荡。为阶跃或等幅振荡。 线性系统的稳定性线性系统的稳定性三证明对任意有界输入对任意有界输入e(t)，系统的零状态响应为：，系统的零状态响应为：充分性充分性充分性得证充分性得证必要性必要性必要性得证。必要性得证。例例4-24已知两因果系统的系统函数已知两因果系统的系统函数激励信号分别为激励信号分别为求两种情况的响应求两种情况的响应并讨论系统稳定性。并讨论系统稳定性。例例4-24解：激励信号的拉氏变换为：解：激励信号的拉氏变换为：系统响应的拉氏变换为系统响应的拉氏变换为例例4-24系统响应的时域表达式：系统响应的时域表达式：看出：激励信号有界，而产生无界信号的输看出：激励信号有界，而产生无界信号的输出。说明：出。说明：系统属不稳定系统属不稳定。从系统函数的极点看：系统在虚轴上有一阶从系统函数的极点看：系统在虚轴上有一阶极点，属极点，属临界稳定系统临界稳定系统。二、系统稳定性在电路中的具体体现二、系统稳定性在电路中的具体体现稳定系统：稳定系统：通常不含有受控源的通常不含有受控源的RLC电路，一定为稳电路，一定为稳定系统。定系统。振荡系统：振荡系统：只有只有LC元件构成的电路会出现元件构成的电路会出现H(s)极点极点位于虚轴的情况，位于虚轴的情况，h(t)呈等幅振荡。呈等幅振荡。以上两种情况都是以上两种情况都是无源网络无源网络，它们不能对外部供给能，它们不能对外部供给能量，响应函数幅度有限的，属稳定或临界稳定系统。量，响应函数幅度有限的，属稳定或临界稳定系统。含受控源的反馈系统可出现稳定、临界稳定和不稳定含受控源的反馈系统可出现稳定、临界稳定和不稳定几种情况。几种情况。实际上由于电子器件的非线性，电路可从不稳定状态实际上由于电子器件的非线性，电路可从不稳定状态逐步调整至临界稳定状态。利用它可产生自激振荡。逐步调整至临界稳定状态。利用它可产生自激振荡。举例举例4.25:4.25:举例举例4.25:4.25:举例举例4.25:4.25:举例举例4.26:4.26:举例举例4.26:4.26:举例举例4.26:4.26:4.13 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系引言傅氏变换与拉氏变换的关系一二衰减函数，傅氏变换是存在衰减函数，傅氏变换是存在: : 三例如：例如： 当当初初求求阶阶跃跃函函数数的的傅傅氏氏变变换换，不不是是用用经经典典法法( (定定义义式式) )，而而是是用用取取极极限限的的方方法法（矩矩形形脉脉冲冲的的周周期期为无穷大）引入了冲激函数而得到的。为无穷大）引入了冲激函数而得到的。对于极点位于虚轴对于极点位于虚轴 （4-162） 则则证明证明根据变换的惟一性根据变换的惟一性四总结 对对于于有有起起因因信信号号，求求单单边边拉拉氏氏变变换换中中，一一般般是是t0的的信信号号，所所以以收收敛敛域域在在收收敛敛轴轴右右边边。对对F(s)分分解解因因式式，找找出出极极点点。收收敛敛域域中中不不应应有有极极点点，最最右右边边的的极极点点为为收收敛敛坐标。坐标。作业P2644-46，4-47本章小结1、复习拉普拉斯定义，收敛域、复习拉普拉斯定义，收敛域2、拉氏变换的基本性质、拉氏变换的基本性质3、拉普拉斯逆变换、拉普拉斯逆变换4、用拉普拉斯变换法分析电路、用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型域元件模型5、系统函数、系统函数6、由系统函数零、极点分布决定时域特性、由系统函数零、极点分布决定时域特性7、由系统函数零、极分布决定频响特性、由系统函数零、极分布决定频响特性8、二阶谐振系统的、二阶谐振系统的s平面分析平面分析9、全通函数与最小相移函数的零、极点分布、全通函数与最小相移函数的零、极点分布10、线性系统的稳定性、线性系统的稳定性