第第1 1章章 有理数有理数1.2 1.2 数轴、相反数和绝对值数轴、相反数和绝对值第第1 1课时课时 数轴数轴1课堂讲解u数轴数轴u数轴上的点与有理数的对应关系数轴上的点与有理数的对应关系u数轴上两点间的距离数轴上两点间的距离2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 让机器人在一条东西向的直路上做走步取物试让机器人在一条东西向的直路上做走步取物试验验.根据指令：它由点根据指令：它由点O处出发，向西走处出发，向西走3 m到达点到达点A处，拿取物品，然后，返回点处，拿取物品，然后，返回点O处将物品放入篮中，处将物品放入篮中，再向东走再向东走2 m到达点到达点B处取物处取物.1.在如图所示的直线上画出点在如图所示的直线上画出点A，B两处的位置两处的位置.2.把向东走记作把向东走记作“+”，向西走记作，向西走记作“- -”，在上面的直线，在上面的直线 上标出与点上标出与点A，B相对应的数相对应的数.1知识点数轴数轴下面，我们用直线上的点来表示数下面，我们用直线上的点来表示数.知知1 1导导1.数轴的定义数轴的定义：规定了：规定了原点原点、正方向正方向和和单位长度单位长度的直线的直线 叫做数轴叫做数轴2.要点精析要点精析： (1)数轴是一条直线，可以向数轴是一条直线，可以向两端两端无限延伸无限延伸 (2)三要素：三要素：原点原点、正方向正方向、单位长度单位长度，三者缺一不可，三者缺一不可 (3)原点的选定、正方向的选取、单位长度的确定都是原点的选定、正方向的选取、单位长度的确定都是 根据实际需要根据实际需要“规定规定”的，通常规定向右为正在解的，通常规定向右为正在解 决具体问题时，可灵活选定原点的位置和单位长度决具体问题时，可灵活选定原点的位置和单位长度 的大小，一经选定就不能随意改动的大小，一经选定就不能随意改动知知1 1讲讲3.数轴的画法：一画：画一条直线数轴的画法：一画：画一条直线(一般是一般是水平直线水平直线)； 二取：选取原点，并用这点表示数字二取：选取原点，并用这点表示数字0； 三定：确定正方向，用箭头表示三定：确定正方向，用箭头表示(一般规定向右为正一般规定向右为正)； 四统一：单位长度应统一；四统一：单位长度应统一； 五标数：在原点左右两边五标数：在原点左右两边依次依次标上对应的刻度数标上对应的刻度数4.易错警示易错警示：在画数轴时常出现以下几种错误：在画数轴时常出现以下几种错误： (1)没有正方向；没有正方向；(2)没有原点；没有原点；(3)单位长度不统一；单位长度不统一； (4)标数时顺序不对标数时顺序不对知知1 1讲讲例例1 图中，是数轴的是图中，是数轴的是()导引：导引：A中没有正方向，中没有正方向，B中原点左侧标数顺序错误，中原点左侧标数顺序错误， C中单位长度不统一中单位长度不统一知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）D总结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨） 认识数轴，要紧扣数轴的定义，围绕数轴的认识数轴，要紧扣数轴的定义，围绕数轴的“三要素三要素”进行判断，三者缺一不可，同时还要注意进行判断，三者缺一不可，同时还要注意标数顺序标数顺序例例2 画出数轴，并说明画法画出数轴，并说明画法导引：导引：画数轴，要紧扣数轴的三要素：原点、正方向、画数轴，要紧扣数轴的三要素：原点、正方向、 单位长度单位长度 解：解：如图如图. 画法：画法：(1)画一条直线画一条直线(水平水平)；(2)取原点并标注取原点并标注 “0”；(3)画箭头画箭头(通常向右通常向右)；(4)确定单位长度确定单位长度(适适 当当)；(5)标注刻度数标注刻度数(直线下方直线下方)知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）总结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）(1)画数轴的步骤：一画画数轴的步骤：一画(直线直线)，二取，二取(原点原点)，三定，三定 (正方向正方向)，四统一，四统一(单位长度单位长度)，五标数，五标数(刻度数刻度数)；(2)数轴被原点分成两个区域：数轴被原点分成两个区域：从原点向右表示正从原点向右表示正 数区域，序号顺序数区域，序号顺序从左至右从左至右；从原点向左表示从原点向左表示 负数区域，序号顺序负数区域，序号顺序从右至左从右至左；(3)数标注在直线刻度下方数标注在直线刻度下方总结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨） 特别提醒特别提醒：画数轴时，原点的选定、正方向的：画数轴时，原点的选定、正方向的选取和单位长度的确定，都要根据实际需要而定，选取和单位长度的确定，都要根据实际需要而定，通常通常取向右的方向为正方向取向右的方向为正方向下列所画数轴正确的是下列所画数轴正确的是()下列说法中，错误的是下列说法中，错误的是()A在数轴上，原点位置的确定是任意的在数轴上，原点位置的确定是任意的B在数轴上，正方向是从原点向左在数轴上，正方向是从原点向左C在数轴上，确定单位长度时可根据需要任意选取在数轴上，确定单位长度时可根据需要任意选取D数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）21ACDB2知识点数轴上的点与有理数的对应关系数轴上的点与有理数的对应关系知知2 2讲讲1.数轴的两个最基本的应用数轴的两个最基本的应用： 一是知点读数，二是知数画点，一是知点读数，二是知数画点， 它是最直观的数形结合它是最直观的数形结合 体体2.数轴上的点与有理数间的关系：数轴上的每一个点都数轴上的点与有理数间的关系：数轴上的每一个点都 表示一个数，所有的有理数都可以用数轴上的点来表表示一个数，所有的有理数都可以用数轴上的点来表 示，但数轴上还有一部分点表示的不是有理数，它们示，但数轴上还有一部分点表示的不是有理数，它们 之间不是一一对应的关系，比如之间不是一一对应的关系，比如这样的数也能在数这样的数也能在数 轴上表示轴上表示知知2 2讲讲例例3 说出图中所示的数轴上说出图中所示的数轴上A，B，C，D各点表示的各点表示的 数数. 解：解：点点C在原点表示在原点表示0，点，点A在原点左边与原点距离在原点左边与原点距离2个单个单 位长度，故表示位长度，故表示- -2.同理，点同理，点B表示表示- -3. 5.点点D在原点在原点 右边与原点距离右边与原点距离2个单位长度，故表示个单位长度，故表示2.（来自教材）（来自教材）知知2 2讲讲例例4 在数轴上，画出表示下列各数的点在数轴上，画出表示下列各数的点: + 4， - -1.25，- -4.解：解：+4用数轴上位于原点右边与原点距离用数轴上位于原点右边与原点距离4个单位长度的个单位长度的 点表示，点表示，- -4用数轴上位于原点左边与原点距离用数轴上位于原点左边与原点距离4个单个单 位长度的点表示位长度的点表示.同理，可画出表示同理，可画出表示 点，如图点，如图. （来自教材）（来自教材）知知2 2讲讲例例5 画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点 2，2 ， ，3， .导引：导引：画出数轴后，先要区分清楚各个点的区域位置；画出数轴后，先要区分清楚各个点的区域位置； 再看它到原点有几个单位长度；最后画出点的位再看它到原点有几个单位长度；最后画出点的位 置置 解：解：如图如图.（来自（来自点拨点拨）总结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨） 对于给定的任一有理数，我们总可以在数轴上对于给定的任一有理数，我们总可以在数轴上找到一个点和它对应，即找到一个点和它对应，即知数画点知数画点；在画点时要注；在画点时要注意：意：(1)标实心圆点；标实心圆点；(2)数要写在对应点的正上方数要写在对应点的正上方1如图，分别用数轴上的点如图，分别用数轴上的点A，B，C，D表示数，下列表示数，下列判断正确的是判断正确的是()A点点D表示表示2.5B点点C表示表示1.25C点点B表示表示1.5 D点点A表示表示1.25在数轴上表示在数轴上表示2，0，6.3， 的点中，在原点右边的点中，在原点右边的点有的点有()A0个个B1个个C2个个D3个个知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）2数轴上两点间的距离的求法：数轴上两点间的距离的求法： 在数轴上求两点之间的距离，只需数一数两点在数轴上求两点之间的距离，只需数一数两点之间相隔多少个单位长度切记，距离不可能是之间相隔多少个单位长度切记，距离不可能是负数！负数！知知3 3讲讲3知识点数轴上两点间的距离数轴上两点间的距离知知3 3讲讲 例例6 数轴上到表示数轴上到表示2的点的距离是的点的距离是5的点表示的数的点表示的数 是是_错误答案：错误答案：7错解分析：错解分析：只考虑了表示只考虑了表示2的点右侧的点，忽视了左侧的点右侧的点，忽视了左侧 还有一个点；画出数轴，利用数形结合思想还有一个点；画出数轴，利用数形结合思想 能克服片面理解的误区，很直观看出数轴上能克服片面理解的误区，很直观看出数轴上 与表示与表示2的点相距的点相距5个单位长度的点在表示个单位长度的点在表示2的的 点的两侧，有两个点点的两侧，有两个点7或或3（来自（来自点拨点拨）总结知知3 3讲讲 距离是一个长度，在数轴上表示到某个点距离是一个长度，在数轴上表示到某个点的距离为的距离为a的点时，用的点时，用分类讨论思想分类讨论思想时要考虑在时要考虑在这个点左侧且距此点这个点左侧且距此点a个单位长度有一个点；在个单位长度有一个点；在这个点右侧且距此点这个点右侧且距此点a个单位长度也有一个点个单位长度也有一个点 （来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲例例7 如图如图1，数轴上有三点，数轴上有三点A、B、C.请回答：请回答： (1)三点三点A、B、C中，任意两点之间的距离是多少个中，任意两点之间的距离是多少个 单位长度？单位长度？ (2)将点将点C沿数轴向左移动沿数轴向左移动8个单位长度，此时点个单位长度，此时点A、 B、C中任意两点之间的距离是多少个单位长度？中任意两点之间的距离是多少个单位长度？导引：导引：(1)在数轴上数一数两点之间有多少个单位长度，要在数轴上数一数两点之间有多少个单位长度，要 注意，距离与方向注意，距离与方向(正负正负)无关，其结果都是正的无关，其结果都是正的 (2)在数轴上画出点在数轴上画出点C移动后的位置点移动后的位置点C，然后求出，然后求出 A、B、C中任意两点之间的距离即可中任意两点之间的距离即可知知3 3讲讲解：解：(1)A、B两点之间的距离是两点之间的距离是5个单位长度；个单位长度；B、C两点之两点之 间的距离是间的距离是2个单位长度；个单位长度；A、C两点之间的距离是两点之间的距离是7 个单位长度个单位长度 (2)如图如图2，将点，将点C沿数轴向左移动沿数轴向左移动8个单位长度，得点个单位长度，得点 C. 此时，此时，A、B两点之间的距离是两点之间的距离是5个单位长度；个单位长度；B、 C两点之间的距离是两点之间的距离是6个单位长度；个单位长度；A、C两点之两点之 间的距离是间的距离是1个单位长度个单位长度 （来自（来自点拨点拨）1(2015永州永州)在数轴上表示数在数轴上表示数1和和2 014的两点分别的两点分别为为A和和B，则，则A，B两点之间的距离为两点之间的距离为()A2 013 B2 014 C2 015 D2 016如图，数轴上一动点如图，数轴上一动点A向左移动向左移动2个单位长度到达点个单位长度到达点B，再向右移动，再向右移动5个单位长度到达点个单位长度到达点C，若点，若点C表示表示的数为的数为1，则点，则点A表示的数为表示的数为()A7 B3 C3 D2知知3 3练练2（来自（来自典中点典中点）1.数轴的数轴的“两点应用两点应用”： (1)根据有理数在数轴上找到表示该有理数的点；根据有理数在数轴上找到表示该有理数的点； (2)根据数轴上表示有理数的点读出其表示的有理根据数轴上表示有理数的点读出其表示的有理 数，简单地说，一是数，简单地说，一是知数画点知数画点，二是，二是知点读数知点读数2.数轴上的点与有理数间的关系：数轴上的点与有理数间的关系： 所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但数轴上所有的有理数都可用数轴上的点来表示，但数轴上 的点表示的数不一定都是有理数的点表示的数不一定都是有理数