都有定理定理(dngl)2(比比较审敛法较审敛法)设且存在(cnzi)对一切(yqi)有(1) 若强级数则弱级数(2) 若弱级数则强级数证:设对一切则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有是两个正项级数, (常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共29页第一页，共30页。(1) 若强级数(j sh)则有因此(ync)对一切有由定理(dngl) 1 可知,则有(2) 若弱级数因此这说明强级数也发散 .也收敛 .发散,收敛,弱级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共29页第二页，共30页。例例1.讨论讨论(toln)p级级数数(常数(chngsh) p 0)的敛散性. 解: 1) 若因为(yn wi)对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散 .发散 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共29页第三页，共30页。因为(yn wi)当故考虑(kol)强级数的部分(b fen)和故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .时,2)若若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共29页第四页，共30页。调和级数与调和级数与p级数是两个常用级数是两个常用(chnyn)的比较级数的比较级数.若存在(cnzi)对一切(yqi)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共29页第五页，共30页。讨论(toln)级数的敛散性解:而发散(fsn)，根据(gnj)比较审敛法可知,级数(1)发散 .例例2.2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 而收敛，根据比较审敛法可知,级数(2)收敛 .第6页/共29页第六页，共30页。例例3.若级数若级数(jsh)均收敛(shulin) , 且证明(zhngmng)级数收敛 .证: 则由题设收敛收敛收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共29页第七页，共30页。定理定理3.(比较审敛法的极限比较审敛法的极限(jxin)形式形式)则有两个(lin )级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 (3) 当 l = 证: 据极限(jxin)定义,设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共29页第八页，共30页。由定理(dngl) 2 可知同时收敛(shulin)或同时发散 ;(3) 当l = 时,即由定理(dngl)2可知, 若发散 , (1) 当0 l 0级数收敛(shulin)，p0 级数发散 .机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 级数收敛 .第12页/共29页第十二页，共30页。定理定理4.比值比值(bzh)审敛法审敛法(Dalembert判别法判别法)设 为正项(zhn xin)级数, 且则(1) 当(2) 当证: (1)收敛(shulin) ,时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共29页第十三页，共30页。因此(ync)所以(suy)级数发散.时(2)当当说明(shumng): (shumng): 当时,级数可能收敛也可能发散.例如, , p 级数但级数收敛 ;级数发散 .从而机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共29页第十四页，共30页。例例6.讨论讨论(toln)级数级数的敛散性 .解: 根据(gnj)定理4可知:级数(j sh)收敛 ;级数发散 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共29页第十五页，共30页。例例7:判别(pnbi)下列级数的敛散性:解: (1) 据比值判别法, 级数(j sh)发散 .据比较判别法，级数(j sh)收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共29页第十六页，共30页。用比值(bzh)判别法可知:时收敛(shulin) ;时, 与 p 级数比较(bjio)可知时收敛;时发散.时发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共29页第十七页，共30页。对任意给定(i dn)的正数 定理定理(dngl)5.根值审敛法根值审敛法(Cauchy判别法判别法)设 为正项级则证明(zhngmng)提示: 即分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.数, 且机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共29页第十八页，共30页。时 , 级数(j sh)可能收敛也可能发散 .例如(lr) , p 级数 说明说明(shumng):但级数收敛 ;级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共29页第十九页，共30页。例例8.证明证明(zhngmng)级级数数收敛(shulin)于S ,似代替和 S 时所产生(chnshng)的误差 . 解: : 由定理5可知该级数收敛 .令则所求误差为并估计以部分和 Sn 近 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共29页第二十页，共30页。例例9:判别下列(xili)级数的敛散性:解: (1) 据根值判别法, 级数(j sh)发散 .据比较判别法，级数(j sh)收敛机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)第21页/共29页第二十一页，共30页。定理定理6.（积分（积分(jfn)判别法）判别法）设 上是机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 非负可积且递减(djin)的连续函数，记则级数与广义积分的收敛性相同.推论. 则级数与广义积分的收敛性相同.第22页/共29页第二十二页，共30页。例例10.讨论讨论(toln)p级数级数(常数(chngsh) p 0)的敛散性. 解: 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 广义积分 时发散 .当 p 1 时收敛 ; p1 则p 级数当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .第23页/共29页第二十三页，共30页。例例11.讨论讨论(toln)级数级数的敛散性. 解: 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 广义(gungy)积分 时发散 .当 p 1 时收敛 ; p1 则级数当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .第24页/共29页第二十四页，共30页。内容内容(nirng)小结小结1. 利用部分(b fen)和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用(lyng)正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共29页第二十五页，共30页。思考思考(sko)与练习与练习1.设正项级数(j sh)收敛(shulin), 能否推出收敛 ?提示:由比较判敛法可知收敛 .注意:反之不成立.例如,收敛 ,发散 .目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共29页第二十六页，共30页。练习练习(linx)2. 判别(pnbi)级数的敛散性:解: (1)发散(fsn) ,故原级数发散 .不是 p级数(2)发散 ,故原级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共29页第二十七页，共30页。 作业作业(zuy) P231 1 (2), (3), 2 (1), (3), (4), (5) ; 3 (1), (3), (5) ; 4 (3) ; 5 (3)第三节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 P221 1 (1), (2) ；(5) 2 (2)； 第28页/共29页第二十八页，共30页。感谢您的欣赏(xnshng)！第29页/共29页第二十九页，共30页。内容(nirng)总结都有。第1页/共29页。由定理 1 可知(k zh),。第2页/共29页。由比较审敛法可知(k zh) p 级数。第3页/共29页。同时收敛或同时发散。例4. (2) 判别级数。时, 级数发散 .。时,级数可能收敛也可能发散.。分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.。并估计以部分和 Sn 近。据根值判别法, 级数发散 .。例11. 讨论 级数。解: (1)。2 (2)。第28页/共29页。感谢您的欣赏。第29页/共29页第三十页，共30页。