皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章中国人民大学中国人民大学安徽大学皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章请同学们爱护教室的公物和卫生!皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章主讲人：主讲人： 匡大章匡大章皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章解题先解解题先解人人 高考想到出题难高考想到出题难 考纲如镜法如山考纲如镜法如山 几支梅艳三寒苦几支梅艳三寒苦 一道题成百汗干一道题成百汗干 缘遇遭遇各有因缘遇遭遇各有因 殊途同归大局稳殊途同归大局稳 解题先解出题人解题先解出题人 看到题型想题根看到题型想题根皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章与命题人相约与命题人相约（一）（一）考题考题 是在这样制作是在这样制作（三）（三）试卷试卷 是按板块划分是按板块划分（二）（二）考纲考纲 是在这样修订是在这样修订（四）创新题（四）创新题 不与考生为难不与考生为难皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章（一）考题（一）考题 是在这样制作是在这样制作 高考出题高考出题, 在很多人的心中是件在很多人的心中是件“神秘的事神秘的事”. 由于保密由于保密, 故有人称高考出题是故有人称高考出题是“暗箱操作暗箱操作”.其实其实, 高考出题是非常透明的高考出题是非常透明的“阳光工程阳光工程”.考什么考什么? 怎么考怎么考? 在在考试大纲考试大纲及其及其”说明说明”中讲的十分明白中讲的十分明白. 只是我们有时只注意到了要考查的内容细节只是我们有时只注意到了要考查的内容细节, 而忽略了而忽略了考查的命题思想和命题过程考查的命题思想和命题过程.更少有人去考虑命题过程中的机遇和遭遇更少有人去考虑命题过程中的机遇和遭遇.皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章20082008年全国年全国1 1卷第卷第1010题的设计题的设计【考点考点】 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系【题序题序】 选择题选择题 第第3组组 710号位号位【难度难度】 偏易题偏易题 难度难度0.7左右左右【入口入口】 视角大视角大 交汇广交汇广 选择多选择多 入口宽入口宽 【能力能力】 突出数学突出数学思想思想 倡导会想少算倡导会想少算【期待期待】 一般生少量演草一般生少量演草 尖子生一望而答尖子生一望而答【同根同根】 文理共有题根文理共有题根 文理要求有别文理要求有别皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章第第1010题根基的审查题根基的审查【代数设计代数设计】 已知已知 一次方程一次方程 ax+ by =1和和 二次方程二次方程x2+ y2 = 1方程组有解的条件是方程组有解的条件是 a2+ b2 1.【代数追根代数追根】方程组消方程组消 y 后化归到一元二次方程后化归到一元二次方程 根基是一元二次方程的判别式。根基是一元二次方程的判别式。【几何设计几何设计】 已知已知 一次直线一次直线 ax+ by =1 和和 单位圆单位圆x2+ y2 = 1直线与圆有公共点的条件是直线与圆有公共点的条件是 a2+ b2 1.【几何追根几何追根】点和直线的位置关系点和直线的位置关系 圆心到直线的距离不大于圆的半径。圆心到直线的距离不大于圆的半径。 皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章第第1010题的演变题的演变【初稿初稿】 已知已知 一次直线一次直线 ax+ by =1和和 单位圆单位圆x2+ y2 = 1直线与圆有公共点的条件是直线与圆有公共点的条件是 a2+ b2 1.【说明说明】这种演变，是题根从代数模型向几何模型的倾斜：这种演变，是题根从代数模型向几何模型的倾斜： 从代数上看，一次方程变复杂了，从代数上看，一次方程变复杂了， 从几何上看，截距式方程变简单了！从几何上看，截距式方程变简单了！【终稿终稿】已知已知 直线直线 和单位圆和单位圆x2+ y2 = 1直线与圆有公共点的条件是直线与圆有公共点的条件是 .皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章20082008年全国年全国1 1卷文科第卷文科第1010题题【说明说明】 考点选择：直线与圆的位置关系考点选择：直线与圆的位置关系有公共点。有公共点。直线选择了斜截式，圆选择了单位圆。直线选择了斜截式，圆选择了单位圆。【考题考题】若直线若直线 与与 圆圆 有公共点有公共点 ，则，则 A B C D问题设计：求参数问题设计：求参数a，b所满足的条件。所满足的条件。皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章舍直求迂舍直求迂 出题人苦心不遇出题人苦心不遇【考题考题】若直线若直线 与与 圆圆 有公共有公共 点，则点，则 A B C D【解一解一】（解几进入）（解几进入） 设圆心到直线设圆心到直线 的距离为的距离为 ，那么，那么 【点评点评】 数形结合可贵数形结合可贵，公式死板太迂公式死板太迂皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章截迂为直截迂为直 一望而答一望而答【考题考题】若直线若直线 与与 圆圆 x2+y2=1 有公共有公共 点，则点，则 A B C D【点评点评】 特殊一般、部分整体特殊一般、部分整体。【解二解二】 设圆心到直线设圆心到直线 的距离为的距离为 截迂为直，一望而答！截迂为直，一望而答！皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章20082008年全国年全国1 1卷文科第卷文科第1010题题【解三解三】（代数进入）（代数进入） 直线直线 方程与圆方程联立，消方程与圆方程联立，消 y 得得 【考题考题】若直线若直线 与与 圆圆 有公共点有公共点 ，则，则 A B C D【点评点评】 等价转换可贵，数形结合倒置！等价转换可贵，数形结合倒置！ （a2+b2）x2 2ab2x + a2b2 - a2 = 0令判别式大于等于令判别式大于等于0，解得答案，解得答案D运算量大运算量大繁！繁！皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章20082008年全国年全国1 1卷文科第卷文科第1010题题【解四解四】 取取a= b= 1/2, 淘汰淘汰 B 和和 C【考题考题】若直线若直线 与与 圆圆 x2+y2=1 有公共点有公共点 ，则，则 A B C D【点评点评】 特殊一般、偶然必然。特殊一般、偶然必然。 取取a =2， b= 1/2, 淘汰淘汰 A 答案只能为答案只能为D. 特值淘汰法，一望而答。特值淘汰法，一望而答。皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章20082008年全国年全国1 1卷理科第卷理科第1010题的命制题的命制【改理改理】 将圆将圆 的方程的方程 x2+y2 = 1 参数化：参数化：【文题文题】若直线若直线 与与 圆圆 x2+y2=1 有公共点有公共点 ，则，则 A B C D 问题改成：直线过点问题改成：直线过点 M（ cos ， sin ） 设设x = cos y = sin 【说明说明】 在文、理姐妹题中，理题比文题多一道在文、理姐妹题中，理题比文题多一道“弯弯”！皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章20082008年全国年全国1 1卷理科第卷理科第1010题题【转文转文】 点点M（ cos ， sin ）的轨迹是）的轨迹是 圆圆 x2 + y2 = 1.【理题理题】若直线若直线 过点过点M（ cos ， sin ） ，则，则 A B C D以下转为文科第以下转为文科第10题求解题求解.【点评点评】 命题如制谜，解题如猜谜，制谜时用数学思想转换，命题如制谜，解题如猜谜，制谜时用数学思想转换，猜谜时用数学思想还原！猜谜时用数学思想还原！皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章20082008年理科第年理科第1010题解法题解法【思考思考】 点点M（ cos ， sin ）的轨迹是）的轨迹是 圆圆 x2 + y2 = 1.【理题理题】若直线若直线 过点过点M（ cos ， sin ） ，则，则 A B C D以下可以转为文科第以下可以转为文科第10题求解题求解. 但是，如果不转化为文科的单位圆，有直接的解法吗？但是，如果不转化为文科的单位圆，有直接的解法吗？皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章20082008年理科第年理科第1010题的直解题的直解【直解直解】 点点M（ cos ， sin ）在）在 直线上，则有直线上，则有【理题理题】若直线若直线 过点过点M（ cos ， sin ） ，则，则 A B C D【思考思考】你能由此推出你能由此推出 吗？吗？皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章会想少算会想少算 形繁实简形繁实简【问题问题】你能由你能由 推出推出 吗？吗？【提示提示】【口答口答】 sin (+) = 1直解简单，不必转文！直解简单，不必转文！皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章20082008年全国年全国1 1卷第卷第1010题妙解题妙解【妙解妙解】 直线到原点的距离有最大值直线到原点的距离有最大值1，但无最小值。，但无最小值。【理题理题】若直线若直线 过点过点M（ cos ， sin ） ，则，则 A B C D【点评点评】肯定否定、有限无限。思想激活，一望而答！肯定否定、有限无限。思想激活，一望而答！a ， b 0，淘汰，淘汰B 和和 Ca ， b 0，淘汰，淘汰A 皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章（1 1）20102010年高考数学大纲是年高考数学大纲是20092009年的延续年的延续. .（二）（二）考纲考纲 是在这样修订是在这样修订（2 2）试题设计的创新程度，要符合中学教学实际与学生实际）试题设计的创新程度，要符合中学教学实际与学生实际. .（4 4）三角函数、立体几何两个模块的具体要求降低）三角函数、立体几何两个模块的具体要求降低（3 3）易、中、难三种题型设计的比例，容易题和中档题为主）易、中、难三种题型设计的比例，容易题和中档题为主 体，较难题不超过体，较难题不超过30%30%，中档题和容易题不低于中档题和容易题不低于70%.70%.（5 5）多想少算，凸显思维，不在草稿纸上比高矮。）多想少算，凸显思维，不在草稿纸上比高矮。皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章试卷布局，从大题开始：试卷布局，从大题开始：（三（三）设计）设计试卷试卷 按板块划分按板块划分（2 2）隐性的两大隐性的两大板块或在大题中交叉，或在小题中填补板块或在大题中交叉，或在小题中填补。（1 1）六道大题，安排着高中数学的六大显形板块。六道大题，安排着高中数学的六大显形板块。（3 3）显性六大板块是：三角、立几、显性六大板块是：三角、立几、概率、解几、概率、解几、函数、数列函数、数列。（4 4）隐性的两大板块是：不等式、向量隐性的两大板块是：不等式、向量。（5 5）还有离散小块；线性规划、排列组合、二项式定理、复数还有离散小块；线性规划、排列组合、二项式定理、复数等，它们在大题中作辅助支撑，或在小题中单独出题。等，它们在大题中作辅助支撑，或在小题中单独出题。皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章第第16题（题（12分），解三角形（三角函数）分），解三角形（三角函数） .文理一样文理一样20092009年安徽卷年安徽卷6 6大板块的分布大板块的分布第第18题（题（12分），分），(文）文）解析几何（椭圆与圆）解析几何（椭圆与圆） （理）（理）立体几何（解四棱锥）立体几何（解四棱锥）.第第17题（题（12分），分），概率统计（数学应用题概率统计（数学应用题 ） . 文统计茎叶图理离散分布列文统计茎叶图理离散分布列第第20题（题（12分），分）， (文）文）立体几何（线面关系）立体几何（线面关系） （理）（理）解析几何（椭圆）解析几何（椭圆）第第19题（题（12分），分），（文）（文）数列通项求和（不等式）数列通项求和（不等式） （理）（理）函数导数（讨论单调性）函数导数（讨论单调性） .第第21题（题（12分），分），（文）（文）函数导数（讨论单调性）函数导数（讨论单调性） （理）（理）数列（不等式）数列（不等式）.【分析分析】(1) 解、证不等式和向量没有单独设大题解、证不等式和向量没有单独设大题. (2) 数学应用题转到概率统计数学应用题转到概率统计. (3) 函数和函数方程思想渗透到各个板块函数和函数方程思想渗透到各个板块. 皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章 0909年安徽卷年安徽卷1515道客观题的板块归属道客观题的板块归属第第1题，复数代数计算（题，复数代数计算（0） 第第9题，导数（题，导数（1） 第第2题，集合运算（题，集合运算（7） 第第10题，概率（题，概率（2） 第第11题，空间坐标题，空间坐标 （正态分布）（正态分布）（0） 第第3题，线性规划题，线性规划 （解析几何（解析几何 ） （0） 第第4题，充要条件（题，充要条件（7、3） 第第12题，算法框图题，算法框图 （参数方程）（参数方程）（0） 第第5题，数列（题，数列（6） 第第13题，几何概率题，几何概率 （算法框图）（算法框图）（0） 第第7题，题，解析几何解析几何 （线性规划）（线性规划）（0） 第第6题，题，解析几何解析几何 （函数图像）（函数图像） （0） 第第8题，题，函数图像函数图像（三角函数）（三角函数）（0） 第第14题，向量（题，向量（0） 第第15题，题，立体几何立体几何（1、5） 【说明说明】 显形板块显形板块 6个个：（：（1）三角）三角函数函数；（；（2）立体几何；）立体几何；（3）函数，（）函数，（4）概率概率统计；统计； （5）解几；（）解几；（6）数列）数列.隐形板块隐形板块 1个：个：(7)不等式不等式.皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章（四）（四） 创新题创新题 不与考生为难不与考生为难创新的要求提的很高，创新的要求提的很高，新题型也喊得很响。但是它必须服新题型也喊得很响。但是它必须服从高考稳定的需要。从高考稳定的需要。反复强调：新题型的新立意、新情景、新设问、新解答，反复强调：新题型的新立意、新情景、新设问、新解答，新新应用等，必须为应用等，必须为高中生可以接受高中生可以接受。为了新而不难，这几年新课程考区的数学试题，凡有为了新而不难，这几年新课程考区的数学试题，凡有“创创新新” 的题目，的确没有与考生为难！的题目，的确没有与考生为难！高考稳定就是社会稳定！高考稳定就是社会稳定！皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章( A ) x1x2x3 ( B ) x1x3x2 ( C ) x2x3x1 ( D ) x3x2x1【说明说明】 本题基本不涉及高中数学知识本题基本不涉及高中数学知识.有些初中生也可解出有些初中生也可解出.【例例】 图右为三岔路口交通环岛的图右为三岔路口交通环岛的简化模型，某高峰时段，单位时间简化模型，某高峰时段，单位时间进出路口进出路口 A、B、C 的机动车辆数如的机动车辆数如图所示，图中图所示，图中x1，x2，x3分别表示该分别表示该时段单位时间通过路段时段单位时间通过路段 , , 的机动车辆数（假设：单位时的机动车辆数（假设：单位时间内，上述路段中，同一路段上驶间内，上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则入与驶出的车辆数相等），则高考试题 初中能解皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章【例例】 图右为三岔路口交通环岛的图右为三岔路口交通环岛的简化模型，某高峰时段，单位时间简化模型，某高峰时段，单位时间进出路口进出路口 A、B、C 的机动车辆数如的机动车辆数如图所示，图中图所示，图中x1，x2，x3分别表示该分别表示该时段单位时间通过路段时段单位时间通过路段 , , 的机动车辆数（假设：单位时的机动车辆数（假设：单位时间内上述路段中，同一路段间内上述路段中，同一路段( A ) x1x2x3 ( B ) x1x3x2 ( C ) x2x3x1 ( D ) x3x2x1上驶入与驶出的车辆数相等），则上驶入与驶出的车辆数相等），则【初中生的解答初中生的解答】 段上的车辆数段上的车辆数 x1 有两部分组成，一是从有两部分组成，一是从 A口进来的口进来的50辆，二是从辆，二是从 段上分流过来的段上分流过来的x3 55，于是有，于是有x1=50+x3 -55=x3 -5，所以，所以x1 x3，同理得，同理得x3x2x3 ( B ) x1x3x2 ( C ) x2x3x1 ( D ) x3x2x1【高中生的困惑高中生的困惑】 有些高中生敏于文字信息，而疏于图形信息有些高中生敏于文字信息，而疏于图形信息. 而此题的文字只给了一个数学情境，数据及其关系都在图中而此题的文字只给了一个数学情境，数据及其关系都在图中. 这这就是某些高中生交白卷的原因就是某些高中生交白卷的原因.上驶入与驶出的车辆数相等），则上驶入与驶出的车辆数相等），则皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章以上考题连初中生（甚至小学生）都会做，而有高中生解不出，以上考题连初中生（甚至小学生）都会做，而有高中生解不出，故有人说：高中数学知识学的越多，解新题就越困难故有人说：高中数学知识学的越多，解新题就越困难.这句话显然是错的，困难的原因不是这句话显然是错的，困难的原因不是“难难”而是而是“新新”，用死，用死套路去解新题目，自然会失败套路去解新题目，自然会失败. 不因为不因为“难难” 只因为只因为“新新”x1 - x3 = 50 55 0 得得 x1x3遗憾的是，有些高中生所学的遗憾的是，有些高中生所学的“比较法比较法”，只能，只能“比较比较”旧题目旧题目.其实其实 ，利用高中数学，利用高中数学“实数比大实数比大小小”，比较法可以很快得到：，比较法可以很快得到：皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章趣事趣事 家长也能解此题家长也能解此题有一位家长，不知是不是一位司机，有一位家长，不知是不是一位司机，反正，他看到此题，认为非常容易，反正，他看到此题，认为非常容易，甚至甚至“不需要数学不需要数学”，你听他唱：，你听他唱：x1、x3 比大小比大小看看看看A口就知晓口就知晓出的多来进的少出的多来进的少所以所以 x1 比比 x3 小小其实，他的其实，他的“比大小比大小”就是数学，可能是学究们不明白就是数学，可能是学究们不明白的的“另种数学另种数学”.皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章新考题所留下的印象新考题所留下的印象（1）数学背景不生，数学情景很熟；）数学背景不生，数学情景很熟；（3）数学内容不偏，数学沟通很广；）数学内容不偏，数学沟通很广；（6）数学设问不难，数学入口很宽；）数学设问不难，数学入口很宽；（9）数学问题不刁，数学思想很活；）数学问题不刁，数学思想很活；（4）数学方法不旧，数学应用很新；）数学方法不旧，数学应用很新；（5）数学）数学知识知识不杂，数学叙述很详；不杂，数学叙述很详；（2）数学理论不深，数学）数学理论不深，数学实践实践很重；很重；（7）数学抽象不怪，数学形象很多；）数学抽象不怪，数学形象很多；（8）数学研究不虚，数学科普很实；）数学研究不虚，数学科普很实；皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章对一道有关圆锥曲线课本习题的解法探析对一道有关圆锥曲线课本习题的解法探析高考题可以说是源于课本而高于课本，正是此高考题可以说是源于课本而高于课本，正是此原因，我们在一轮复习时要抓着课本，吃透课原因，我们在一轮复习时要抓着课本，吃透课本习题，展开思维的想象，我们可以选取课本本习题，展开思维的想象，我们可以选取课本上的较为典型的习题，进行深入的研究和论，上的较为典型的习题，进行深入的研究和论，用以前学过的旧知识解决学习中遇到的新题，用以前学过的旧知识解决学习中遇到的新题，加强知识的横向联系，拓宽思维的灵活性和广加强知识的横向联系，拓宽思维的灵活性和广阔性。这样当我们面对高考试题时会不慌忙，阔性。这样当我们面对高考试题时会不慌忙，从容以对。从容以对。皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章选修3-2（文科选修2-1）章节复习题：上求一点P，使它与两个焦点的连线互相垂直。在椭圆分析：这是一道很好的复习题，一是从思维的角度看，它有很多求解的切入点；二是通过对其解法的归纳、总结，我们能对圆锥曲线的性质及一般解题方法和规律理解得更深刻。由题意得：a=皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章思路思路1：在解析几何中，两直线垂直通常用斜率乘积等于：在解析几何中，两直线垂直通常用斜率乘积等于-1来表示。来表示。解法1：由 得又 点P在椭圆上，联立得所以：满足条件的点有四个，即皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章思路2：由于P是椭圆上的动点，当 时，可以把它看成在以 为直径的圆周上运动，因此把P点看成两条曲线的交点，就可以求P点的坐标了。解法2：P点在以 为直径的圆周上，故有 上式与 联立，即可 求出满足条件的4的点。以下同解法1.皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章思路3：两条直线的垂直关系可以用向量来表示，即相应的两个向量的数量积等于零，因此可以构造向量来解决。解法3：由得以下同解法1.皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章思路4：在直角三角形F1PF2中，因为斜边已知，如果两条直角边能用P点坐标表示，那么利用勾股定理就可以解决，而表示PF1、PF2用焦半径公式就很简单。解法4：由焦半径公式：在中,以下略。皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章思路5：由于P点在椭圆上，所以点P坐标可以用椭圆的参数方程来表示，这样减少了未知数，用勾股定理建立方程就可以了。解法5：设 则：由勾股定理，得皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章思路6：利用面积的两种方法，建立方程求解：解法6：皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章小结：小结： 上述的每一种解法都蕴含着一种数上述的每一种解法都蕴含着一种数学思想。从上述解法中，我们可以得到学思想。从上述解法中，我们可以得到这样的启示：解析几何中解有关垂直问这样的启示：解析几何中解有关垂直问题，关键在于准确把握题，关键在于准确把握“垂直垂直”这一概这一概念是如何反映的，其核心就是念是如何反映的，其核心就是“转化转化”的思想，将的思想，将“垂直垂直”转化为符号语言、转化为符号语言、图形语言，从中寻找规律，实施解题，图形语言，从中寻找规律，实施解题，这正是解决数学问题的一般规律，需要这正是解决数学问题的一般规律，需要很好地掌握。很好地掌握。皖西中学数学组皖西中学数学组匡大章匡大章当你是地平线上一棵草的时候，不要指望别人会在当你是地平线上一棵草的时候，不要指望别人会在远处看到你，即使他们从你身边走过甚至从你身上远处看到你，即使他们从你身边走过甚至从你身上踩过，也没有法，因为你只是一棵草；而如果你变踩过，也没有法，因为你只是一棵草；而如果你变成了一棵树，即使在很远的地方，别人也会看到你，成了一棵树，即使在很远的地方，别人也会看到你，并且欣赏你，因为你是一棵树！并且欣赏你，因为你是一棵树！ -俞敏洪