圆中的有关定理圆中的有关定理 垂径定理垂径定理OABCDM提示提示:垂径定理是垂径定理是圆中一个重圆中一个重要的结论要的结论,三三种语言要相种语言要相互转化互转化,形成形成整体整体,才能运才能运用自如用自如.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦垂径定理：垂直于弦的直径平分弦垂径定理：垂直于弦的直径平分弦垂径定理：垂直于弦的直径平分弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧如图如图CD是直径是直径,CDAB,AM=BM, AC= BC, AD = BD.垂径定理的逆定理：平分弦的直径垂直于这条弦垂径定理的逆定理：平分弦的直径垂直于这条弦典型例题解析典型例题解析【例例1 1】在在直直径径为为400mm400mm的的圆圆柱柱形形油油槽槽内内，装装入入一一部部分分油，油面宽油，油面宽320mm320mm，求油的深度，求油的深度. .【解析解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图两种不同的情况，如图(1)(1)和和(2)(2)图图(1)(1)中中OC=OC=120(mm)=120(mm)CD=80(mm)CD=80(mm)图图(2)(2)中中OC=120(mm)OC=120(mm)CD=OC+OD=320(mm)CD=OC+OD=320(mm)典型例题解析典型例题解析典型例题解析典型例题解析【例例2 2】(2003年年广州市广州市)如图，如图，A A是半径为是半径为5 5的的O O内的内的 一点，且一点，且OA=3OA=3，过点，过点A A且长小于且长小于8 8的弦有的弦有 ( )( ) A.0 A.0条条 B.1B.1条条 C.2C.2条条 D.4D.4条条 【解析解析】这题是考察垂径定理的几何题，先求出垂直于这题是考察垂径定理的几何题，先求出垂直于OAOA的弦长的弦长BC=2 =8BC=2 =8即过即过A A点最短的弦长为点最短的弦长为8 8，故，故没有弦长没有弦长小于小于8 8的弦，的弦，选选(A)(A) 例例3: 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为 7.2米米,拱顶高出水面拱顶高出水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船米、船 舱顶部为长方形并高出水面舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这米的货船要经过这里里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？n.典型例题解析典型例题解析相信自己能独相信自己能独立完成解答立完成解答解解:如图如图,用用 表示桥拱表示桥拱, 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O,半径为半径为Rm,经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD,D为垂足为垂足,与与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理据垂径定理,D是是AB的中点的中点,C是是 的中点的中点,CD就是拱高就是拱高.由题设得由题设得在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得解得解得 R3.9（m）.在在RtONH中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得此货船能顺利通过这座拱桥此货船能顺利通过这座拱桥.相交弦定理和切割弦定理相交弦定理和切割弦定理 相交弦定理及其推论相交弦定理及其推论定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的 积相等积相等(PAPB=PCPD)(PAPB=PCPD)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直 径所成的两条线段的比例中项径所成的两条线段的比例中项(PCPC2 2=PD=PD2 2=PAPB=PAPB).2 相交弦定理和切割弦定理相交弦定理和切割弦定理切割线定理切割线定理定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等圆的交点的两条线段长的积相等(PAPB=PCPD)(PAPB=PCPD)，且都等于这点到圆所作切线长的平方（且都等于这点到圆所作切线长的平方（PTPT2 2=PAPB=PAPB）CDPBAT T 例例1 1已已知知如如图图，ABAB是是O O的的直直径径，弦弦CDABCDAB，垂垂足足为为E E，P P为为BABA延延长长线线上上的的点点，连连结结PCPC，交交O O于于F F，如如果果PF=7PF=7，FC=13FC=13，且，且PAAEEB=241PAAEEB=241，求，求CDCD的长的长. .【解析解析】涉及圆中有关切割线，相交弦涉及圆中有关切割线，相交弦定理的应用问题时，要注意寻找应用定定理的应用问题时，要注意寻找应用定理的基本图形，如理的基本图形，如PFCPFC与与PABPAB是割线，得是割线，得到到PFPC=PAPBPFPC=PAPB，CDCD与与ABAB是是O O中两条互中两条互相垂直的弦相垂直的弦. .得到得到CECE2 2=AEBE=AEBE由由PAAEEB=241PAAEEB=241可设可设PA=2kPA=2k，AE=4kAE=4k，EB=kEB=k，则，则PB=7kPB=7k则则7(7+13)=2k7k 7(7+13)=2k7k k= k= 由由CECE2 2=AEBE=CE=AEBE=CE2 2=4kk=4k=4kk=4k2 2 CE=2 CD=2CE=4CE=2 CD=2CE=4典型例题解析典型例题解析典型例题解析典型例题解析典型例题解析典型例题解析例例2 2. .如图，如图，ABCABC是是O O的内接三角形，的内接三角形，PAPA是切是切线，线，PBPB交交ACAC于于E E，交，交O O于于D D，且，且PE=PAPE=PA，ABC=60ABC=60，PD=1PD=1，BD=8BD=8，求，求CECE的长的长. .解：解：PAPA是是O O切线切线PAPA2 2=PDPB=1(1+8)=9PA=3=PDPB=1(1+8)=9PA=3PAC=ABC=60PAC=ABC=60PE=PAPAEPE=PAPAE是等边三角形是等边三角形AE=EP=3DE=2AE=EP=3DE=2，BE=6BE=6AEEC=BEDEAEEC=BEDEEC= =4EC= =4典型例题解析典型例题解析【例例3 3】如如图图(1)(1)，已知，已知O O的弦的弦ABAB、CDCD交于交于圆圆内的内的一点一点E E，过过E E作作EFBCEFBC交交DADA的延的延长线长线于于F F，FGFG切切O O于于G.(1)G.(1)求求证证：EF=FGEF=FG图图(1)(1)(2)(2)若若ABAB与与CDCD的的交交点点在在O O外外，上上述述结结论论是是否否成成立立，请证请证明你的猜想明你的猜想. .【解解析析】(1)(1)要要证证两两线线段段相相等等，方方法法很很多多但但这这题题应应该该用用等等积积式式证证EF=FGEF=FG，很很明明显显FGFG2 2=FAFD=FAFD，若若再再能能得得到到EFEF2 2=FAFD=FAFD即可即可. .FAEFAEFEDFED(2)(2)这这是一道探索性是一道探索性问题问题，首，首先要根据先要根据题题意画出意画出图图形，如形，如图图(2)(2)，利用已知条件来探求，利用已知条件来探求结结论论是否成立，此是否成立，此题题很容易探求很容易探求出出 FG=EFFG=EF证证明同明同(1)(1)