微积分基本定理微积分基本定理55952考察定积分考察定积分记记积分上限函数积分上限函数一、积分上限函数及其导数一、积分上限函数及其导数 设函数设函数 在区间在区间 上连续，并且设上连续，并且设 为为 上的一点，上的一点，例例3 3解解一般地有一般地有例例4 4例例5 (1)5 (1)求求解解分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.(2)(2)求求解解(这是这是 型不定式型不定式)例例6 6解解例例7 7解解例例8 8 证证证证令令定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）证证三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式令令令令牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式微积分基本公式表明：微积分基本公式表明：注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例例1 1 求求 原式原式解解例例2 2 求求 解解例例3 3 设设 , 求求 . 解解例例4 4 求求 解解由图形可知由图形可知注注:1. 1. 分段函数求定积分分段函数求定积分: : 利用区间可加性利用区间可加性, ,用分段点把积分区用分段点把积分区间分成若干段间分成若干段, ,变成若干个积分变成若干个积分. .2. 2. 若被积函数为绝对值函数若被积函数为绝对值函数, , 应先去掉应先去掉绝对值化为分段函数绝对值化为分段函数. .3. 3. 若被积函数为偶次根式若被积函数为偶次根式, , 化为绝对值化为绝对值函数再去掉绝对值化为分段函数函数再去掉绝对值化为分段函数. .例例5 5 求求 解解例例6 6 求求 解解解解 面积面积解解例例8 8 设设求求设设则则3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数四、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系间的关系思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案例例1010证明证明