18.2.318.2.3正方形正方形正方形有矩形和菱形的所有性质正方形有矩形和菱形的所有性质; ;如果一个图形既是菱形又是矩形如果一个图形既是菱形又是矩形, ,那么这个图形就是正那么这个图形就是正方形方形. .知识点知识点1:1:正方形的性质正方形的性质例例1 1如图所示如图所示, ,正方形正方形ABCDABCD的对角线相交于点的对角线相交于点O.O.求证求证:AOB:AOB是等腰直角三角形是等腰直角三角形. .【思路点拨思路点拨】根据正方形有矩形的性质根据正方形有矩形的性质, ,可得三角形的两边相等可得三角形的两边相等. .再根据正方形有菱再根据正方形有菱形的性质形的性质, ,由菱形对角线互相垂直可得直角由菱形对角线互相垂直可得直角. .证明证明: :正方形正方形ABCD,ABCD,OA=OB,ACBD,OA=OB,ACBD,AOB=90,AOBAOB=90,AOB是等腰直角三角形是等腰直角三角形. .知识点知识点2:2:正方形的判定正方形的判定例例2 2如图所示如图所示, ,在在ABCABC中中,ABC=90,BD,ABC=90,BD平分平分ABC,DEBC,DFAB.ABC,DEBC,DFAB.求证求证: :四边形四边形BEDFBEDF是正方形是正方形. .【思路点拨】先证明四边形是一个矩形【思路点拨】先证明四边形是一个矩形, ,再证明其邻边相等再证明其邻边相等, ,由此可以得出四边形是由此可以得出四边形是一个正方形一个正方形. .证明证明: :DEBC,DFAB,FBE=DFB=DEB=90,DEBC,DFAB,FBE=DFB=DEB=90,四边形四边形BEDFBEDF为矩形为矩形. .BDBD为为ABCABC的平分线的平分线,DE=DF,DE=DF,四边形四边形BEDFBEDF为正方形为正方形. .1.(1.(20182018十堰模拟十堰模拟) )满足下列条件的四边形不是正方形的是满足下列条件的四边形不是正方形的是( ( ) )(A)(A)对角线相互垂直的矩形对角线相互垂直的矩形(B)(B)对角线相等的菱形对角线相等的菱形(C)(C)对角线相互垂直且相等的四边形对角线相互垂直且相等的四边形(D)(D)对角线垂直且相等的平行四边形对角线垂直且相等的平行四边形2.2.如图如图,E,E是正方形是正方形ABCDABCD的边的边BCBC的延长线上一点的延长线上一点, ,若若CE=CA,AECE=CA,AE交交CDCD于于F,F,则则FACFAC的度数是的度数是( ( ) )(A)22.5(A)22.5(B)30 (B)30 (C)45 (C)45 (D)67.5(D)67.5C CA A3.3.将五个边长都为将五个边长都为2 2的正方形按如图所示摆放的正方形按如图所示摆放, ,点点A,B,C,DA,B,C,D分别是四个正方形的中心分别是四个正方形的中心, ,则图则图中四块阴影面积的和为中四块阴影面积的和为( ( ) )(A)2(A)2(B)4(B)4(C)6(C)6(D)8(D)84.4.如图如图, ,正方形正方形ABCDABCD的边长为的边长为4 cm,E4 cm,E为为CDCD边的中点边的中点,M,M为为AEAE的中点的中点, ,过点过点M M作直线分别与作直线分别与AD,AD,BCBC相交于点相交于点P,Q.P,Q.若若PQ=AE,PQ=AE,则则APAP等于等于 cm. cm. B B5.5.在正方形在正方形ABCDABCD中中,P,P为对角线为对角线BDBD上一点上一点,PEBC,PEBC,垂足为垂足为E,PFCD,E,PFCD,垂足为垂足为F.F.求证求证:EF=AP.:EF=AP.