一、三角函数图象的作法一、三角函数图象的作法1.几何法几何法 y=sinx 作图步骤作图步骤:(2)平移三角函数线平移三角函数线;(3)用光滑的曲线连结各点用光滑的曲线连结各点.(1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线等分单位圆作出特殊角的三角函数线;xyoPMA xyoy=sinx- -1 1 o1 A2 23 2 2.五点法作函数五点法作函数 y=Asin( x+ ) 的图象的步骤的图象的步骤:(1)令相位令相位 x+ =0, , , , 2 , 解出相应的解出相应的 x 的值的值;23 2 (3)用光滑的曲线连结用光滑的曲线连结(2)中五点中五点.(2)求求(1)中中 x 对应的对应的 y 的值的值, 并描出相应五点并描出相应五点;3.变换法变换法: 函数函数 y=Asin( x+ )+k 与与 y=sinx 图象间的关系图象间的关系: 函数函数 y=sinx 的图象纵坐标不变的图象纵坐标不变, 横坐标向左横坐标向左 ( 0) 或向右或向右( 0) 或向下或向下 (k0) 平移平移 |k| 个单位得个单位得 y=Asin(x+ )+k 的图象的图象. 要要特特别注意注意, 若由若由 y=sin( x) 得到得到 y=sin( x+ ) 的的图象象, 则向向左或向右平移左或向右平移应平移平移 | | 个单位个单位. 二、三角函数图象的性质二、三角函数图象的性质 注注 正正切切函数的对称中心有两类函数的对称中心有两类: 一类是图象与一类是图象与 x 轴的交点轴的交点, 另一类是渐近线与另一类是渐近线与 x 轴的交点轴的交点, 但无对称轴但无对称轴, 这是与正弦、余这是与正弦、余弦函数的不同之处弦函数的不同之处. 1.正弦函数正弦函数 y=sinx(x R) 是奇函数是奇函数, 对称中心是对称中心是 (k , 0)(k Z), 对称轴是直线对称轴是直线 x=k + (k Z); 余弦函数余弦函数 y=cosx(x R) 是偶函数是偶函数, 对称中心是对称中心是 (k + , 0)(k Z), 对称轴对称轴是直线是直线 x=k (k Z)( (正正, 余余弦函数的对称轴为过最高点或最低弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于点且垂直于 x 轴的直线轴的直线, 对称中心为图象与对称中心为图象与 x 轴的交点轴的交点) ). 2 2 2.正切函数正切函数 y=tanx(x R, x +k , k Z) 是奇函数是奇函数, 对称中称中心是心是( , 0)(k Z). 2k 2 三、正、余弦函数的性质三、正、余弦函数的性质1.定义域定义域: 都是都是 R.2.值域值域: 都是都是 - -1, 1. 对对 y=sinx, 当当 x=2k + (k Z) 时时, y 取最大值取最大值 1; 当当 x=2k + (k Z) 时时, y 取最小值取最小值 - -1; 对对 y=cosx, 当当 x=2k (k Z) 时时, y 取最取最大值大值 1, 当当 x=2k + (k Z) 时时, y 取最小值取最小值 - -1. 2 23 3.周期性周期性: y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是的最小正周期都是 2 ; f(x)= Asin( x+ ) 和和 f(x)=Acos( x+ )的最小正周期都是的最小正周期都是 T= . | | 2 4.奇偶性与对称性奇偶性与对称性: 正弦函数正弦函数y=sinx(x R)是奇函数是奇函数, 对称中对称中心是心是 (k , 0)(k Z), 对称轴是直线对称轴是直线 x=k + (k Z); 余弦函数余弦函数 y=cosx (x R)是偶函数是偶函数, 对称中心是对称中心是 (k + , 0)(k Z), 对称轴对称轴是直线是直线 x= k (k Z) ( (正正( (余余) )弦型函数的对称轴为过最高点或弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于最低点且垂直于 x 轴的直线轴的直线, 对称中心为图象与对称中心为图象与 x 轴的交点轴的交点) ). 2 2 5.单调性单调性: y=sinx 在在 2k - - , 2k + ( (k Z) )上单调递增上单调递增, 在在2k + , 2k + ( (k Z) )上单调递减上单调递减; y=cosx 在在 2k , 2k + ( (k Z) )上单调递减上单调递减, 在在 2k + , 2k +2 ( (k Z) )上上单调递增单调递增. 2 2 2 23 2.值域值域是是 R, 在上面定在上面定义域上无最大域上无最大值也无最小也无最小值. 1.定义域定义域: x | x +k , k Z.2 3.周期性周期性: 是周期函数且周期是是周期函数且周期是 , 它与直它与直线 y=a 的两个相的两个相邻交点之交点之间的距离是一个周期的距离是一个周期 . 注注 一般一般说来来, 某一周期函数解析式加某一周期函数解析式加绝对值或平方或平方, 其周期其周期性是性是: 弦减半、切不弦减半、切不变.四、正切函数的性质四、正切函数的性质课课 前前 热热 身身1.给出四个函数给出四个函数:(A)y=cos(2x+/6) (B)y=sin(2x+/6)(C)y=sin(x/2+/6) (D)y=tan(x+/6) 则同时具有以下两个性质的函数是则同时具有以下两个性质的函数是( ) 最小正周期是最小正周期是 图象关于点图象关于点(/6，0)对称对称. 2.已已知知f(x)=sin(x+/2)，g(x)=cos(x-/2)，则则下下列列结结论论中正确的是中正确的是( ) (A)函数函数y=f(x)g(x)的周期为的周期为2 (B)函数函数y=f(x)g(x)的最大值为的最大值为1 (C)将将f(x)的图象向左平移的图象向左平移/2单位后得单位后得g(x)的图象的图象 (D)将将f(x)的图象向右平移的图象向右平移/2单位后得单位后得g(x)的图象的图象 AD3.将将函函数数y=f(x)sinx的的图图象象向向右右平平移移/4个个单单位位后后再再作作关关于于x轴轴对对称称的的曲曲线线，得得到到函函数数y=1-2sin2x，则，则f(x)是是( ) (A)cosx (B)2cosx (C)sinx (D)2sinx B4.函数函数y=|tgx|cosx(0x3/2，且，且x/2)的图象是的图象是( ) C【解解题题回回顾顾】这这类类问问题题的的求求解解难难点点是是的的确确定定，除除以以上上方方法法外外，常常用用移移轴轴方方法法：做做平平移移，移移轴轴公公式式为为x=x+/6，y=y，则则易易知知函函数数在在新新坐坐标标系系中中的的方方程程是是y=3sin2x， 而而 x=x-/6， 故故 所所 求求 函函 数数 y=3sin2(x-/6)5.如如下下图图，函函数数y=Asin(x+)(A0，0)的的图图像像上上相相邻邻的的最最高高点点与与最最低低点点的的坐坐标标分分别别为为(5/12，3)和和(11/12，-3)求该函数的解析式求该函数的解析式 6.如果函数如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线的图象关于直线 x=- - 对称对称, 求求 a 的值的值.8 例例3:在在ABC中中,已知内角已知内角