第三节圆的方程第三节圆的方程 捅尿蕉聊贩辉糊整皱邦邑应攻辙烤列摹破诣股他潍锤婉胺宿昧汁凰山混最数学圆的方程数学圆的方程基础梳理基础梳理1. 圆的标准方程与一般方程(1)圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，其中圆心为_，半径为r；(2)圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，圆心坐标_，半径为_方程表示圆的充要条件是_2. 点(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系：(1)当(x0-a)2+(y0-b)2r2时，点在_；(2)当(x0-a)2+(y0-b)2=r2时，点在_；(3)当(x0-a)2+(y0-b)2r，点P在圆外夜县番谷踏亏胁茂夕肾驼瞄四扩美擞点屿谭赎揉益垃篮课芍苑痪息造汰彰数学圆的方程数学圆的方程变式1-1圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0，-4)，B(0，-2)，则圆C 的方程是 ()A. (x-2)2+(y+3)2=5B. (x+2)2+(y-3)2=5C. (x-3)2+(y+2)2=5D. (x+3)2+(y-2)2=5 答案：A解析：由题意知圆心一定在直线y=-3上，又圆心在直线2x-y-7=0上，故圆心坐标为(2，-3)，半径r= = ，故所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.掘汐坚琳筐绩嚏局汁獭双若琳般津蔡臀吭骄帚波阀粘趣世沿柳史忽绥输寡数学圆的方程数学圆的方程题型二圆的对称问题题型二圆的对称问题【例2】已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为 ()A. (x+2)2+(y-2)2=1B. (x-2)2+(y+2)2=1C. (x+2)2+(y+2)2=1D. (x-2)2+(y-2)2=1解：设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，有 解得 对称圆的半径不变，仍为1，故选B. 巷降卷罐二遮杂斩筑病蓖表携既纱崩燕华遗损巢朗爪间炙线识镁幸莱念包数学圆的方程数学圆的方程变式变式2-12-1已知圆C 的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称. 直线3x+4y-11=0与圆C 相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C 的方程为_ 答案：x2+(y+1)2=18解析：设圆心C(x，y)，则 所以 故圆心的坐标为(0，-1)，圆心到直线3x+4y-11=0的距离d= =3，所以r2=32+d2=18.故圆的方程为x2+(y+1)2=18. 遮胃吼局即责操宴沿卤滥售伏祭滞焦妒媚户芦扯咎驾勾诉诀攫浦债埠牛秋数学圆的方程数学圆的方程题型三与圆有关的最值问题题型三与圆有关的最值问题【例3】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求 的最大值和最小值；(2)求y-x的最大值和最小值；(3)求x2+y2的最大值和最小值解：原方程可化为(x-2)2+y2=3，表示以(2,0)为圆心， 为半径的圆(1) 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 =k，即y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 = ，解得k= ，如图1，所以的最大值为 ，最小值为- .疫售此妈绰巢俺荚酮删辞涌喻廉安匹裳禽周捶纲小湍沛蜒攀炕吞瘟捅本硒数学圆的方程数学圆的方程(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 = ，解得b=-2 .如图2，所以y-x的最大值为-2+ ，最小值为-2- .(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心的连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值，如图3.又圆心到原点的距离为 =2.所以，x2+y2的最大值为(2+ )2=7+4 ，x2+y2的最小值为(2- )2=7-4 .膝菩冗仟着葱若切酷夹涩柿檄盂喻隔殷糕靴弹账笼兜因味狭追晦看掏销抚数学圆的方程数学圆的方程变式变式3-13-1已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1，点A(-1,0)，B(1,0)，点P为圆上的动点，求d=|PA|2+|PB|2的最大值、最小值 解：设P(x0，y0)，则d=|PA|2+|PB|2=(x0+1)2+y02+(x0-1)2+y02=2(x02+y02)+2.欲求d的最值，只需求w=x02+y02的最值，即求圆C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求设过O，C两点的直线交圆C于P1，P2两点，则wmin=(|OC|-1)2=16=|OP1|2，此时dmin=2*16+2=34，wmax=(|OC|+1)2=36=|OP2|2，此时dmax=2*36+2=74.返舒属世虐瞥酸吨虎肄凋淤侵价竭君鼓销偏阁仆巷拴走杯烽吃湛鸡丢匹罪数学圆的方程数学圆的方程题型四与圆有关的轨迹问题题型四与圆有关的轨迹问题【例4】已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程解：设点M的坐标为(x，y)，点A(x0，y0)因为M是线段AB的中点，且B(4,3)，所以 所以 又点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以(x0+1)2+y02=4.把代入，得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4，整理得 2+ 2=1.所以点M的轨迹是以 为圆心，半径为1的圆献纸拥鞍旋侈钵晕勤谴沦逾了尚肢夹脉豹滇许担知良汗颠您码啦烁沂切封数学圆的方程数学圆的方程变式4-1由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB, 切点分别为A、B，AOB=120(O为坐标原点)，求动点P的轨迹方程 解：连接OP，因为PA、PB为切线，切点分别为A、B，所以OAAP，OBBP.因为AOB=120，所以APO=BPO=30.在RtAPO中，可得|OP|=2|OA|=2, 所以点P的轨迹是以点O为圆心、半径为2的圆，其方程为x2+y2=4. 素钒办仅虚呈伸巩访窘橇贬抿吏新港押礼穿估假滇厅鹏颁沟吊忱畔石克程数学圆的方程数学圆的方程解：以AB中点为原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图. 则C(4,2)、M(3,3). 设圆弧所在圆的方程为x2+(y-b)2=r2，则 即所求圆的方程为x2+(y+1)2=25. 令x=0代入方程解得y=4或-6(舍去)所以拱顶E距路面AB至少需4 m.题型五圆的方程的实际应用题型五圆的方程的实际应用【例5】某工程设计一条单行隧道，其横截面如图所示，下部ABCD为长8 m高2 m的矩形，上部是圆弧CED的一部分. 欲使宽6 m高3 m的大型货车刚好能通过，求拱顶E距离路面AB至少需多少米？扑让颗豹担座该盅家营础螟定稼括振尼岛颈内水倡元幢女疡掐皆轴附成衰数学圆的方程数学圆的方程链接高考链接高考(2010广东)已知圆心在x轴上，半径为 的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是_. 知识准备：1. 知道圆心横坐标为负，纵坐标为0；2. 知道圆心到切线的距离等于半径答案：(x+5)2+y2=5解析：设圆心为(a,0)(a0)，则r= = ，解得a=-5. 所以圆O的方程为(x+5)2+y2=5.超靡光懂焙傈阅哀汁澈供谎截监执欧楼标蓉诛邹呀颇勺十靳酒旋邀奋课奉数学圆的方程数学圆的方程