八年级下册6.3 三角形的中位线学习目标2知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同;理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算.1.中位线：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半几何语言：点D、E分别是ABC边AB、AC的中点， DEBC，DE= BC预习思考1.一个三角形的周长是36cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是( )A6cm B12cm C18cm D36cm2如图，在ABC中，AB8，点D，E分别是BC，CA的中点，连接DE，则DE( ) A2 B4 C6 D8预习检测CB3如图，等边ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则DEC的度数为( ) A30 B60 C120 D150 4如图，在ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点若DBE的周长是6，则ABC的周长是( ) A8 B10 C12 D14预习检测CC活动探究探究点一问题1：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？操作：（1）剪一个三角形，记为ABC （2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE （3） 沿DE将ABC剪成两部分，并将ABC绕点E旋转180，得到四边形BCFD. 四边形BCFD是平行四边形活动探究探究点一问题1：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？演示问题2：什么是三角形的中位线？ 它与三角形的中线的区别？三角形的中位线有什么特征？请你说明理由.三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段.三角形的中线：连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半几何语言：点D、E分别是AB、AC的中点 DEBC，DE= BC活动探究已知：如图（1），DE是ABC的中位线.求证:DEBC,DE= BC证明方法1:如图 (2),延长DE到F,使EF=DE,连接CF.在ADE和CFE中AE=CE,1=2,DE=FEADECFEA=ECF,AD=CF，CFABBD=AD，BD=CF四边形DBCF是平行四边形DFBC,DF=BCDEBC,DE= BC活动探究证明方法2：延长DE至点F，使EF=DE连接CF，DC，AFEF=DE， AE=EC四边形ADCF是平行四边形 ADCF， AD=CFAD=DB FCBD FC=BD 四边形BCFD是平行四边形DFBC，DF=BCDEBC,DE= BC活动探究证明方法3：过点E作MNAB 过点A作AMBC 四边形ABNM是平行四边形 AMBC M=MNC 在AEM和CEN中M=ENC，AEM=CEN ,AE=EC.AEMCENME=NE易证四边形ADEM和BDEN是平行四边形DE=AM=NC=BNDEBC,DE= BC 活动探究活动探究三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半.几何语言：点D、E分别是ABC边AB、AC的中点， DEBC，DE= BC活动探究探究点二问题1：如图,顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形有什么特点？请你说明理由解：四边形EFQH是平行四边形.活动探究已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形 解： EFGH是平行四边形理由：如图，连接AC.EF是ABC的中位线，EF= AC且EFAC.同理，GH= AC且GHAC.EFGH且EF= GH.四边形EFGH为平行四边形活动探究问题2：如图所示，在ABC中，ABAC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BDAB，求证：CD2CE. 证明：取AC的中点F，连接BF.BDAB，BF为ADC的中位线，DC2BF.E为AB的中点，ABAC，BECF，ABCACB.BCCB，EBCFCB.CEBF，CD2CE.活动探究在三角形中，若已知一边的中点，常取其余两边的中点，以便利用三角形的中位线定理来解题.活动探究 探究点三：问题1： 在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，F，E分别是对角线AC，BD的中点求证：EF= （BC-AD） 证明1：如图所示，连接AE并延长，交BC于点G ADBC，ADE=GBE，EAD=EGB，又E为BD中点，AEDGEBBG=AD，AE=EG在AGC中，F，E分别是对角线AC，BD的中点F、E是AGC的为中位线，EFBC，EF= GC= （BC-BG）= （BC-AD），即EF= （BC-AD）活动探究证2：如图所示，设CE、DA延长线相交于G E为BD中点，ADBC，易得GEDCEBGD=CB，GE=CE在CAG中，E，F分别为CG，CA中点，EF= GA= （GD-AD）= （BC-AD），即EF= （BC-AD）活动探究问题2：如图，ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，求PQ的长解：BQ平分ABC，BQAE，BAE是等腰三角形.同理CAD是等腰三角形.点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一）.PQ是ADE的中位线.BE+CD=AB+AC=26BC=2610=16，DE=BE+CDBC=6.PQ= DE=3.能力提升1.如图,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,PEF=18,求PFE的度数. 解:PF是DBC的中位线,PE是BAD的中位线,PF=BC,PE=AD.AD=BC,PF=PE,PFE=PEF=18.能力提升2.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,则BME=CNE(不需证明).小明的思路是:在图中,连接BD,取BD的中点H,连接HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线性质,可证得BME=CNE.问题:如图,在ABC中,ACAB,D点在AC上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若EFC=60,连接GD,判断AGD的形状并证明. 能力提升解:AGD是直角三角形.证明如下:如图,连接BD,取BD的中点H,连接HF,HE. F是AD的中点,HFAB,HF=AB,1=3.同理HECD,HE=CD,2=EFC.AB=CD,HF=HE,1=2.EFC=60,3=EFC=AFG=60,AGF为等边三角形.AF=FD,GF=FD,FGD=FDG=30,AGD=90,即AGD是直角三角形.随堂检测1.如图，在A BC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分CAB，交DE于点F.若DF3，则AC的长为( ) A. B3 C6 D9 2.如图，C、D分别为EA、EB的中点，E30，1110，则2的度数为( ) A 80 B90 C100 D110CA随堂检测3如图，点D，E，F分别为ABC各边中点，下列说法正确的是( ) ADEDF BEF12AB CSABD SACD DAD平分BAC4如图，D，E分别为ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处若CDE48，则APD等于( ) A42 B48 C52 D58 C B 5如图，在ABC中，ABC90，AB8，BC6，若DE是ABC的中位线，F在DE延长线上，ECEF，则线段DF的长为( ) A7 B8 C9 D10随堂检测 B 随堂检测6.如图所示，在四边形ABCD中，ACBD，E、F分别为AB、CD的中点，AC与BD交于点O，EF分别交AC、BD于M、N.求证：ONMOMN. 证明：取AD的中点P，连接EP、FP，则EP为ABD的中位线EPBD，EP BD，PEFONM，同理可知PF为ADC的中位线，FPAC，FP AC，PFEOMN，ACBD，PEPF，PEFPFE，ONMOMN.课堂小结1.中位线：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并等于它的一半几何语言：点D、E分别是ABC边AB、AC的中点， DEBC，DE= BC再见再见