目的：进一步了解单调函数的性质，熟悉有界变差函数的定义，掌握其性质。重点与难点：单调函数的性质，有界变差函数的定义及其性质。第25讲 有界变差函数 第25讲 有界变差函数 基本内容：一单调函数可导性的推论问题问题1：如果：如果 fn 是单调函数序列，且是单调函数序列，且 ，不不难难看看出出f f也也是单调是单调 的，从而也几乎处处有有限导数，的，从而也几乎处处有有限导数， fn 的的导导数数与与 f 的的导导数数有有什什么么关关系系？ 等式等式 是否成立？是否成立？第25讲 有界变差函数 (1) Fubini定理问题问题2：跳跃函数的导数是什么？：跳跃函数的导数是什么？推论推论1(Fubini) 设设 是是 上的单调增加有限函数序列，且上的单调增加有限函数序列，且 在在 上处处收敛到有限函数上处处收敛到有限函数 f ，则，则 。 证明：不妨设 ，否则可令 ，对 讨论就行了。记 ，则 都是单调增加函数，故去掉一个零测集 E 后， 都存在。 第25讲 有界变差函数 因 及单调增加，故其导数均非负，从而当 时， 。 由此得，级数 几乎处处收敛。往证 。 第25讲 有界变差函数 由于 ，对任意自然数 k，可取 ，使得 ，但 也是单调增加函数，且 ，所以,第25讲 有界变差函数 这说明 也是由单调增加函数列 构成的收敛级数，将上面关于 的结论用到 上，得 第25讲 有界变差函数 进而，级数的通项趋于0，即 ，也即 。证毕。 第25讲 有界变差函数 证明：设 是 上的单调增加函数，注意对任意 ， ，由推论1立得证明。 推论推论2 若若 是是 上跳跃函数，上跳跃函数，则则 。第25讲 有界变差函数 第25讲 有界变差函数 二单调函数导数的可积性问问题题3：从从跳跳跃跃函函数数的的导导数数几几乎乎处处处处为为零零可可以以看看出出，单单调调函函数数的的导导数数未未必必满满足足Newton- -Leibniz公公式式，考考虑虑更更弱弱的的问问题题：单单调调函函数数的的导导数数是是否否R- -可可积积？是是否否L- -可可积积？其其导导函函数数的的积分与该函数有没有什么关系？积分与该函数有没有什么关系？定理定理5 设设 f 是是 上的单调增上的单调增加有限函数，那么加有限函数，那么 是是 上的上的Lebesgue可积函数，且可积函数，且 。 第25讲 有界变差函数 证明：将 f 扩充到 上，对任意 ，令 ，并令 ，它是Riemann可积函数，而且 。 第25讲 有界变差函数 注意到 第25讲 有界变差函数 由Fatou引理得证毕。第25讲 有界变差函数 应该注意到定理5与牛顿-莱布尼兹公式的差别，此处严格不等式样可能成立的，例如，若 ，则 。于是 ，但 ， ，故 ，所以 。 第25讲 有界变差函数 另外，还应注意到，由定理4， 上的单调函数 f 几乎处处有有限导数，因此定理5中导数 不存在的点 x 处可规定 为任意值。这就是说，在一个零测集上可以任意改变函数值不会对 的积分产生影响。 第25讲 有界变差函数 从 我们还看到另一个事实，一个非常值的函数可以有几乎处处等于0的导数，这样的函数称为奇异函数，即下面的定义6 设 f 是 上的有限函数，若在 上 ，且 f 不恒为常数，则称 f 为 上的奇异函数奇异函数。 第25讲 有界变差函数 三有界变差函数的定义问问题题4：a,b上上单单调调函函数数除除了了跳跳跃跃度度总总和和不不超超过过 ，其其任任一一分分划划所所对对应应分分点点的的函函数数值值之之差的总和是否必有限？差的总和是否必有限？第25讲 有界变差函数 第25讲 有界变差函数 前面已经看到，单调函数的导数虽然可积但却没有类似的牛顿-莱布尼兹公式，或者说，单调函数不能通过其导数的积分还原。那么，何种函数能满足牛顿一莱尼兹公式呢 ( 当然，这里是相对于Lebesgue积分而言 )？这正是下面要讨论的问题。 定义7 设 是 上的有限函数，对 的任一分划 ，记称 为 f 关于分划 的变变差差。 第25讲 有界变差函数 第25讲 有界变差函数 若存在常数 M，使对一切分划 ，都有 ，则称 为 上的有界变差函数有界变差函数。令 ，其中 取遍 的所有分划，称 为 f 在 上的总变差总变差。 由定义7不难看出， 上有限单调函数 f 都是有界变差函数，且 。第25讲 有界变差函数 四. 有界变差函数的性质性质性质1 若若 f 是是 上的有界变上的有界变差函数，则差函数，则 f 必为有界函数。必为有界函数。 第25讲 有界变差函数 证明：若不然，则存在 。使 ，由 f 是有界变差函数知 。对任意 n，作 的分划 ，则第25讲 有界变差函数 由 ，得 。这与 矛盾，故必为有界函数，证毕。 第25讲 有界变差函数 第25讲 有界变差函数 性质性质2 若若 都是都是 上的有上的有界变差函数，则对任意常数界变差函数，则对任意常数 也是也是 上的有界变差函数，上的有界变差函数，且且 。 证明：设 为 的任一分划，则第25讲 有界变差函数 所以 ，证毕。证明：由性质1知存在 M，使得 ，设 为 的任一分划：性质性质3 设设 是是 上的有上的有界变差函数，则界变差函数，则 也是有界变差函也是有界变差函数。数。第25讲 有界变差函数 故 ，证毕。第25讲 有界变差函数 则证明：若 f 不为常数，则存在 使得 或 ，作的分划 ，则 ，这与 矛盾，故 f 必为常数，证毕。 性质性质4 若若 f 是是 上的有界变差函上的有界变差函数，且数，且 ，则，则 f 是常数。是常数。第25讲 有界变差函数 第25讲 有界变差函数 性质性质5 设设 f 是是 上的有界变上的有界变差函数，差函数， ，则，则 ，特别地，也特别地，也 f 是是 上的有上的有界变差函数。界变差函数。 第25讲 有界变差函数 证明：任取 的一个分划 ，对应到 的一个分划 ，于是 ，进而 ，证毕。 第25讲 有界变差函数 性质性质6 设设 f 是是 上的有界变上的有界变差函数，差函数，c 是是 内任一数，则内任一数，则 。 证明：由全变差定义，对任意 ，可以找到分划及分划 ，使得 ， 。 将 合并起来得 的一个分划 ，于是由 及得 ， 由 的任意性立得 。 第25讲 有界变差函数 第25讲 有界变差函数 反之，对任意 ，设是 的一个分划，满足 ，则对任意 ，存在 ， 使得 ，于是 进而 ，任由 的任意性得 ，所以 ，证毕。第25讲 有界变差函数 第25讲 有界变差函数 性质性质7 若若 是是 上的上的有界变差函数列，有界变差函数列， 是是有界数列，且有界数列，且 处处收敛到处处收敛到 ，则，则 g 也是也是 上的有界变上的有界变差函数，且差函数，且 。 所以 ，证毕。 第25讲 有界变差函数 证明：记 ，任取 的一个分划 ，则