第第第第 2 2 章章章章结构的几何构造分析结构的几何构造分析2-1 几何构造分析的几个概念几何构造分析的几个概念 几何组成分析的目的主要是分析几何组成分析的目的主要是分析、判断一个体系是否几何可变，或者如判断一个体系是否几何可变，或者如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以作为结构。何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以作为结构。几何不变体系和几何可变体系几何不变体系和几何可变体系几何不变体系：几何不变体系：不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状保持不变不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状保持不变的体系。的体系。几何可变体系：几何可变体系：不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改变的体系。变的体系。一、自由度一、自由度Ay0xBy0x自由度：自由度：描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。如果体系有了自由度，如果体系有了自由度，必须消除，消除的办法是增加约束。约束有三种：必须消除，消除的办法是增加约束。约束有三种：链杆链杆个约束个约束单铰单铰个约束个约束刚结点刚结点个约束个约束ACB三、约束三、约束 平面内一个动点平面内一个动点A，其位置要由两个坐标，其位置要由两个坐标 x 和和 y 来确定，所以一个点的来确定，所以一个点的自由度等于自由度等于2。yxAyx二、刚片二、刚片 平面体系作几何组成分平面体系作几何组成分析时，不考虑材料应变，所析时，不考虑材料应变，所以认为构件没有变形。可以以认为构件没有变形。可以把一根杆、巳知是几何不变把一根杆、巳知是几何不变的某个部分、地基等看作一的某个部分、地基等看作一个平面刚体，简称刚片。个平面刚体，简称刚片。 平面内一个刚片，其位置要由两个坐标平面内一个刚片，其位置要由两个坐标 x 、y 和和AB 线的倾角线的倾角来确定，来确定，所以一个刚片在平面内的自由度等于所以一个刚片在平面内的自由度等于3。 分清必要约束和分清必要约束和非必要约束。非必要约束。四、多余约束四、多余约束五、瞬变体系及常变体系五、瞬变体系及常变体系FpACBFpCABllCFpCFpFNACFNBC六、瞬铰六、瞬铰.CODABO.2-2 平面几何不变体系的组成规律平面几何不变体系的组成规律讨论没有多余约束的几何不变体系的组成规律。讨论没有多余约束的几何不变体系的组成规律。1 1、一个点与一个刚片之间的连接方式、一个点与一个刚片之间的连接方式规律规律1 一个刚片与一个点用一个刚片与一个点用两根链杆相连，且两根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。且没有多余约束。AB由不共线的两根链杆联结一个新结点的装置，称为二元体。由不共线的两根链杆联结一个新结点的装置，称为二元体。 （二元体规则）（二元体规则）在一个体系上增加或撤去一个二元体，则体系的几何性质在一个体系上增加或撤去一个二元体，则体系的几何性质不会改变。不会改变。C2 2、两个刚片之间的连接方式、两个刚片之间的连接方式规律规律2 两个刚片用一个铰和一根链杆相连，两个刚片用一个铰和一根链杆相连，且三且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。有多余约束。被约束对象：刚片被约束对象：刚片 I，II提供的约束：铰提供的约束：铰A A及链杆及链杆1 1IIIA12 2、两个刚片之间的连接方式、两个刚片之间的连接方式规律规律4 两个刚片用三根链杆相连，两个刚片用三根链杆相连，且三链杆不交于同且三链杆不交于同一点，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。一点，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。3III21提供的约束：链杆提供的约束：链杆1，2，3被约束对象：刚片被约束对象：刚片 I，II 两根链杆的约束作用相当于一个瞬铰（两链杆延两根链杆的约束作用相当于一个瞬铰（两链杆延长线的交点）的约束作用。长线的交点）的约束作用。A3 3、三个刚片之间的连接方式、三个刚片之间的连接方式规律规律3 三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直线上，三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不则组成几何不变的整体，且没有多余约束。变的整体，且没有多余约束。IIIIIICB被约束对象：刚片被约束对象：刚片 I，II，III提供的约束：铰提供的约束：铰A、B、C刚片刚片I, II用铰用铰A连接连接刚片刚片I, III用铰用铰B连接连接刚片刚片II,III用铰用铰C连接连接AIIIIIICBA规律规律3 的的铰铰可以是实铰也可以是可以是实铰也可以是瞬铰瞬铰。关于无穷远瞬铰的情况：关于无穷远瞬铰的情况：IIIIIIA 图示体系，图示体系，瞬铰瞬铰 B、C 在两个不同方向在两个不同方向的无穷远处，它们对应于无穷线上的无穷远处，它们对应于无穷线上两个不同两个不同的点的点，铰，铰A 位于有限点。由于有限点不在无位于有限点。由于有限点不在无穷线上，故三铰不共线，体系为几何不变且穷线上，故三铰不共线，体系为几何不变且无多余约束。无多余约束。 图示体系，图示体系，形成瞬铰形成瞬铰B、C 的四根链杆的四根链杆相互平行（不等长），故铰相互平行（不等长），故铰B、C在同一无在同一无穷远点，所以三个铰穷远点，所以三个铰 A、 B、 C 位于同一位于同一直线上，直线上， 故体系为瞬变体系，见图故体系为瞬变体系，见图 c）。）。IIICIIIABAIIIIIB1I2C 图示体系，图示体系，一个瞬铰一个瞬铰 C 在无穷远处，铰在无穷远处，铰A、B连线与形成瞬铰的链杆连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故不平行，故三个铰不在同一直线上，三个铰不在同一直线上， 该体系几何不变且该体系几何不变且无多余约束。无多余约束。BC利用组成规律可以两种方式组成一般的结构体系：利用组成规律可以两种方式组成一般的结构体系：（1 1）从基础出发组成）从基础出发组成（2 2）从内部刚片出发组成）从内部刚片出发组成结论1、如果体系只通过三根既不全平行也不交于一点的支杆与基础相联，则从内部刚片出发进行组装。可先在体系内部选取一个或几个刚片；然后，依次利用组成规则将它们形成一个或几个扩大的新刚片，再逐步扩大到整个内部体系；最后，将扩大的整个内部几何不变体系与基础组装起来，从而形成整个体系。2、 如果体系与基础相联的支杆多于三根时，则从基础出发进行组装。应考虑先把基础作为一个刚片，将它与体系内部的其它刚片一起进行几何构造分析，形成一个扩大的新刚片。然后，逐步组装扩大，直至形成整个体系。否则，会使分析无法进行下去。3、进行等效代换大刚片大刚片 已组装好的几何不变部已组装好的几何不变部分分；虚铰虚铰 两根链杆；两根链杆；直链杆直链杆 复杂链杆（折、曲）复杂链杆（折、曲）；等效的多个单铰（刚）等效的多个单铰（刚） 约束约束 复铰（刚）复铰（刚）约束约束一个刚片一个刚片 整个基础；整个基础； 规律规律3 3 两个刚片用一根链杆和一个铰相联结，且三个两个刚片用一根链杆和一个铰相联结，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。余约束。规律规律5 5 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。一点，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。两个刚片之间的联结方式两个刚片之间的联结方式规律规律1 1 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。一个点和一个刚片之间的联结方式一个点和一个刚片之间的联结方式三个刚片之间的联结方式三个刚片之间的联结方式规律规律4 4 三个刚片两两相连，且三个铰不三个刚片两两相连，且三个铰不在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且在同一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。没有多余约束。三个三个点点之间的联结方式之间的联结方式规律规律1 1 不共线的三个点用不共线的三个点用三三根链杆两两相根链杆两两相连连，则，则所组成的铰结三角形体系是所组成的铰结三角形体系是一个几何不一个几何不变的整体，并且没有多余约束。变的整体，并且没有多余约束。.1,2.2,3.1,3例例1 .1,22,31,31,21,32,3例例2例例3无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系几何瞬变体系几何瞬变体系几何瞬变体系几何瞬变体系123456123456123456123456(2,3)123456123456(2,3).(1,3)(1,2)分析分析 1 1 (1,2)(2,3)(1,2)(2,3)(2,3)(1,2)几何瞬变体系几何瞬变体系(1,2)ABCDEFABCDEF2,31,31,2ABCDEF2,31,31,2分析分析 2 2几何瞬变体系几何瞬变体系几何不变体系几何不变体系ABCDEFGHABCDEFGHJK(1,2)(2,3)ABCDEFGHJK(1,2)(2,3)ABCDEFG(2,3)(1,3)分析分析 3 3几何不变体系几何不变体系2-3 平面平面杆件体系的计算自由度杆件体系的计算自由度 运用三角形规律可以对常见的体系进行构造分析，并定运用三角形规律可以对常见的体系进行构造分析，并定量回答以下两个问题：量回答以下两个问题： 1) 体系是否几何可变？自由度体系是否几何可变？自由度 S 是多少？是多少？ 2) 体系有无多余约束？多余约束的个数体系有无多余约束？多余约束的个数 n 是多少？是多少？ 复杂的体系往往并不是按照三角形规律组成的，为了对复杂的体系往往并不是按照三角形规律组成的，为了对它们进行构造分析，求出其它们进行构造分析，求出其 S 和和 n，引进计算自由度，引进计算自由度W 的概的概念，然后根据念，然后根据 W 来得出关于来得出关于 S 和和 n 的一些定性结论。的一些定性结论。一、自由度一、自由度 S 的计算方法的计算方法 设设 体系中各个约束均不存在，体系中各个约束均不存在，在此情况下计算各部件的自由度总和在此情况下计算各部件的自由度总和 a ;在全部约束中确定在全部约束中确定非多余约束非多余约束 c ; 则有：则有： (2-1)此公式应用比较困难，事先必须区分清楚哪些是多余约此公式应用比较困难，事先必须区分清楚哪些是多余约束，那些不是，这个问题涉及到体系的具体构造，体系束，那些不是，这个问题涉及到体系的具体构造，体系越复杂，这个问题越难以解决。越复杂，这个问题越难以解决。为了回避这个困难，定义一个新参数为了回避这个困难，定义一个新参数 W计算自由度。计算自由度。二、计算自由度二、计算自由度 W 的概念的概念设设 体系中各个约束均不存在，体系中各个约束均不存在，在此情况下计算各部件的自由度总和在此情况下计算各部件的自由度总和 a ;在全部约束中确定在全部约束中确定全部的约束全部的约束 d ; 则有：则有： (2-2)由于全部的约束数由于全部的约束数 d 和非多余约束数和非多余约束数 c 的差值是多余约束的差值是多余约束 n(2-3)公式公式(2-3)表示了计算自由度表示了计算自由度W, 自由度自由度S 和多余约束之间的关系。和多余约束之间的关系。 注意，在公式注意，在公式( (2 2-2)-2)中，作为部件的刚片是指内部没有多余约束中，作为部件的刚片是指内部没有多余约束的刚片，如果有，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而它的的刚片，如果有，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束总数时加以考虑。附加约束则在计算体系的约束总数时加以考虑。二、计算自由度二、计算自由度 W 的概念的概念(2-3)由于自由度由于自由度 S 多余约束多余约束 n 均不可能为负数，可得出：均不可能为负数，可得出：(2-4)(2-5)因此：因此：W 是自由度是自由度 S 的下限；的下限；(W)是多余约束是多余约束 n 的下限。的下限。 三三、约束形式及特点（杆与杆之间的连接）、约束形式及特点（杆与杆之间的连接） 体系是由体系是由部件部件（刚片或结点）加上（刚片或结点）加上约束约束组成的。组成的。 刚片内部：刚片内部：是否有多余约束。内部有多余约束时应把它变成内部无多余是否有多余约束。内部有多余约束时应把它变成内部无多余约束的刚片，而它的附加约束则在计算约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束总数时应当考虑进去。体系的约束总数时应当考虑进去。复铰：复铰：连接两个以上刚片的铰结点。连接两个以上刚片的铰结点。362（1）= 492（2）= 5单链杆单链杆：连接两个铰结点的链杆。：连接两个铰结点的链杆。复链杆复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。：连接两个以上铰结点的链杆。连接连接 n n 个铰结点的复链杆相当于个铰结点的复链杆相当于(2n-3)(2n-3)个单链杆个单链杆。连接连接n n个刚片的铰个刚片的铰相当相当于于（n-1n-1）个单铰个单铰单刚结点单刚结点两个互不相连的刚片，若用刚结点连接，两个互不相连的刚片，若用刚结点连接，则两者被连为一体成为一个刚片，自由则两者被连为一体成为一个刚片，自由度由度由6减少为减少为3。一个单刚结点相当于一个单刚结点相当于3个约束。个约束。复刚节点复刚节点三个互不相连的刚片，若用刚结点连接，三个互不相连的刚片，若用刚结点连接，自由度由自由度由9减少为减少为3。由此类推由此类推:连接连接 n 个刚片的复刚结点，它相当于个刚片的复刚结点，它相当于n1个单刚结点或个单刚结点或3(n 1)个约束。个约束。二、平面体系的计算自由度二、平面体系的计算自由度 W W 1 1、平面刚片体系公式、平面刚片体系公式 将体系将体系中中刚片刚片为为被约束对象被约束对象，铰、刚结和链铰、刚结和链杆杆为为约束约束。则计算自由度公式为：。则计算自由度公式为：m m 刚片数（刚片数（无多余约束无多余约束）；g g 单刚结点（固定支座）总数单刚结点（固定支座）总数；h h 单铰总数；单铰总数；b b （单链杆（单链杆+ +支座链杆支座链杆) )总数。总数。在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。连四刚片连四刚片 n n=3=3连三刚片连三刚片 n n=2=2连两两刚片片 n=1 2、刚接在一起的各接在一起的各刚片作片作为一大一大刚片。如片。如带有有a个个无无铰封封闭框，框，约束数束数应加加 3a 个。个。 3、铰支座、定向支座相当于两个支承支座、定向支座相当于两个支承链杆，杆， 固定固定端相三于个支承端相三于个支承链杆。！杆。！注意：注意：1、复复连接要接要换算成算成单连接。接。完全铰节点完全铰节点不完全铰节点不完全铰节点不完全铰节点不完全铰节点2个单铰个单铰1个单铰个单铰1个单铰个单铰26例例1 试求图示体系的计算自由度。试求图示体系的计算自由度。解：解：m=3 g=0 h=2 b=5 ABCIIIIII123例例2：求图示体系的计算自由度。求图示体系的计算自由度。解：解：m=2 g=1 h=1 b=5 AIII12345m=1，a=1，h=0 ，b=4+3210则：W=3m(2h + r +3a) =3110 31 10m=7，h=9，b=3W=3m2hb =37293 =0例例3解：解：解：解： 试求图示体系的计算自由度。试求图示体系的计算自由度。图1图2二、平面体系的计算自由度二、平面体系的计算自由度 W W 2 2、平面杆件体系公式、平面杆件体系公式 将体系中将体系中结点结点为为被约束对象被约束对象，链杆链杆为为约束约束。（多用于桁架和组合结构）则计算自由度公式为：（多用于桁架和组合结构）则计算自由度公式为：j j结点数；结点数；b b（单链杆（单链杆+ +支座链杆支座链杆) )总数。总数。 3. 3. 混合公式混合公式 将体系中将体系中刚片和结点刚片和结点为为被被约束约束对象对象，铰、刚结和链铰、刚结和链杆杆为为约束约束，则计算自由度公式为：则计算自由度公式为：m m、j j、g g、h h、b b 意义同前。意义同前。29例：例： 求图示体系的计算自由度。求图示体系的计算自由度。解解: 用混合公式计算。用混合公式计算。m=1 j=5 g=2 b=10 BDACE12345678910I例例: : 求图示体系的计算自由度。求图示体系的计算自由度。BDACE12345678910I解解: 用公式一计算用公式一计算31例：例： 求图示体系的计算自由度。求图示体系的计算自由度。解解: 用混合公式计算。用混合公式计算。m=2 j=4 h=1 b=12 1BDA2345678910CE1112III三、自由度与几何体系构造特点三、自由度与几何体系构造特点体系几何可变；体系几何可变；体系几何不变时，无多余约束。体系几何不变时，无多余约束。体系有多余约束。体系有多余约束。W W = 3= 3（) )m =h =b =例：例： 一个体系若求得一个体系若求得 W W 0 0，一定是几何可变体系，一定是几何可变体系；若；若W W 00，则可能是几何，则可能是几何不变体系，也可能是几何可变体系，取决于具体的几何组成。不变体系，也可能是几何可变体系，取决于具体的几何组成。 所以所以W W 0 0 是是体系几何不变的必要条件体系几何不变的必要条件，而非充分条件而非充分条件。 j = 4b = 4+ 3j = 8b =12+ 48 812124 40 0例：例：例：例：试求图示体系的计算自由度。试求图示体系的计算自由度。解：解：ABCIIIIII123例：例：求图示体系的计算自由度。求图示体系的计算自由度。解：解：AIII12345例：例：求图示体系的计算自由度。求图示体系的计算自由度。BDACE12345678910I解解: : 用混合公式计算。用混合公式计算。 例例: : 求所示体系的计算自由度。求所示体系的计算自由度。去除所有的约束去除所有的约束-内部有多余约束，在截面内部有多余约束，在截面G切开：切开：刚片数：刚片数：m = 1A B G 三处单刚结点三处单刚结点h = 0 链杆个数：链杆个数：b = 4单铰个数：单铰个数：g = 3 这个体系显然几何不变，这个体系显然几何不变，S = 0因此这是一个具有因此这是一个具有10个多余约束的几何不变体系。个多余约束的几何不变体系。 例例: : 求所示体系的计算自由度。求所示体系的计算自由度。ABCD EFGHIJKL例：例：试求图示体系的计算自由度，试求图示体系的计算自由度，并进行几何并进行几何构造构造分析分析。ABCD EFGHIJKL.ABCD EFGHIJKLm9h12b(2,3)(1,3)(1,2)解：1、按平面刚片体系计算自由度2、进行几何构造分析、进行几何构造分析(,)(, )(, )(, )(, )(, )例：例：试求图示体系的计算自由度，试求图示体系的计算自由度，并进行几何并进行几何构造构造分析分析。解：解：1、用混合公式计算计算自由度、用混合公式计算计算自由度2、进行几何构造分析、进行几何构造分析 如图示体系内部（先撤除支座及地基）由三个刚片如图示体系内部（先撤除支座及地基）由三个刚片、 用三个瞬用三个瞬铰两两相连，且三个铰两两相连，且三个瞬铰在一直线上瞬铰在一直线上，为，为几何瞬变体系。几何瞬变体系。