第2章2.3圆周运动的案例分析学习目标1.通过向心力的实例分析，体会匀速圆周运动在生活、生产中的应用.2.能应用向心力和向心加速度公式分析过山车问题和火车转弯问题.3.熟练掌握应用牛顿第二定律和向心力知识分析两类竖直面内圆周运动模型的步骤和方法.内容索引自主预习梳理 重点知识探究 当堂达标检测自主预习梳理一、过山车问题一、过山车问题1.向心力：过山车到轨道顶部A时，如图1所示，人与车作为一个整体，所受到的向心力是 跟轨道对车的 的合力，即F向 .如图所示，过山车在最低点B，向心力F向 .图1N1mg重力mg弹力NNmg2.临界速度：当N0时，过山车通过圆形轨道顶部时的速度最小，v临界 .(1)vv临界时，重力恰好等于过山车做圆周运动的向心力，车不会_轨道.(2)vv临界时， 和 的合力提供向心力，车子不会掉下来.脱离小于弹力重力二、运动物体的转弯问题二、运动物体的转弯问题1.自行车在水平路面转弯，地面对车的作用力与 的合力提供转弯所需的向心力.2.汽车在水平路面转弯，所受 提供转弯所需的向心力.3.火车转弯时外轨 内轨，如图2所示，向心力由 和 的合力提供.图2重力静摩擦力高于支持力重力1.判断下列说法的正误.(1)汽车在水平路面上正常转弯时所需要的向心力是滑动摩擦力提供的.( )(2)火车转弯时，内、外轨道一样高.( )(3)若铁路弯道的内外轨一样高，火车通过弯道时向心力的来源是外轨的水平弹力，所以外轨容易磨损.( )(4)汽车行驶至凸形桥顶部时，对桥面的压力等于车重.( )(5)汽车行驶至凹形桥底部时，对桥面的压力大于车重.( )(6)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员处于完全失重状态，故不再具有重力.( )即学即用即学即用2.飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可看成一段圆弧，如图3所示，飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径为r180 m的圆周运动，如果飞行员质量m70 kg，飞机经过最低点P时的速度v360 km/h，则这时飞行员对座椅的压力是_.(g取10 m/s2)4 589 N解析解析飞机经过最低点时，v360 km/h100 m/s.对飞行员进行受力分析，飞行员在竖直面内共受到重力G和座椅的支持力N两个力的作用，由牛顿第三定律得，飞行员对座椅的压力为4 589 N.图3答案解析重点知识探究一、分析游乐场中的圆周运动如图4所示， 过山车能从高高的圆形轨道顶部轰然而过，车却不掉下来，这是为什么呢？是因为过山车的车轮镶嵌在轨道的槽内、人被安全带固定的原因吗？导学探究导学探究答答案案当过山车在最高点的速度大于 时，重力和轨道对车向下的弹力提供向心力，所以车不会掉下来，与其它因素无关.答案图4竖直平面内的“绳杆模型”的临界问题1.轻绳模型(如图5所示)(1)绳(内轨道)施力特点： 只能施加向下的拉力(或压力).知识深化知识深化图52.轻杆模型(如图6所示)(1)杆(双轨道)施力特点：既能施加向下的拉力(或压力)，也能施加向上的支持力.(2)在最高点的动力学方程当v0时，mgN，球恰好能到达最高点.(3)杆类的临界速度为v临界0.图6例例1公园里的过山车驶过最高点时，乘客在座椅里面头朝下.若轨道半径为R，人的质量为m.(1)若过山车安全通过最高点，必须至少具备多大的速度？解析解析人恰好通过最高点时，座椅对人的压力为零.答案解析(2)若过最高点时人对座椅的压力为2mg，则过山车在最高点时的速度是多大？解解析析若人对座椅的压力N2mg，在最高点人受座椅向下的弹力和重力，两个力的合力提供向心力，有：答案解析答案解析图7二、研究运动物体转弯时的向心力设火车转弯时的运动为匀速圆周运动.(1)如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在转弯时的向心力由什么力提供？会导致怎样的后果？导学探究导学探究答答案案如果铁路弯道的内外轨一样高，火车在竖直方向所受重力与支持力平衡，其向心力由外侧车轮的轮缘挤压外轨，使外轨发生弹性形变，对轮缘产生的弹力来提供(如图甲)；由于火车的质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，会使铁轨和车轮极易受损.答案(2)实际上在铁路的弯道处外轨略高于内轨，试从向心力的来源分析这样做有怎样的优点.答答案案如果弯道处外轨略高于内轨，火车在转弯时铁轨对火车的支持力N的方向不再是竖直的，而是斜向弯道的内侧，它与重力G的合力指向圆心，为火车转弯提供一部分向心力(如图乙)，从而减轻轮缘与外轨的挤压.答案(3)当轨道平面与水平面之间的夹角为，转弯半径为R时，火车行驶速度多大轨道才不受挤压？答案答案火车受力如图丙所示，答案答案知识深化知识深化3.火车转弯(1)向心力来源：在铁路的弯道处，外轨高于内轨，火车在此处依据规定的速度行驶，转弯时，向心力几乎完全由重力G和支持力N的合力提供，如图8所示，即Fmgtan .图8当vv0时，F向F，即转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力，这时内、外轨均无侧压力，这就是设计的限速状态.当vv0时，F向F，即所需向心力大于支持力和重力的合力，这时外轨对车轮有侧压力，以弥补向心力不足的部分.当vv0时，F向F，即所需向心力小于支持力和重力的合力，这时内轨对车轮有侧压力，以抵消向心力过大的部分.说明：火车转弯时受力情况和运动特点与圆锥摆类似.答案解析图9答案解析例例4(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带.如图10，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势.则在该弯道处A.路面外侧高、内侧低B.车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动C.车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆 便不会向外侧滑动D.当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小图10火车转弯的(或高速公路上汽车转弯的)圆轨道是水平轨道，所以合力的方向水平指向圆心.解决此类问题的关键是分析清楚向心力的来源.归纳总结归纳总结当堂达标检测1.(轻杆模型)(多选)如图11所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，细杆长0.5 m，小球质量为3 kg，现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点a的速度为va4 m/s，通过轨道最高点b的速度为vb2 m/s，取g10 m/s2，则小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是A.在a处为拉力，方向竖直向下，大小为126 NB.在a处为压力，方向竖直向上，大小为126 NC.在b处为拉力，方向竖直向上，大小为6 ND.在b处为压力，方向竖直向下，大小为6 N1234答案解析图112.(轻绳模型)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图12所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g10 m/s2)A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N1234答案解析图123.(球在管形轨道中的运动)(多选)如图13所示， 小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是1234A.小球通过最高点时的最小速度是B.小球通过最高点时的最小速度为零C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力图13解解析析小球通过最高点的最小速度为0，圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，就是外侧管壁对小球的作用力，故B、D正确.答案解析4.(竖直面内的圆周运动)如图14所示，某兴趣小组设计了一个滚筒式炒栗子机器，滚筒内表面粗糙，内直径为D.工作时滚筒绕固定的水平中心轴转动.为使栗子受热均匀，要求栗子到达滚筒最高处前与筒壁脱离，则1234C.栗子脱离滚筒的位置与其质量有关D.若栗子到达最高点时脱离滚筒，栗子将自由下落图14答案解析