返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 一致收敛性的重要性在于可以将通项函数的许多解析性质遗传给和函数，如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要.返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理13.8 ( 极限交极限交换定理定理 ) 设函数列函数列在在 上一致收上一致收敛于于 , 且且对每个每个 n, 即即 证 先先证是收是收敛数列数列. 对任意任意 , 由于由于 一一 致收敛致收敛, 故存在正整数故存在正整数 N, 当当 nN 及任意正整数及任意正整数 p, 对一切一切 有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页从而从而于是由柯西准于是由柯西准则可知可知是收是收敛数列数列,即即下面证明下面证明注意到注意到返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定 的任意正数即可的任意正数即可. ，, 因此因此对任任由于由于一致收一致收敛于于收收敛于于同时成立同时成立. 特别当特别当时时, 有有, 有有 , 存在正数存在正数, 当当 时, 对任意任意 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页又因为又因为 故存在故存在, 当当时时,也有也有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这就证明了这就证明了定理指出定理指出: 在一致收在一致收敛的条件下的条件下, 中关于独中关于独 立变量立变量 x 与与 n 的极限可以交换次序的极限可以交换次序, 即即(1)式成立式成立. 上一致收上一致收敛, 且且存在存在, 则有有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理13.9 (连续性性) 若函数列若函数列 在区在区间 I上一致收上一致收 敛, 且每一且每一项都都连续, 则其极限函数其极限函数 在在 I 上也上也连续. 证 于于 是由定理是由定理 13.8 知知 也存在也存在, 且且 定理定理13.9可以逆过来用可以逆过来用: 若各项为连续函数的函数若各项为连续函数的函数 列在区间列在区间 I 上其极限函数不连续上其极限函数不连续, 则此函数列在区则此函数列在区 间间 I 上一定不一致收敛上一定不一致收敛. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例如例如: 函数列函数列 的各的各项在在 上都是上都是连续的的, 但但 其极限函数其极限函数 续续, 所以所以在在 上不一致收敛上不一致收敛.定理定理13.10 (可可积性性) 若函数列若函数列在在上一致收上一致收 敛敛, 且每一项都连续且每一项都连续, 则则 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证 设 为函数列函数列在在上的极限函数上的极限函数. 由定理由定理 13.9知知在在上上连续, 从而从而与与在在 上都可积上都可积. 于是于是(3)变为变为故故对于任意于任意, 存在存在再根据定积分的性质再根据定积分的性质, 当当 时有时有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这就证明了等式这就证明了等式 这个定理指出这个定理指出: 在一致收敛的条件下在一致收敛的条件下, 极限运算与极限运算与积分运算的顺序可以交换积分运算的顺序可以交换. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(其图象如图其图象如图136所示所示).显然显然 是是上的上的连续函数列连续函数列, 且对任意且对任意, 例例1 设函数设函数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页, 因此因此上一致上一致 收敛于收敛于 0 的充要条件是的充要条件是 . 又因又因故故的充要条件是的充要条件是. 虽然然 不一致收不一致收敛于于, 但定理但定理 13.10 的的结论仍仍 成立成立. 但当但当 时, 不一致收不一致收敛于于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1说明当明当收收敛于于时, 一致收一致收敛性是极性是极 限运算与积分运算交换的充分条件限运算与积分运算交换的充分条件, 不是必要条件不是必要条件. 定理定理13.11(可微性可微性)设为定定义在在上的函数列上的函数列, 若若为的收的收敛点点, 的每一的每一项在在上有上有连续的的导数数, 且且在在上一致收上一致收敛, 则 证 为 在在上极限函数上极限函数, 下面下面证明函数列明函数列在区在区间上收上收敛, 且其极限且其极限 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页函数的导数存在且等于函数的导数存在且等于g. ,于是于是 所以上式左所以上式左边极限存在极限存在, 记为由由 g 的连续性及微积分学基本定理得的连续性及微积分学基本定理得这就证明了等式这就证明了等式(4). 由定理条件由定理条件, 对任一对任一 总有总有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 请注意定理中的条件请注意定理中的条件为为的收敛点的作用的收敛点的作用.在定理的条件下在定理的条件下, 还可推出在可推出在上函数列上函数列一一 致收致收敛于于, 请读者自己者自己证明明. 与前面两个定理一样与前面两个定理一样, 一致收敛是极限运算与求导一致收敛是极限运算与求导 运算交换的充分条件运算交换的充分条件, 而不是必要条件而不是必要条件, 请看下例请看下例. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2 函数列函数列 与与在在上都收敛于上都收敛于0, 由于由于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在上述三个定理中在上述三个定理中, 我们都可举出函数列不一致收我们都可举出函数列不一致收 敛但定理结论成立的例子敛但定理结论成立的例子. 在今后的进一步学习中在今后的进一步学习中 (如实变函数论如实变函数论)将讨论使上述定理成立的较弱条件将讨论使上述定理成立的较弱条件, 但在目前情况下但在目前情况下, 只有满足一致收敛的条件只有满足一致收敛的条件, 才能才能 保证定理结论的成立保证定理结论的成立. 下面讨论定义在区间下面讨论定义在区间上函数项级数上函数项级数的连续性、逐项求积与逐项求导的性质的连续性、逐项求积与逐项求导的性质, 这些性质这些性质可根据函数列的相应性质推出可根据函数列的相应性质推出. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理13.12(极限交换定理、连续性定理极限交换定理、连续性定理) 1. 若函数若函数项级数数在在一致收一致收敛, 且且对 , 每个每个, 则有有 (6)2. 若若区区间上一致收上一致收敛, 且每一且每一项都都连 续, 则其和函数在其和函数在 上也上也连续. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在上每一上每一项都有都有连续的的导函数函数, 为 定理定理13.13 (逐逐项求求积定理定理) 若函数若函数项级数数定理定理13.14 (逐逐项求求导定理定理) 若函数若函数项级数数的收的收敛点点, 且且上一致收上一致收敛, 则 上一致收上一致收敛, 且每一且每一项都都连续, 则 在在 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 13.13 和和 13.14 指出指出, 在一致收敛条件下在一致收敛条件下, 逐项逐项 求积或求导后求和等于求和后再求积或求导求积或求导后求和等于求和后再求积或求导. 注注 本节六个定理的意义不只是检验函数列或函数本节六个定理的意义不只是检验函数列或函数 项级数是否满足关系式项级数是否满足关系式(2)(4), (6)(8), 更重要的是更重要的是 根据定理的条件根据定理的条件, 即使没有求出极限函数或和函数即使没有求出极限函数或和函数, 也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和也能由函数列或函数项级数本身获得极限函数或和 函数的解析性质函数的解析性质.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 设设 证明函数明函数项级数数在在上一致收上一致收敛, 并并讨 论和函数在和函数在上的上的连续性、可性、可积性与可微性性与可微性. 证 对每一个每一个 n, 易易见为上的增函数上的增函数, 故故 有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此级数数 在在上一致收上一致收敛. 由于每一个由于每一个在在上上连续, 根据定理根据定理13.12与与 定理定理13.13知知 的和函数的和函数在在上上连 续且可积续且可积. 又由又由 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页故故 在在 上一致收上一致收敛. 由定理由定理13.14, 得知得知在在0, 1上可上可微微. *例例4 确定函数确定函数项级数数 的收的收敛域并域并讨论 和函数的连续性和函数的连续性. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 首先利用连续性定理首先利用连续性定理(或极限交换定理或极限交换定理)建立一个建立一个 判判别法法: 若函数若函数项级数数的每一的每一项在在上上 有定义有定义, 且且 (i) 在点在点右连续右连续;(ii) 收收敛; , (iii) 级数数发散散, 则则在在上不一致收敛上不一致收敛.理由是理由是, 如果如果在在上一致收上一致收敛, 则由由(i) 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页, 及极限交及极限交换定理得定理得 与与发散矛盾散矛盾. 这就就证明了上述判明了上述判别法法. 对函数函数项级数数, 用根式判用根式判别法求出其收法求出其收 敛域域. 因因为, 所所 以当以当时级数收数收敛, 时级数数发散散. 而当而当 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页级数数的一般的一般项, 发 散散; 当当 时, 级数数 的一般的一般项, 也也发散散. 因此因此这个个级数的收数的收敛域域为设在在上上返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因因为在在和和处分分别为左左连续和右和右连续, 而而级数数和和发 散散,故根据本例第一段的判故根据本例第一段的判别法法, 知道知道 在在 上不一致收上不一致收敛. 这说明不能用明不能用连续性定理得性定理得 出和函数在出和函数在上上连续. 是否和函数在是否和函数在上上就不连续了就不连续了? 下面继续讨论下面继续讨论. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页对, , 使得使得, 当当 时, 有有 , 而而级数数 收收敛, 根据根据 优级数判数判别法法, 知知在在上一致收上一致收敛, 根据函数根据函数项级数数连续性定理性定理, 得到和函数得到和函数在在 上上连续, 于是于是在在连续. 由由返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在上的任意性上的任意性, 推得推得级数数的和函的和函 数数在在上上连续. 注注 上述利用开区间的上述利用开区间的“内闭内闭”一致收敛来得出和一致收敛来得出和函数连续性方法是函数项级数中一个典型的解题方函数连续性方法是函数项级数中一个典型的解题方 法法, 请读者关注请读者关注. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题1. 如何利用一致收敛的性质来判别函数列或函数如何利用一致收敛的性质来判别函数列或函数项级数不一致收敛项级数不一致收敛? (例例4已经给出了一个方法已经给出了一个方法, 其其 他请自行总结）他请自行总结） 2. 如果如果对每个每个是区是区间的的单调函数函数,是是 否可以根据否可以根据级数数和和的收的收敛性性, 得到得到函数函数项级数数在在上的一致收上的一致收敛性性? 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页3. 请举出函数项级数的例子请举出函数项级数的例子, 说明一致收敛只是说明一致收敛只是可以进行逐项积分和逐项微分运算的充分条件而不可以进行逐项积分和逐项微分运算的充分条件而不是必要条件。是必要条件。