第第8 8章章 相量法相量法 2. 2. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示3. 3. 电路定理的相量形式；电路定理的相量形式；l 重点：重点：1. 1. 正弦量的表示、相位差；正弦量的表示、相位差；l 正弦电流电路正弦电流电路激励和响应均为正弦量的电路称激励和响应均为正弦量的电路称为正弦电路或交流电路。为正弦电路或交流电路。8.1 8.1 正弦量的基本概念正弦量的基本概念1. 1. 正弦量正弦量瞬时值表达式：瞬时值表达式：i(t)=Imcos( t+ )波形：波形：tiO / / T周期周期T (period)和频率和频率f (frequency) :频率频率f ：每秒重复变化的次数。每秒重复变化的次数。周期周期T ：重复变化一次所需的时间。重复变化一次所需的时间。单位：单位：Hz，赫赫(兹兹)单位：单位：s，秒秒(1)(1)幅值幅值 (amplitude) ( (振幅、振幅、 最大值最大值) )Im(2) (2) 角频率角频率(angular frequency) 2. 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素tiO / / T(3) (3) 初相位初相位(initial phase angle) Im2 t单位：单位： rad/s ，弧度弧度 / 秒秒反映正弦量变化幅度的大小。反映正弦量变化幅度的大小。相位变化的速度，相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。反映正弦量变化快慢。 反映正弦量的计时起点。反映正弦量的计时起点。 i(t)=Imcos( t+ )同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。tiO一般规定一般规定：| | 。 =0 = /2 = /2例例已知正弦电流波形如图，已知正弦电流波形如图， 103rad/s，（1）写出）写出i(t)表达式；表达式；（2）求最大值发生的时间）求最大值发生的时间t1ti010050t1解解由于最大值发生在计时起点之后由于最大值发生在计时起点之后3. 同频率正弦量的相位差同频率正弦量的相位差 (phase difference)。设设 u(t)=Umcos( t+ u), i(t)=Imcos( t+ i)则则 相位差相位差 ： = ( t+ u)- - ( t+ i)= u- - i 0， u超前超前i 角，或角，或i 落后落后u 角角(u 比比i先到达最大值先到达最大值) )； 0， i 超前超前 u 角角，或或u 滞后滞后 i 角角,i 比比 u 先到达最大值。先到达最大值。 tu, iu i u i O等于初相位之差等于初相位之差规定：规定： | | (180)。 0， 同相：同相： = ( 180o ) ，反相：反相：特殊相位关系：特殊相位关系： tu, iu i0 tu, iu i0j= /2/2：u 领先领先 i /2/2, 不说不说 u 落后落后 i 3 /2；i 落后落后 u /2/2, 不说不说 i 领先领先 u 3 /2。 tu, iu i0同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。例例计算下列两正弦量的相位差。计算下列两正弦量的相位差。解解不能比较相位差不能比较相位差两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，且在主值范围比较。号，且在主值范围比较。 4. 4. 周期性电流、电压的有效值周期性电流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。大小工程上采用有效值来表示。l 周期电流、电压有效值周期电流、电压有效值(effective value)定义定义R直流直流IR交流交流i电流有效电流有效值定义为值定义为有效值也称均方根值有效值也称均方根值(root-meen-square)物物理理意意义义同样，可定义电压有效值：同样，可定义电压有效值：l 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imcos( t+ )同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为则其最大值为Um 311V；U=380V， Um 537V。（1）工工程程上上说说的的正正弦弦电电压压、电电流流一一般般指指有有效效值值，如如设设备备铭铭牌牌额额定定值值、电电网网的的电电压压等等级级等等。但但绝绝缘缘水水平平、耐耐压压值值指指的的是是最最大大值值。因因此此，在在考考虑虑电电器器设设备备的的耐耐压压水水平平时时应应按按最最大大值考虑。值考虑。（2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。（3 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。注注l 复数复数A的表示形式的表示形式AbReIma0A=a+jbAbReIma0 |A|8.2 8.2 正弦量的相量表示正弦量的相量表示1. 1. 复数及运算复数及运算两种表示法的关系：两种表示法的关系：A=a+jb A=|A|ej =|A| 直角坐标表示直角坐标表示极坐标表示极坐标表示或或l 复数运算复数运算则则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)(1)(1)加减运算加减运算采用代数形式采用代数形式若若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2A1A2ReIm0AbReIma0 |A|图解法图解法(2) (2) 乘除运算乘除运算采用极坐标形式采用极坐标形式若若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。例例1. 乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。则则:解解例例2. (3) (3) 旋转因子：旋转因子：复数复数 ej =cos +jsin =1 A ej 相相当当于于A逆逆时时针针旋旋转转一一个个角角度度 ，而而模模不不变变。故故把把 ej 称为旋转因子。称为旋转因子。 解解AReIm0A ej 故故 +j, j, - -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。几种不同几种不同 值时的旋转因子值时的旋转因子ReIm0i1I1I2I3 i1+i2 i3i2 1 2 3角频率：角频率：有效值：有效值：初相位：初相位：两个正弦量的相加两个正弦量的相加因因同同频频的的正正弦弦量量相相加加仍仍得得到到同同频频的的正正弦弦量量，所所以以，只只要确定初相位和有效值要确定初相位和有效值( (或最大值或最大值) )就行了。因此，就行了。因此，2. 2. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 tu, ii1 i20i3正弦量正弦量复数复数实际是变实际是变换的思想换的思想l 正弦量的相量表示正弦量的相量表示造一个复函数造一个复函数对对A(t)取实部：取实部：对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数A(t)包含了三要素：包含了三要素：I、 、 ，复常数包含了复常数包含了I I , 。A(t)还可以写成还可以写成复常数复常数无物理意义无物理意义是一个正弦量是一个正弦量 有物理意义有物理意义称称 为正弦量为正弦量 i(t) 对应的相量。对应的相量。相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：已知已知例例1 1试用相量表示试用相量表示i, u .解解在复平面上用向量表示相量的图在复平面上用向量表示相量的图例例2试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解l 相量图相量图 3. 3. 相量法的应用相量法的应用(1) (1) 同频率正弦量的加减同频率正弦量的加减故同频正弦量相加减运算变故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。成对应相量的相加减运算。i1 i2 = i3可得其相量关系为：可得其相量关系为：例例也可借助相量图计算也可借助相量图计算ReImReIm首尾相接首尾相接 2 . 2 . 正弦量的微分，积分运算正弦量的微分，积分运算微分运算微分运算:积分运算积分运算:例例Ri(t)u(t)L+- -C用相量运算：用相量运算：相量法的优点：相量法的优点：（1）把时域问题变为复数问题；）把时域问题变为复数问题；（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；）把微积分方程的运算变为复数方程运算；（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；注注 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 相量法用来分析正弦稳态电路。相量法用来分析正弦稳态电路。N线性线性N线性线性 1 2非非线性线性 不适用不适用正弦波形图正弦波形图相量图相量图8.3 8.3 电路定理的相量形式电路定理的相量形式1. 1. 电阻元件电阻元件VCR的相量形式的相量形式时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量模型相量模型uR(t)i(t)R+- -有效值关系有效值关系相位关系相位关系R+- -UR u相量关系：相量关系：UR=RI u= i瞬时功率：瞬时功率：波形图及相量图：波形图及相量图： i tOuRpR u= iURI瞬时功率以瞬时功率以2 交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率同同相相位位时域形式：时域形式：i(t)uL(t)L+- -相量形式：相量形式：相量模型相量模型j L+- -相量关系：相量关系：有效值关系：有效值关系： U= L I相位关系：相位关系： u= i +90 2. 2. 电感元件电感元件VCR的相量形式的相量形式感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1) (1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力； (2) (2) 感抗和频率成正比；感抗和频率成正比； XL相量表达式相量表达式:XL= L=2 fL，称为感抗，单位为称为感抗，单位为 ( (欧姆欧姆) )BL=1/ L =1/2 fL， 感纳，单位为感纳，单位为 S S 感抗和感纳感抗和感纳:功率：功率： t iOuLpL2 瞬时功率以瞬时功率以2 交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消 i波形图及相量图：波形图及相量图：电压超前电电压超前电流流900时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：相量模型相量模型iC(t)u(t)C+- -+- -有效值关系：有效值关系： IC= CU相位关系：相位关系： i= u+90 相量关系：相量关系：3. 3. 电容元件电容元件VCR的相量形式的相量形式XC=1/ C， 称为容抗，单位为称为容抗，单位为 ( (欧姆欧姆) )B B C = C， 称为容纳，单位为称为容纳，单位为 S S 频率和容抗成反比频率和容抗成反比, w0， |XC| 直流开路直流开路( (隔直隔直) ) ，|XC|0 0 高频短路高频短路( (旁路作用旁路作用) ) |XC|容抗与容纳：容抗与容纳：相量表达式相量表达式:功率：功率： t iCOupC2 瞬时功率以瞬时功率以2 交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消 u波形图及相量图：波形图及相量图：电流超前电电流超前电压压9004. 4. 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式同同频频率率的的正正弦弦量量加加减减可可以以用用对对应应的的相相量量形形式式来来进进行行计计算算。因因此此，在在正正弦弦电电流流电电路路中中，KCL和和KVL可可用用相相应应的相量形式表示：的相量形式表示：上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表示时仍满足示时仍满足KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍满足表示时仍满足KVL。例例1 1试判断下列表达式的正、误：试判断下列表达式的正、误：L例例2 2A1A2A0Z1Z2已知电流表读数：已知电流表读数：A18AA26AA0?A0I0max=?A0I0min=?解解A0A1A2?例例2 2+_15 u4H0.02Fi解解相量模型相量模型j20 - -j15 +_15 例例3 3+_5 uS0.2 Fi解解相量模型相量模型+_5 -j5 例例4 4j40 jXL30 CBA解解例例5 5图示电路图示电路I1=I2同同=5A，U50V，总电压与总电流同相，总电压与总电流同相位，求位，求I、R、XC、XL。- -jXC+_R- -jXLUC+- -解解也可以画相量图计算也可以画相量图计算令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部例例5 5图示为图示为RC选频网络，试求选频网络，试求u1和和u0同相位的条件及同相位的条件及-jXCRRuou1-jXC