第2课时习题课函数奇偶性的应用【题型探究【题型探究】类型一类型一利用奇偶性求函数解析式利用奇偶性求函数解析式【典例【典例】若若f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数上的奇函数, ,当当x0x0时时,f(x,f(x)=x)=x2 2-2x+3,-2x+3,求求f(xf(x) )的解析式的解析式. .【解题探究【解题探究】典例中函数的定义域是什么典例中函数的定义域是什么? ?提示提示: :据条件可知定义域为据条件可知定义域为x xR R. .【解析【解析】当当x0x0,-x0,f(-xf(-x)=(-x)=(-x)2 2-2(-x)+3=x-2(-x)+3=x2 2+2x+3,+2x+3,由于由于f(xf(x) )是奇函数是奇函数, ,故故f(x)=-f(-xf(x)=-f(-x),),所以所以f(xf(x)=-x)=-x2 2-2x-3.-2x-3.即当即当x0x0时时,f(x,f(x)=-x)=-x2 2-2x-3.-2x-3.【延伸探究【延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件) )若把本例中的奇函数改为偶函数若把本例中的奇函数改为偶函数, ,其他条件不变其他条件不变, ,求当求当x0x0时时,f(x,f(x) )的解析式的解析式. .【解析【解析】当当x0x0,-x0,f(-xf(-x)=(-x)=(-x)2 2-2(-x)+3=x-2(-x)+3=x2 2+2x+3,+2x+3,由于由于f(xf(x) )是偶函数是偶函数, ,故故f(x)=f(-xf(x)=f(-x),),所以所以f(xf(x)=x)=x2 2+2x+3,+2x+3,即当即当x0x0x0时时,f(x,f(x)=1,)=1,则当则当x0x0时时,f(x,f(x)=)=. .【解析【解析】设设x0,x0,-x0,所以所以f(-xf(-x)=1,)=1,因为因为f(xf(x) )为偶函数为偶函数, ,所以所以f(xf(x)=1.)=1.答案答案: :1 1类型二类型二函数单调性与奇偶性的综合函数单调性与奇偶性的综合角度角度1:1:比较大小问题比较大小问题【典例【典例】已知函数已知函数y=f(xy=f(x) )是定义在是定义在R R上的偶函数上的偶函数, ,在在2,62,6上是减函数上是减函数, ,比较比较f(-5)f(-5)与与f(-3)f(-3)的大小的大小. .【解题探究【解题探究】典例中如何将典例中如何将f(-5)f(-5)转化为自变量在转化为自变量在2,62,6上与之对应相上与之对应相等的函数值等的函数值? ?提示提示: :利用函数的奇偶性利用函数的奇偶性, ,由于函数是偶函数由于函数是偶函数, ,故故f(-5)=f(5).f(-5)=f(5).【解析【解析】因为因为f(xf(x) )是偶函数是偶函数, ,所以所以f(-5)=f(5),f(-3)=f(3),f(-5)=f(5),f(-3)=f(3),因为因为f(xf(x) )在在2,62,6上是减函数上是减函数, ,所以所以f(5)f(3),f(5)f(3),所以所以f(-5)f(-3).f(-5)f(-3).【延伸探究【延伸探究】( (变换条件变换条件) )若把本例中的偶函数改为奇函数若把本例中的偶函数改为奇函数, ,其他条件其他条件不变不变, ,比较比较f(-5)f(-5)与与f(-3)f(-3)的大小的大小. .【解析【解析】因为因为f(xf(x) )是奇函数是奇函数, ,所以所以f(-5)=-f(5),f(-3)=-f(3),f(-5)=-f(5),f(-3)=-f(3),因为因为f(xf(x) )在在2,62,6上是减函数上是减函数, ,所以所以f(5)f(3),f(5)-f(3).-f(5)-f(3).即即f(-5)f(-3).f(-5)f(-3).角度角度2:2:解不等式问题解不等式问题【典例【典例】设定义在设定义在-2,2-2,2上的奇函数上的奇函数f(xf(x) )在区间在区间0,20,2上是减函数上是减函数, ,若若f(1-m)f(mf(1-m)f(m),),求实数求实数m m的取值范围的取值范围. .【解题探究【解题探究】典例中奇函数典例中奇函数f(xf(x) )在在-2,2-2,2上的单调区间是什么上的单调区间是什么? ?怎样怎样将抽象不等式将抽象不等式f(1-m)f(mf(1-m)f(m) )转化为具体的不等式转化为具体的不等式? ?提示提示: :由于函数是奇函数由于函数是奇函数, ,可得可得f(xf(x) )在在-2,0-2,0上单调递减上单调递减. .故其在故其在-2,-2,22上单调递减上单调递减. .借助函数的奇偶性及其单调区间借助函数的奇偶性及其单调区间, ,可将抽象不等式可将抽象不等式f(1-m)f(mf(1-m)f(m) )转化为具体的不等式求解转化为具体的不等式求解. .【解析【解析】因为因为f(xf(x) )是奇函数是奇函数, ,所以所以f(xf(x) )在在-2,2-2,2上为减函数上为减函数. .所以不等式所以不等式f(1-m)f(mf(1-m)f(m) )等价于等价于 【方法技巧【方法技巧】奇偶性与单调性综合问题的两种类型奇偶性与单调性综合问题的两种类型(1)(1)比较大小比较大小: :看自变量是否在同一单调区间上看自变量是否在同一单调区间上. .在同一单调区间上在同一单调区间上, ,直接利用函数的单调性比较大小直接利用函数的单调性比较大小; ;不在同一单调区间上不在同一单调区间上, ,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上调区间上, ,然后利用单调性比较大小然后利用单调性比较大小. .(2)(2)解不等式解不等式: :利用已知条件利用已知条件, ,结合函数的奇偶性结合函数的奇偶性, ,把已知不等式转化为把已知不等式转化为f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2) )的形式的形式. .根据奇函数在对称区间上的单调性一致根据奇函数在对称区间上的单调性一致, ,偶函数在对称区间上的单偶函数在对称区间上的单调性相反调性相反, ,脱掉不等式中的脱掉不等式中的“f f”转化为简单不等式求解转化为简单不等式求解. .【变式训练【变式训练】1.1.已知函数已知函数f(xf(x) )在在-5,5-5,5上是偶函数上是偶函数,f(x,f(x) )在在0,50,5上是上是单调函数单调函数, ,且且f(-4)f(-2),f(-4)f(-2),则下列不等式一定成立的是则下列不等式一定成立的是( () )A.f(-1)f(3)A.f(-1)f(3)B.f(2)f(3)B.f(2)f(3)C.f(-3)f(5)C.f(-3)f(1) D.f(0)f(1)【解析【解析】选选D.D.因为函数因为函数f(xf(x) )在在-5,5-5,5上是偶函数上是偶函数,f(-4)f(-2),f(-4)f(-2),所以所以f(4)f(2).f(4)f(1).f(0)f(1).2.2.设设f(xf(x) )在在R R上是偶函数上是偶函数, ,在在(-,0)(-,0)上递减上递减, ,若若f(af(a2 2-2a+3)f(a-2a+3)f(a2 2+a+1),+a+1),求实数求实数a a的取值范围的取值范围. .【解析【解析】由题意知由题意知f(xf(x) )在在(0,+(0,+) )上是增函数上是增函数. .又因为又因为a a2 2-2a+3=(a-1)-2a+3=(a-1)2 2+20,+20,a a2 2+a+1=+a+1=且且f(af(a2 2-2a+3)f(a-2a+3)f(a2 2+a+1),+a+1),所以所以a a2 2-2a+3a-2a+3a2 2+a+1,+a+1,即即3a2,3a2,解得解得a .a .规范解答规范解答 函数奇偶性与单调性的综合应用函数奇偶性与单调性的综合应用【典例【典例】(12(12分分) )已知函数已知函数f(xf(x)= )= 是奇函数是奇函数, ,且且f(2)= f(2)= (1)(1)求实数求实数a,ba,b的值的值. .(2)(2)判断函数判断函数f(xf(x) )在在(-,-1(-,-1上的单调性上的单调性, ,并用定义证明并用定义证明. .【审题指导【审题指导】利用两个条件建立关于利用两个条件建立关于a,ba,b的方程求解的方程求解, ,求出函数解析式求出函数解析式, ,再利用单调性定义判断再利用单调性定义判断f(xf(x) )在在(-,-1(-,-1上的单调性上的单调性. .【规范解答【规范解答】(1)(1)因为因为f(xf(x) )是奇函数，所以是奇函数，所以f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )1 1分分3 3分分因此因此b=-bb=-b，解得解得b=0. b=0. 4 4分分又因为又因为f(2)= f(2)= ，所以，所以 解得解得a=2. a=2. 6 6分分(2)(2)由由(1)(1)知知f(x)= f(xf(x)= f(x) )在在(-,-1(-,-1上为增函数，上为增函数，7 7分分证明：设证明：设x x1 1xx2 2-1-1，则则f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=)= (x= (x1 1-x-x2 2) ) 9 9分分因为因为x x1 1xx2 2-1-1，所以，所以x x1 1-x-x2 201.1.所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0)0，即，即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )1111分分所以所以f(xf(x) )在在(-,-1(-,-1上为增函数上为增函数. .1212分分【题后悟道【题后悟道】1.1.用好奇、偶函数的定义用好奇、偶函数的定义求参数的问题需要根据奇、偶函数的定义建立关于参数的恒等式求参数的问题需要根据奇、偶函数的定义建立关于参数的恒等式, ,通通过比较等式两边来确定关于参数的方程过比较等式两边来确定关于参数的方程. .解题时要挖掘隐含条件解题时要挖掘隐含条件, ,具备具备式子变形能力式子变形能力. .如本例由奇函数要挖掘出如本例由奇函数要挖掘出f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )这一隐含条件这一隐含条件. .2.2.注意积累一些常用结论注意积累一些常用结论形如形如f(xf(x)=ax+ (a)=ax+ (a0,b0,b0)0)的函数在的函数在(-,- )(-,- )和和( ,+)( ,+)上单调递增，在上单调递增，在(- ,0)(- ,0)和和(0, )(0, )上单调递减上单调递减. . 记住此结论对于解记住此结论对于解答这种类型的题目有着重要的作用答这种类型的题目有着重要的作用. .