8.3 非齐次边界条件的齐次化处理 从之前的讨论中可知，除稳定场问题需部分非齐次边界来确定叠加系数外，其它情况总是要求边界条件为齐次。这是分离变量法的适用条件。这也是本征函数有解且解具有正交完备性的基本要求。所以对于一些非齐次边界,我们总是想办法将其齐次化。一、类非齐次边界的齐次化处理 如果能将非齐次边界问题u转化为齐次边界问题w和一个较简单函数v的叠加，即u = w +v，而函数vu的边界条件，这样 w满足的边界即为齐次边界。其中函数v的选取具有一定的随机性，有时要作多次尝试，而且其形式不唯一。1、齐次方程的一般处理例如，自由振动问题对于第一类边界，不妨把把v选为选为x 的线性函数的线性函数：代入边界条件，可得待定系数则定解问题变为：这样问题转化为齐次边界条件的非齐次方程。如果令还可以将w方程齐次化。这里的m(t)和n(t)为不高于时间t二次方的函数。这时，函数v(x,t)相当于方程的一个特解，而选取的机动函数只要满足齐次边界w(0)=0=w(l)，便不会影响v(x,t)的齐次化。例1：求定解问题 根据上面的分析，可令线性函数并让v(x,t)满足非齐次边界：又v(x,t)为方程的特解，代入方程得：解得：由其边界条件得：则定解问题变为：从而问题转化为关于w(x,t)的齐次边界条件的齐次方程，解之得其中系数由初条件确定为：从而可得u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)。2、非齐次方程 若上面为非齐次方程，且f(x,t) = f(x)，称为稳恒方程，则在确定机动函数w(x)时得到的方程为非齐次常微分方程，所以可用常数变易法求解，这样仍然可以转化为含齐次边界的齐次方程。但是，当f(x,t)含有时间项时（非稳恒方程），只能将非齐次边界齐次化，而很难用求w(x)的办法使方程齐次化，这样只能转化为含齐次边界的非齐次方程。如下例：例2：其它条件不变，仅让例1的方程变为解：令则v(x,t)满足非齐次边界。令u=v+w，得定解问题 用本征函数展开得：其中由初条件得：作拉氏变换，解得：从而可得通解u=v+w。用冲量法冲量法再解上述非齐次方程，方程可分解为：解满足w=w1+w2。其中齐次方程的通解为非齐次方程的解可用冲量法求，先求解方程解得：将通解代入初条件得：故从而可得通解u=v+w。 3、特殊处理 当非齐次边界为时间的周期函数时，还可以作特殊的齐次化处理，即取v(x,t)也为时间的周期函数。例3：求定解方程令v(x,t)=X(x)sinwt是齐次方程的一个特解，并满足非齐次边界，则分离变量得：再令u=v+w，则上面的定解问题变为： 解之得：其中系数：最后可得通解u(x,t) =v(x,t) +w(x,t)。当(x) =0=(x)时，即为课本例2，则此时系数：为0所以，当边界处的外加力频率与某一本征振动频率n接近时，即这便是共振。方法二：该题也可以用一般处理法，令u=v+w，其中所以定解方程变为：由本征函数展开法或冲量法可解出：同样产生共振。因为有傅氏展开所以，两种解法的结果是完全相同的。n 为1二、 类非齐次边界的齐次化处理 如果上述的定解问题为第二类非齐次边界，即则则vx需作需作x变量的线性型变换变量的线性型变换，即令满足非齐次边界，从而可得若给v(x,t) 增加一个随机函数w(x)还可将方程齐次化。总之，第二类非齐次边界的处理办法和第一类完全相同。 三、 其它非齐次边界的齐次化处理 下面给出其它非齐次边界条件下的函数v(x,t)的形式： v的的x线性型变换不可行？线性型变换不可行？显然函数v(x,t)满足各自的边界条件，且不超过x和t的二次方。 函数v(x,t)的形式不唯一，只要满足边界即可，因此上述(1)和(2)的形式也可以令为：四、 分离变量法说明作业P175：1，3 2、二阶线性偏微分方程的解不一定是分离变量的乘积形式，例如，和的形式u=x+y也是拉氏方程的解。 1、常系数二阶偏微分方程可用分离变量法，但变系数二阶线性偏微分不一定能用分离变量法；