第17讲导数与函数的极值、最值考纲要求考点分布考情风向标1.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题2013 年新课标第 20 题(1)(2)考查导数的几何意义、单调性、极大值等；2014 年新课标第 21 题考查函数极值的充要条件及利用单调性讨论参数的取值范围；2014 年新课标第 12 题以函数零点为背景，考查导数的应用；2015 年新课标第 12 题构造函数利用其单调性解不等式；2016 年新课标第 21 题考查函数单调性本节复习时，要特别注意三次函数、指数函数与对数函数(以 e 为底)的综合题.要深入体会导数应用中蕴含的数学思想方法.分类讨论思想(如参数问题的讨论)；数形结合思想(如通过从导函数图象特征解读函数图象的特征或求两曲线交点个数)；等价转化思想(如将证明的不等式问题等价转化为研究相应问题的最值等)1.函数的极值f(x)0f(x)0(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧_，右侧_，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：求 f(x)；求方程 f(x)0 的根；检查 f(x)在方程 f(x)0 的根左右两边导函数值的符号.如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得_；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点.极大值2.函数的最值(1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件：如果在区间a，b上，函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤：求函数 yf(x)在(a，b)内的_；将函数 yf(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.极值端点值3.利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式 yf(x)并确定定义域；(2)求导数 f(x)，解方程 f(x)0；(3)判断使 f(x)0 的点是极大值点还是极小值点；(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答，即获得优化问题的答案.答案：AC.x2 为 f(x)的极大值点D.x2 为 f(x)的极小值点D4.(2015 年陕西)函数 xex在其极值点处的切线方程为_.考点 1 函数的极值例 1：(2013 年新课标)已知函数 f(x)ex(axb)x24x，曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y4x4.(1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值.解：(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知，得 f(0)4，f(0)4.故 b4，ab8.从而 a4，b4.【规律方法】(1)求可导函数单调区间的一般步骤和方法：确定函数 f(x)的定义域；求 f(x)，令 f(x)0，求出它在定义域内的一切实根；把函数 f(x)的间断点即 f(x)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；确定 f(x)在各个开区间内的符号，根据 f(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小开区间内的增减性.(2)可导函数极值存在的条件：可导函数的极值点x0一定满足f(x0)0，但当f(x1)0时，x1不一定是极值点.如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点；可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同.【互动探究】A1.(2017年新课标)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则 f(x)的极小值为()A.1 B.2e3 C.5e3 D.1解析： 由题可得f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1.因为f(2)0，所以a1，f(x)(x2x1)ex1.故f(x)(x2x2)ex1.令f(x)0，解得x1，所以f(x)在(，2)，(1，)上单调递增，在(2，1)上单调递减.所以f(x)的极小值为f(1)(111)e111.故选A.2.已知函数 f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是()A.(，0)C.(0,1)D.(0，)答案：B考点 2 函数的最值例 2：(2017 年北京)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；解：(1)因为 f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y1.【规律方法】求函数f(x)在a，b上的最大值、最小值的步骤：求函数在(a，b)内的极值；求函数在区间端点的函数值 f(a)，f(b)；将函数 f(x)的极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.【互动探究】3.(2017 年河南郑州模拟)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)求 f(x)在区间0,1上的最小值.x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)单调递减ek1单调递增解：(1)由 f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：所以 f(x)的单调递减区间是(，k1)，单调递增区间是(k1，).(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k.当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上所述，当k1时，f(x)mink；当1k2时，f(x)minek1；当k2时，f(x)min(1k)e.考点 3 利用导数解决生活中的优化问题例 3：(2016 年江苏)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如图 2171)，并要求正四棱柱的高是 PO1 的四倍.(1)若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m，则当 PO1为多少时，仓库的容积最大？图 2171解：(1)由 PO12 m，知OO14PO18 m.因为 A1B1AB6 m，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2OO1628288(m3).所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3).【规律方法】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求f(x)0 和 f(x)0 时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.【互动探究】(2)由(1)的解答可知 f(r)0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，)上单调递减.因此 xr 是 f(x)的极大值点，所以 f(x)在(0，)内的极大值为 f(r)100，f(x)在(0，)内无极小值.综上所述，f(x)在(0，)内的极大值为 100，无极小值.难点突破运用转化与化归思想讨论函数中的恒成立(存在性)问题【互动探究】5.已知函数 f(x)x2eax (a0).(1)若 a1，求曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；a 的取值范围.x(，1)(1,1)(1，)g(x)g(x)单调递减单调递增单调递减当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：