1第三节 第二类换元法一、第二类换元公式一、第二类换元公式二、第二类换元举例二、第二类换元举例三、总结三、总结2问题问题解决方法解决方法改变中间变量的设置方法改变中间变量的设置方法.过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果） 第二类换元法3证证设设 为为 的原函数的原函数,令令则则则有换元公式则有换元公式定理定理2 24第二类积分换元公式第二类积分换元公式5例例1 1 求求解解 令令6例例2 2 求求解解 令令7例例3 3 求求解解 令令8说明说明(1)(1) 以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令9 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定情况来定.说明说明(2)(2)例例4 4 求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解解10例例5 5 求求解解 令令11说明说明(3)(3) 当分母的阶较高时当分母的阶较高时, 可采用可采用倒代换倒代换例例6 6 求求令令解解12例例7 7 求求解解令令（分母的阶较高）（分母的阶较高）1314说明说明(4)(4) 当被积函数含有两种或两种以上的当被积函数含有两种或两种以上的根式根式 时，可采用令时，可采用令 （其中（其中 为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） 例例8 8 求求解解令令1516基基本本积积分分表表17181920总总 结结1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: 令令令或令令第四节讲21(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换倒代换 令说明说明:被积函数含有时, 除采用采用双曲代换消去根式 ,所得结果一致 . 或或三角代换外, 还可利用公式22练习与思考题练习与思考题22分子分母同除以1.解解: 令原式23232、求解解: 原式原式