解直角三角形 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：C=90A+ B=90 2、在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：C=90A=30 BC=21AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 几何表示：ACB=90 D 为 AB的中点 CD=21AB=BD=AD 4、勾股定理：222cba 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ACB=90 CD AB BDADCD2 ABADAC2 ABBDBC2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC 锐角三角函数的概念 如图，在ABC中，C=90 casin斜边的对边AA cbcos斜边的邻边AA batan的邻边的对边AAA abcot的对边的邻边AAA 锐角 A的正弦、余弦、正切、余切都叫做A的锐角三角函数 A C B D 锐角三角函数的取值范围：0sin1，0cos1，tan0，cot0. 锐角三角函数之间的关系 （1）平方关系 1cossin22AA （2）倒数关系 tanAtan(90 A)=1 （3）弦切关系 tanA=AAcossin cotA=AAsincos （4）互余关系 sinA=cos(90 A)，cosA=sin(90 A) tanA=cot(90 A)，cotA=tan(90 A) 特殊角的三角函数值 sin cos tan cot 30 12 32 33 3 45 22 22 1 1 60 32 12 3 33 说明：锐角三角函数的增减性，当角度在 0 90 之间变化时. （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 解直角三角形的概念 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 解直角三角形的理论依据：以上. 对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. 仰角 俯角 北 东 西 南 h l i i=h/l=tg 一半几何表示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半几何表示为的中点勾股定理射影定理在直角三角形中斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项常用关系式由三角正切余切都叫做的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围锐角三角函数之间的关系平方关系倒数关系弦切关系互余关系特殊角的三角函数值说明锐角三角函数的增减性当角度在之间变化时正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小减小而减小或增大解直角三角形的概念在直角三角形中除直角外一共有五个元素即三条边和两个锐角由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形解直角三角形的理论依据以上对实际问题的处理俯 （3）坡角、坡度. 补充：在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 有关公式 （1）1sin2SabC=1sin2bcA=1sin2acB （2）Rt面积公式：1122Sabch （3）结论：直角三角形斜边上的高abhc （4）测底部不可到达物体的高度如右图， 在 RtABP中， BP=xcot 在 RtAQB中， BQ=xcot BQ BP=a， 即 xcot -xcot =a 解直角三角形的知识的应用，可以解决： (1) 测量物体高度 (2) 有关航行问题 (3) 计算坝体或边路的坡度等问题 典型例题： 1.在 RtABC 中，各边的长度都扩大 2 倍，那么锐角 A 的正弦、余弦 （ ） （A） 都扩大 2 倍 （B） 都扩大 4 倍 （C） 没有变化 （D） 都缩小一半 2. 在 RtABC中，C=90，sinA=54，则 cosB 的值等于（ ） A53 B. 54 C. 43 D. 55 ABPQxa 一半几何表示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半几何表示为的中点勾股定理射影定理在直角三角形中斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项常用关系式由三角正切余切都叫做的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围锐角三角函数之间的关系平方关系倒数关系弦切关系互余关系特殊角的三角函数值说明锐角三角函数的增减性当角度在之间变化时正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小减小而减小或增大解直角三角形的概念在直角三角形中除直角外一共有五个元素即三条边和两个锐角由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形解直角三角形的理论依据以上对实际问题的处理俯 3. 在正方形网格中，ABC的位置如图所示， 则cosB的值为 （ ） A12 B22 C32 D33 4.在 RtABC 中，C=90 ，A=15 ，AB 的垂直平分线与 AC 相交于 M 点，则 CM ：MB 等于（ ） （A）2：3 （B）3：2 （C）3：1 （D）1：3 5. 等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A） 600 （B） 900 （C） 1200 （D） 1500 6. 身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝是拉直的） ，则三人所放的风筝中( ) 同学 甲 乙 丙 放出风筝线长 100m 100m 90m 线与地面夹角 40 45 60 A、甲的最高 B、丙的最高 C、 乙的最低 D、丙的最低 7.如图，一渔船上的渔民在 A 处看见灯塔 M 在北偏东 60O方向，这艘渔船以 28km/时的速度向正东航行， 半小时到 B 处， 在 B 处看见灯塔 M 在北偏东15O方向，此时，灯塔 M 与渔船的距离是（ ） km27 km214 km7 km14 8、河堤横断面如图所示，堤高 BC5 米，迎水坡 AB 的坡比 1：3（坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比） ，则 AC 的长是（ ） A53米 B10 米 C15 米 D103米 东 一半几何表示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半几何表示为的中点勾股定理射影定理在直角三角形中斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项常用关系式由三角正切余切都叫做的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围锐角三角函数之间的关系平方关系倒数关系弦切关系互余关系特殊角的三角函数值说明锐角三角函数的增减性当角度在之间变化时正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小减小而减小或增大解直角三角形的概念在直角三角形中除直角外一共有五个元素即三条边和两个锐角由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形解直角三角形的理论依据以上对实际问题的处理俯 9.如图，铁路 MN 和公路 PQ 在点 O 处交汇，QON=30 公路 PQ 上 A 处距离 O 点 240 米如果火车行驶时，周围 200 米以内会受到噪音的影响那么火车在铁路 MN 上沿 ON 方向以 72 千米/时的速度行驶时， A 处受噪音影响的时间为 A12 秒 B16 秒 C20 秒 D24 秒 10、084sin45(3)4 = 11、在ABC 中，A=30， tan B= 13，BC=10，则 AB 的长为 . 12、锐角 A满足 2 sin(A-150)=3, 则A= . 13、已知 tan B=3，则 sin2B= . 14、某人沿着有一定坡度的坡面前进了 10 米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡度为 . 15、如图所示, 小明在家里楼顶上的点 A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点 A处看电梯楼顶部点 B 处的仰角为 60，在点 A处看这栋电梯楼底部点 C 处的俯角为 45，两栋楼之间的距离为 30m ，则电梯楼的高 BC为_米（保留根号） A B C D 1l 3l 2l 4l 一半几何表示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半几何表示为的中点勾股定理射影定理在直角三角形中斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项常用关系式由三角正切余切都叫做的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围锐角三角函数之间的关系平方关系倒数关系弦切关系互余关系特殊角的三角函数值说明锐角三角函数的增减性当角度在之间变化时正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小减小而减小或增大解直角三角形的概念在直角三角形中除直角外一共有五个元素即三条边和两个锐角由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形解直角三角形的理论依据以上对实际问题的处理俯 16. 如图，已知直线1l2l3l4l，相邻两条平行直线间的距离都是 1，如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin 17. ABC中，C=90，B=30，AD是ABC的角平分线，若 AC=3求线段 AD的长 16.腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点 C，利用三角板测得雕塑顶端 A 点的仰角为30，底部B点的俯角为45， 小华在五楼找到一点D， 利用三角板测得A点的俯角为60（如图）.若已知 CD 为 10 米，请求出雕塑 AB 的高度 （结果精确到 0.1 米，参考数据31 73.） 17.如图，某天然气公司的主输气管道从 A 市的东偏北 30方向直线延伸，测绘员在 A 处测得要安装天然气的 M 小区在 A 市东偏北 60方向，测绘员沿主输气管道步行 2000 米到达 C 处，测得小区 M 位于 C 的北偏西 60方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点 N， 使到该小区铺设的管道最短， 并求 AN 的长. D C B A （第 16一半几何表示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半几何表示为的中点勾股定理射影定理在直角三角形中斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项常用关系式由三角正切余切都叫做的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围锐角三角函数之间的关系平方关系倒数关系弦切关系互余关系特殊角的三角函数值说明锐角三角函数的增减性当角度在之间变化时正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小减小而减小或增大解直角三角形的概念在直角三角形中除直角外一共有五个元素即三条边和两个锐角由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形解直角三角形的理论依据以上对实际问题的处理俯 A B C D 18.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，BDDC，C60 ，AD4，BC6，求 AB 的长 第 18 题 19、某兴趣小组用高为 1.2 米的仪器测量建筑物 CD 的高度如示意图，由距CD 一定距离的 A 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为，在 A 和 C 之间选一点 B，由 B 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为测得 A，B 之间的距离为 4米，tan1.6，tan1.2，试求建筑物 CD 的高度 一半几何表示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半几何表示为的中点勾股定理射影定理在直角三角形中斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项常用关系式由三角正切余切都叫做的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围锐角三角函数之间的关系平方关系倒数关系弦切关系互余关系特殊角的三角函数值说明锐角三角函数的增减性当角度在之间变化时正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小减小而减小或增大解直角三角形的概念在直角三角形中除直角外一共有五个元素即三条边和两个锐角由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形解直角三角形的理论依据以上对实际问题的处理俯 20、一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，ABCF，F=ACB=90 , E=45,A=60,AC=10, 试求 CD 的长 21、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸 ABCD ，河岸 AB 上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为 10米.小明先用测角仪在河岸 CD 的 M 处测得=36，然后沿河岸走 50 米到达 N点，测得=72。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽 FR（结果保留两位有效数字）. （参考数据： sin 360.59， cos 360.81， tan360.73， sin 720.95， cos 720.31，tan723.08） A C D B E F G A B C D E F M N R 一半几何表示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半几何表示为的中点勾股定理射影定理在直角三角形中斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项常用关系式由三角正切余切都叫做的锐角三角函数锐角三角函数的取值范围锐角三角函数之间的关系平方关系倒数关系弦切关系互余关系特殊角的三角函数值说明锐角三角函数的增减性当角度在之间变化时正弦值随着角度的增大或减小而增大或减小减小而减小或增大解直角三角形的概念在直角三角形中除直角外一共有五个元素即三条边和两个锐角由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形解直角三角形的理论依据以上对实际问题的处理俯