1.3 3全称量词与存在量词全称量词与存在量词一二思考辨析一、量词与命题1.全称量词、全称命题2.存在量词、特称命题 一二思考辨析名师点拨1.从集合的观点看,全称命题是陈述某集合所有元素都具有某种性质的集合,而特称命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.2.全称命题含有全称量词,有些全称命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”.3.含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是特称命题.一二思考辨析【做一做1】下列语句不是全称命题的是()A.任何一个实数乘以零都等于零B.自然数都是正整数C.高二(一)班绝大多数同学是团员D.每一个向量都有大小解析:判断命题是否为全称命题,关键是看命题中的量词是否体现“所有的”“任意一个”等含义,含有全称量词的命题为全称命题.其中A,B,D选项的量词“任何一个”“都”“每一个”均是全称量词,故为全称命题,对于选项C中的量词“绝大多数”属于存在量词,故不是全称命题.答案:C一二思考辨析【做一做2】下列命题中,是真命题的是()A.存在xR,sin x+cos x=1.5B.任意x(0,),sin xcos xC.存在xR,x2+x=-1D.任意x(0,+),ex1+x解析:sin x+cos x=1+x.答案:D一二思考辨析二、含有一个量词的命题的否定 名师点拨1.要否定全称命题“对任意xM,p(x)成立”,只需在M中找到一个x0,使得p(x0)不成立,即“存在x0M,使p(x0)不成立”.2.要否定特称命题“存在xM,p(x)成立”,需要验证对M中的每一个x,均有p(x)不成立,即“对任意的xM,p(x)不成立”.3.写省略量词的全称命题或特称命题的否定时,要先补回量词再否定.一二思考辨析【做一做3】命题“存在实数x,使x1”的否定是()A.对任意实数x,都有x1B.不存在实数x,使x1C.对任意实数x,都有x1D.存在实数x,使x1答案:C【做一做4】已知命题p:对任意实数x2,总有x2-80,那么p的否定为.答案:存在实数x2,使得x2-80一二思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)全称命题中一定含有全称量词. ()(2)同一个特称命题的表达形式不是唯一的. ()(3)全称命题的否定一定是特称命题,特称命题的否定一定是全称命题. ()(4)用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的. ()(5)全称命题与其否定的真假可以相同. () 探究一探究二探究三思维辨析全称命题与特称命题的判断全称命题与特称命题的判断【例1】判断下列命题是全称命题还是特称命题:(1)对数函数都是单调函数;(2)至少有一个整数,它既能被2整除,又能被5整除;(3)任给xx|x是有理数,x2是有理数;(4)存在xZ,logax0;(5)负数的平方是正数;(6)有的实数是无限不循环小数;(7)有些三角形不是直角三角形;(8)凡是三角形,都有内切圆;(9)任给x,yR,x2+y2+2x+2y1;(10)若a=b,则a2=b2.探究一探究二探究三思维辨析思维点拨:判断一个命题是全称命题还是特称命题,关键有两点:一是是否具有两类命题所要求的量词或形式;二是根据命题的含义判断指的是全体,还是全体中的个别元素.解:(1)中含有全称量词“都”,所以是全称命题;(2)中含有存在量词“至少有一个”,所以是特称命题;(3)中含有全称量词“任给”,所以是全称命题;(4)中含有存在量词“存在”,所以是特称命题;(5)中从命题的叙述中看出,省略了全称量词“都”或“所有”,因而是全称命题;(6)中含有存在量词“有的”,所以是特称命题;(7)中含有存在量词“有些”,所以是特称命题;(8)中含有全称量词“凡是”,所以是全称命题;探究一探究二探究三思维辨析(9)中含有全称量词“任给”,所以是全称命题;(10)是一个“若p,则q”形式的命题,不含量词,所以它既不是全称命题,也不是特称命题.反思感悟判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤1.首先判定语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称命题或特称命题.2.若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称命题,含有存在量词的命题是特称命题.3.当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质.4.一个全称命题(或特称命题)往往有多种不同的表述方法,有时可能会省略全称量词(或存在量词),应结合具体问题多加体会.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练1下列命题:(1)至少有一个x,使x2+2x+1=0成立;(2)对任意的x,都有x2+2x+1=0成立;(3)对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立;(4)存在x,使x2+2x+1=0成立.其中是全称命题的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:(2)(3)含有全称量词,故(2)(3)是全称命题.答案:B探究一探究二探究三思维辨析全称命题与特称命题的真假判断全称命题与特称命题的真假判断【例2】判断下列命题是全称命题,还是特称命题,并判断其真假.(1)对任意xN,2x+1是奇数;(2)每一个平行四边形的对角线都互相平分;(4)存在一组m,n的值,使m-n=1;(5)至少有一个集合A,满足A1,2,3.探究一探究二探究三思维辨析解:(1)是全称命题.因为对任意xN,2x+1都是奇数,所以全称命题:“对任意xN,2x+1是奇数”是真命题.(2)是全称命题.由平行四边形的性质可知此命题是真命题.(3)是特称命题.不存在xR,使 =0成立,所以该命题是假命题.(4)是特称命题.当m=4,n=3时,m-n=1成立,所以该命题是真命题.(5)是特称命题.存在A=3,使A1,2,3成立,所以该命题是真命题.反思感悟全称命题、特称命题的真假判断:探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练2判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假.(1)不相交的两条直线是平行线;(2)存在正实数x,y,使x2+y2=0.解:(1)全称命题,不相交的两条直线也可能是异面直线,因此,命题是假命题.(2)特称命题,要使x2+y2=0成立,只有x=y=0,而0不是正实数,因而不存在正实数x,y,使x2+y2=0,因此,命题是假命题.探究一探究二探究三思维辨析含有一个量词的命题的否定含有一个量词的命题的否定【例3】写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)p:对任意xR,x2-x+0;(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:存在xR,使x2+2x+20;(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.思维点拨:首先弄清楚是全称命题还是特称命题,然后再针对不同的形式加以否定.探究一探究二探究三思维辨析(2)至少存在一个正方形不是矩形.假命题.(3)对任意xR,x2+2x+20.真命题.这是由于对任意xR,x2+2x+2=(x+1)2+110成立.(4)对任意xR,x3+10.假命题.这是由于当x=-1时,x3+1=0.反思感悟在书写全称命题与特称命题的否定时,一定要抓住决定命题性质的量词,从对量词的否定入手,书写命题的否定.由于全称量词的否定是存在量词,而存在量词的否定又是全称量词,因此,全称命题的否定一定是特称命题,特称命题的否定一定是全称命题.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练3(1)命题“对任意x0,x2+x0”的否定是()A.存在x0,使x2+x0B.存在x0,使x2+x0C.对任意x0,x2+x0D.对任意x0,x2+x0(2)命题“存在xZ,使x2+2x+m0”的否定是()A.“存在xZ,使x2+2x+m0”B.“不存在xZ,使x2+2x+m0”C.“对于任意xZ,都有x2+2x+m0”D.“对于任意xZ,都有x2+2x+m0”答案:(1)B(2)D探究一探究二探究三思维辨析因对含有一个量词的命题的否定意义理解不透彻而致误【典例】写出下列命题的否定.(1)矩形有一个外接圆;(2)对数函数都是单调函数.易错分析:上述两个命题都是省略全称量词的全称命题,在写其否定形式时,往往忽略量词的改写,只对结论进行否定.正解:(1)由于省略了全称量词“所有的”,其原命题为“所有的矩形都有一个外接圆”,故原命题的否定为:存在一个矩形没有外接圆;(2)由于隐含了量词“任意的”,其原命题为“任意的对数函数都是单调函数”,故原命题的否定为:存在一个对数函数不是单调函数.纠错心得对于隐含了量词的命题的否定,先补全再进行否定.要注意对其进行改写进而找出量词,(1)中隐含了全称量词“所有的”,(2)中隐含了全称量词“任意的”,因此需要对其进行改写.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练已知命题:可以被5整除的数,末位是0,则其否定是.解析:省略了全称量词“任何一个”,该命题的否定为:有些可以被5整除的数,末位不是0.答案:有些可以被5整除的数,末位不是01 2 3 4 51.下列命题是特称命题的是()A.三角函数都是周期函数B.任意的a0,函数y=logax是增函数C.偶函数的图像关于y轴对称D.存在实数不小于3答案:D1 2 3 4 52.判断下列全称命题的真假,其中真命题为()A.所有奇数都是素数B.任给xR,x2+11C.对每个无理数x,x2是有理数D.每个函数都有反函数答案:B1 2 3 4 53.下列说法中,正确的个数是()存在一个实数x,使-2x2+x-4=0;所有的质数都是奇数;在同一平面中斜率相等且不重合的两条直线都平行;至少存在一个正整数,能被5和7整除.A.1B.2C.3D.4解析:对于,0”的否定是.答案:存在a,bR,使|a+1|+|b-1|01 2 3 4 55.已知命题p:“对任意aR,x2-2xa2+2a+9”,若命题p的否定为假命题,则实数x的取值范围是.解析:命题p的否定为假命题,命题p是真命题.对任意aR,a2+2a+9=(a+1)2+88,x2-2x8.解得-2x4,即x的取值范围是-2,4.答案:-2,4