3.1.13.1.1方程的根方程的根 和和 函数的零点函数的零点1 思考：一元二次方程思考：一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的实根与的实根与二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象有什么关系？的图象有什么关系？2方程方程ax2 +bx+c=0(a0)的根的根函数函数y= ax2 +bx+c(a0)的图象的图象判别式判别式 =b24ac0=00函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2方程根的个数就是函数图象与方程根的个数就是函数图象与x x轴交点的个数轴交点的个数。方程的实数根就是函数图象与方程的实数根就是函数图象与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标。3 对于函数对于函数y=f(x),y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0f(x)=0的实的实数数x x叫做函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的零点。的零点。函数零点的定义：函数零点的定义：注意：注意：零点指的是一个实数；零点是一个点吗?等价关系等价关系等价关系等价关系方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)y=f(x)有零点有零点4对零点的理解：对零点的理解：数数的角度：的角度：形形的角度：的角度：使使f(x)=0的实数的实数x的值的值函数函数f(x)的图象与的图象与x轴的交轴的交点的横坐标点的横坐标求函数零点的方法：求函数零点的方法：(1) 方程法：方程法：(2) 图象法：图象法：解方程解方程f(x)=0, 得到得到y=f(x)的零点的零点画出函数画出函数y=f(x)的图象的图象, 其图象其图象与与x轴交点的横坐标是函数轴交点的横坐标是函数y=f(x)的零点的零点5课堂练习：课堂练习：1.1.求求下列下列函数的零点函数的零点： 6课堂练习：课堂练习：2.2.求求下列下列函数的零点函数的零点：7课堂练习：课堂练习：3.3.求求下列下列函数的零点函数的零点：思考：如何求思考：如何求函数函数f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x6 6的零点的零点? ?8观观察二次函数察二次函数f(x)x22x3的的图图象：象：在区在区间间-2，1上有零点上有零点_；f(-2)=_，f(1)=_，f(-2)f(1)_0（“”或或“”）在区在区间间(2，4)上有零点上有零点_；f(2)f(4)_0（“”或或“”） 1453探究: 2-2-41O1-223 4-3-1-1yx问题:在怎样的条件下，函数yf(x)在区间a,b上一定存在零点？ 零点存在性的探究：9观察函数的图象并填空观察函数的图象并填空:在区间在区间(a,b)上上f(a)f(b)_0(“”或或“”) 在区间在区间(a,b)上上_(有有/无无)零点；零点； 在区间在区间(b,c)上上f(b)f(c) _ 0(“”或或“”) 在区间在区间(b,c)上上_(有有/无无)零点；零点； 在区间在区间(c,d)上上f(c)f(d) _ 0(“”或或”) 在区间在区间(c,d)上上_(有有/无无)零点；零点；有有有有有有xyOabcd零点存在性的探究：问题:在怎样的条件下，函数yf(x)在区间a,b上存在零点？ 10 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的上的图象是连续不断的一条曲线图象是连续不断的一条曲线，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b) 内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根。的根。函数零点存在性定理：xyOxyObaabcc11例例 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数已知函数y=f (x)在区间在区间a,b 满足满足f (a) f(b) 0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内存在零点内存在零点. （ ）（2）已知函数已知函数y=f (x)在区间在区间a,b上连续，且上连续，且f (a) f(b) 0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内没有零点内没有零点. （ ）abOxyabOxyabOxy12由表得由表得f(2)0，即即f(2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内有零点。内有零点。 由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是内是增函数，所以它仅有一个零点，这个增函数，所以它仅有一个零点，这个零点所在的大致区间是（零点所在的大致区间是（2，3）解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象的对应值表和图象 4 1.3069 1.09863.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972例例 判断函数判断函数f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x6 6是否有零点，若是否有零点，若有，求零点个数及零点所在的大致区间。有，求零点个数及零点所在的大致区间。123456789x x x xf f f f（x x x x）. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x0246105y24108612148764321913解法二：估算解法二：估算f(x)在各整数处的值的正负在各整数处的值的正负如果不借助计算机，也不利用计算器，如果不借助计算机，也不利用计算器，如何确定函数如何确定函数f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x6 6零点所在零点所在的大致区间？的大致区间？ x 1234f(x) -+14 解法三解法三: : 通过数形结合，把原函数通过数形结合，把原函数的零点个数问题，的零点个数问题， 转化为讨转化为讨论方程的根个数问题，再转论方程的根个数问题，再转化为两个简单函数的图象交化为两个简单函数的图象交点个数问题点个数问题. . 拓展提升：拓展提升： 你还有其它办法来确定函数你还有其它办法来确定函数f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x6 6零点所在的大致区间？零点所在的大致区间？ 6Ox1 2 3 4yy= lnxy=2x +615课后思考：课后思考： 函数函数 f(x)=lnx+2x f(x)=lnx+2x6 6的零点的零点在区间在区间( (2 2,3),3)内，能否进一步地缩内，能否进一步地缩小零点所在的区间范围，求出这小零点所在的区间范围，求出这个零点？个零点？ 16存在性个 数数 值归纳整理，整体认识范 围f(x)f(x)连续连续f(a)f(b)0f(a)f(b)0f(x)f(x)连续连续f(a)f(b)0f(a)f(b)0(a,b)(a,b)上单调上单调方程实根函数图像与x轴的交点横坐标函数零点方程法图象法列表法交点法17课堂小结：、函数零点的定义；2、函数零点的存在性定理；3、确定函数f(x)的零点的方法。 （1 1）解方程）解方程f(x)=0;f(x)=0; （2 2）找）找f(x)f(x)图象与图象与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标; ; （3 3）作出）作出x,f(x)x,f(x)对应值表，找到对应值表，找到a,ba,b，使，使f(a)f(b)0f(a)f(b)0，则零点，则零点c (a,b);c (a,b); （4 4）看成两个简单函数交点的横坐标）看成两个简单函数交点的横坐标. . 18