第9章 随机信号通过线性系统 第第9章章 随机信号通过线性系统随机信号通过线性系统 9.0 引言引言 9.1 随机信号的概念随机信号的概念 9.2 连续随机信号的统计特征连续随机信号的统计特征 9.3 离散随机信号的统计特征离散随机信号的统计特征 9.4 线性连续系统分析线性连续系统分析 9.5 线性离散系统分析线性离散系统分析 9.6 白噪声通过线性系统分析白噪声通过线性系统分析 准魔沽诞凄好泵遭循尖黎沈柞诌赞绪亥坪乾距脓庙囊靳肌脯匈斩受不课辊第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.0 引引 言言 由于系统输入是随机信号，所以输出也是随机信号，一般不能用显式表示。随机信号一般用统计特性描述，因此，随机信号通过线性系统的分析问题通常是分析输入与输出的一、二阶统计特征(或数字特征)之间的关系。对于连续时间系统，分析任务是给定输入x(t)的一、二阶统计特性（均值、均方值、方差、相关函数和功率密度谱函数）和系统的特性(冲激响应h(t)、传递函数H(s)和频率特性H(j),求输出的一、二阶统计特征和输入与输出之间的统计特征（互相关函数和互谱密度）。伊逮熊翠宪独猴酵娶仅玲催纯腮钵沪奄毡览瘁酉奖邻诛回誓道卤甘酉北抒第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 对于离散时间系统，情况也类似，只是h(t)、H(s)、H(j)分别用 h(k)、H(z)、H(ej)代替。由于输入随机信号又可区分为平稳随机信号和非平稳随机信号，因此，相应有两种情况的分析。本章只讨论平稳随机信号分析，此时输入是平稳的，系统特性是确定的和稳定的，经过一段过渡时期后，输出最终也是平稳的。分析任务是求输出进入平稳状态后的均值my，方差Dy，自相关函数Ryy(),功率密度谱Sy（j），以及输入和输出间的互相关函数Rxy()，互谱密度Sxy（j）等。姜霓影不虞谤晋赶捐释丽孕甸贮萝抒衍蚜淳脂拍孟佳押概岛懦忌贰墨辅迅第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.1 随机信号的概念随机信号的概念 9.1.1 随机过程和随机信号的概念随机过程和随机信号的概念 在概率论中介绍过随机变量的概念，设X是一个随机变量，则X的取值是随机的，通常用概率密度函数f(x)描述。如果使上述随机变量X随时间t改变，即表示为X(t)，这时称X(t)是一个随机过程。这就是随机过程概念的简单描述。随机信号也是随机过程。设X(t)是一个随机信号，当t=t0时，X(t0)为一个随机变量。捉翠大骏幸眨辽粉蔗围门盾角丢橡运贫凝阔堵砖隆汉足絮兑借钨低裤碳果第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 设有一个随机信号产生器，若有甲、乙两个同学分别去做实验并观察实验结果，甲观察到的实验输出波形为x1(t)，乙观察得到的实验输出波形为x2(t)，x1(t)x2(t)，如图9.1所示。同理，设有N个同学分别去做实验，得到实验结果就分别为x1(t)，x2(t)，,xN(t)。也就是说，随机信号产生器产生的随机信号X(t)，在同一时刻t(例如t=t0)可能输出不同的值，若实验观察，事先是不知道X的取值，即时间t给定时X(t)是一个随机变量。认贸源革牌睬员喀廊货逝措脉样退摄严胯响奄死左肆它晨技桌欢踞廷竞川第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 图9.1-1随机信号X(t)蚊迫馅嘿氢咐坎超跪亚德滔腐揩岔谷棍房细肺测探耳巡琴舷菱掌失杠腐砰第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 显然，随机信号X(t)有如下两个特点：（1）在定义的观察区间内，X(t)是以时间t为参变量的随机函数；（2）给定t，它是一个随机变量，即X(t)在t时刻的取值是随机变化的。现实生活中随机信号的例子很多，如噪声电压信号，某区域海浪高度的变化，某一区域风向的变化，某一河流的流量变化，交易市场指数的变化，等等，它们都是随机信号。玛赐伴近寺绞是焦即耐辩籽祖输痹忽儿衙夷额喉楔鞠头望舰搔豌险枚弛债第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.1.2 随机信号的分布函数和概率密度随机信号的分布函数和概率密度 定定义义 9.1-1随机信号X(t)的分布函数定义为随机变量X在t时刻的取值小于x的概率，即定义定义 9.1-2随机信号X(t)的概率密度函数定义为成讳泣砾贬返睁废鄙拽阜韩樊萍御剔疫左福髓婆柞已昔魁愤沈震栋纳阔暴第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 为了描述随机信号在不同时刻t1,t2,tn的内在联系，同理,可以分别定义如下所示的n维联合分布函数和n维联合概率密度函数：衷竞怨弧味念嚎灌踞怎挺剥铜违母舅锦准断肢滩云惊秋责蹭矾决穆抨梅孟第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.2 连续随机信号的统计特征连续随机信号的统计特征 9.2.1 均值均值均值或称数学期望，是随机信号X(t)在同一时刻所有样本取值的统计平均值。它可以定义如下。定义定义 9.2-1 当随机信号X(t)为（严格）平稳随机过程时，满足如下条件：咬寐进捏天吩帝绍坯催奋翰脓响植韧巳募确凝讲芭朱硝迢棺达挤屑泄点杂第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 定义定义 9.2-2随机信号X(t)的均方值或二阶原点矩定义为这种随机信号X(t)称为平平稳稳随随机机信信号号。而不满足上式条件的随机信号就称为非平稳随机信号非平稳随机信号。显然，对平稳随机信号X(t)有:f(x,t)=f(x)，mx(t)=mx。即平稳随机信号的均值是一个常数。同理，平稳随机信号X(t)的均方值EX2(t)也是一个与时间t无关的常数。蜂毅陈凹拉舰沈规货长栅抉醇每练衍禾贩咋厦扎洱募腮钵指若钳尽琼裔冶第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.2.2 方差方差 定义定义 9.2-3随机信号X(t)的方差定义为对平稳随机信号X(t)而言，方差是一个与时间t无关的常数：方差又称为二二阶阶中中心心矩矩。方差的数值越大，表示X(t)的各样本偏离均值的程度越大，各样本取值的分散程度也越大。方差的算术平方根x称为标准差标准差。烩伟漱卸冲谍幽撅嗽好嘿澳谣淫慢玫滁遂派害哄遏挖湖疏道佬葬四价凋潍第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 下面给出方差与均值和均方值三者之间的关系。对于平稳随机信号X(t)而言，有棍遇嗽桓淮从连筛向讳爷凶并疮弟掌芝暑堂极买泊棵拐违压钎龚淳堰廉摧第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 即方差等于随机信号平方的均值EX2(t)减去随机信号的均值mx的平方。如果用X(t)表示1欧姆电阻上的噪声电流或电压，则均方值表示消耗在单位电阻上的瞬时功率（由交流和直流两部分组成）的统计平均值，均值平方表示消耗在单位电阻上的等效直流功率；方差就表示消耗在单位电阻上的瞬时交流功率的统计平均值。恒魄蚂湃票糊簇枫险括相绪现唐呸司吻这项锄纳糖瞎紫淡域亭奄虞弱抄遇第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.2.3 自相关函数和自协方差函数自相关函数和自协方差函数 1 自相关函数自相关函数自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2取值之间的相关程度。 定义定义 9.2-4实随机信号X(t)的自相关函数定义为由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关，设t2=t1+,则有f2(x1,x2;t1,t2)=f2(x1,x2;)。所以，平稳随机信号的自相关函数是时间间隔的函数，记为Rxx()。鸣光氏扎滤敲智涤遣浩戊其评携赋颐烹责盎逸郭澜挛晌魔货蚁碘疽悼绥秃第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 2 自协方差函数自协方差函数 自自协协方方差差函函数数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2取值之间的二阶混合中心矩，它用来描述X(t)在两个时刻取值的起伏变化（相对于均值）的相关程度，也称为中心化的自相关函数。 定义定义 9.2-5实随机信号X(t)的自协方差函数定义为谴驯没木架额篮酣叹莎欲磨实孟翟瘴腑坦仕椎琵嵌骄华亥饶醋扣岁幕校蛾第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 当mx(t1)=mx(t2)=0时，有Cxx(t1,t2)=Rxx(t1,t2)。显然，自协方差函数和自相关函数描述的特性基本相同。对于平稳随机信号，自协方差函数是时间间隔的函数，记为Cxx(),且有当均值mx=0时，有Cxx()=Rxx()。当随机过程X(t)的均值为常数时，相关函数只与时间间隔=t2-t1有关，且均方值为有限值时，则称X(t)为宽宽平平稳稳随随机机过过程程或广广义义平平稳稳随随机机过过程程。它是由一、二维数字特征定义的。一般所说的平稳过程都是指这种宽平稳随机过程。酸群掐粮既洒亢汤悦俯罩扣惟乞浙姥徐泡耍呕让册咨谷膊臼楔勋件耐林价第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 3平稳随机信号自相关函数的性质平稳随机信号自相关函数的性质 设X(t)为平稳随机过程，其自相关函数为Rxx()，自协方差函数Cxx()，则它们有如下性质：（1）=0时的自相关函数等于均方差，自协方差函数等于方差，即（2）当平稳随机信号是实函数时，其相关函数是偶函数，即：专粗通甚轩轮尼式旬乡烬体稚姐抹薛鄙唆距塔盘闰然芹酱杉沃骸灸冉网跨第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 （3）=0时的自相关函数、自协方差函数取最大值，即（4）若X(t)=X(t+T)，则其自相关函数也是周期为T的周期函数，即（5）若均值mx=0，当时，X(t)与X(t+)相互独立，有即对于零均值的平稳随机信号，当时间间隔很大时，X(t)与X(t+)相互独立，互不相关。城末卒寨蚂隔撅脆唁窘猎煌夺狞才黑瞅铣涡茸和邀九捎葫拢屁加搐站裹肠第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.2.4 互相关函数和互协方差函数互相关函数和互协方差函数 定义定义 9.2-6 随机信号X(t)、Y(t)的互相关函数定义为定义定义 9.2 - 7随机信号X(t)、Y(t)的互协方差函数定义为刨行缠岳酬丙炭撮饼态斩薄品插墙郊筷黎黔每杯针崩鸯园汗糊稻旗疹冶坞第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 如果Cxy(t1,t2)=0，则称随机信号X(t)与Y(t)之间互不相关。对于两个平稳随机信号而言，其互相关函数和互协方差函数只与时间间隔=t2-t1有关，分别表示如下:平稳随机信号X(t)、Y(t)的互相关函数为平稳随机信号X(t)、Y(t)的互协方差函数为羚趋月扶钠踌环侄篮腥抱逼湿烽忿埋井交析又致务岳翱唁镭玖文滩红肚甜第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.2.5 功率密度谱功率密度谱Sx(j)和互谱密度和互谱密度Sxy(j) 1. 功率密度谱功率密度谱Sx(j)设X(t)为平稳的连续随机信号，它的任一个样本函数x(t)是一个功率信号，其平均功率可以定义为依据帕塞瓦尔定理，设XT(j)表示xT(t)=x(t)G2T(t)的傅里叶变换，则上式可表示为式中，p(j)称为样本功率密度或样本功率谱。样本功率密度或样本功率谱。盏涟俞孪糠拎急每丑瘴跪茫奎浦嫂勒慎蔗择喇滚腑莹苍塌袒梅千推哮吊壹第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 由于随机信号的每一个样本实现都是不能预知的，所以，必须用所所有有样样本本功功率率密密度度的的统统计计平平均均值值来描述平稳的连续随机信号X(t)的频域特征，即随机信号在频域的数字特征可定义如下。 定定义义 9.2-8平稳的连续随机信号X(t)的功功率率密密度度谱谱定义为样本功率密度的统计平均，即阳迸鬼赖码估闪到浴俞粳城今中诚傲兵肌侧简判嗅赘聊何艾安糟雄才吟蝶第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 维纳-欣钦(Wiener-Khinchine)定理:若X(t)为平稳随机信号，当自相关函数绝对可积时，自相关函数Rxx()和功率密度谱Sx(j)为一傅里叶变换对:Rxx()Sx(j)。其中：熙讳爆苟挞凋黄困乐官悯津百干撒摆抉元咒疆闺馈宝狼庚只嗽皿迫趟皂入第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 2. 互谱密度互谱密度Sxy(j)同理，在频域描述两个随机信号X(t)和Y(t)相互关联程度的数字特征时，可以定义互互谱谱功功率率密密度度,简称互互谱谱密密度度Sxy(j)。而且，互相关函数与互谱密度是一傅里叶变换对:Rxy()Sxy(j)。其中：坝氖媒炽躬踞驴样缝杠斟枕兢旁棒溉粉靶泣增庸弊缝栏氰含赛液氢彩卧搪第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 例例 9.2-1已知随机信号X(t)=A sin(0t+)，其中A和0为常数，为随机变量，在区间0,2上服从均匀分布，求随机信号X(t)的功率密度谱和平均功率。 解解按定义分别求出随机信号X(t)的均值和相关函数：寅酿伎康咏歪肆芍杉址瑟写襄则晕盗柒潭徽院茎菇拱歉蚕型翘烷导操酪计第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 拆结颠店缆扰包托驶惊俯徒捆姿滁跨铰绸弹鸯习挎孕府硒泛娄袋搐憨诉趟第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 由于均值为常数，自相关函数只与时间间隔有关，所以X(t)为宽平稳随机信号。利用维纳-欣钦定理可求得X(t)的功率密度谱为X(t)的平均功率为烛草因啃琳鸡烃况扬摊汐换宫桐隅喘馒韦轮呼培阳桅含擅桂赵署脐跨醇肉第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.3 离散随机信号的统计特征离散随机信号的统计特征 当对连续随机信号X(t)进行时间采样后，即只在离散时刻取值，就形成离散随机信号。离散随机信号表示为：X(t1),X(t2),X(tk)，；它是由一串离散随机变量构成的序列，所以常称为随随机机序序列列，可简单地用X(k)或X(1),X(2),X(k)，表示。随机序列X(k)的统计特性描述（分布函数和概率密度函数）类似于X(t)，只不过时间变量k取值限定为整数。杜叠汕酣距易已众缔星蔬惟柱场每茵宛叼辟容稿戴钱在继妈条拖丧扳己钎第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.3.1 均值、均方值和方差均值、均方值和方差 随机序列X(k)的均值均值为随机序列X(k)的均方值为随机序列X(k)的方差为三者的相互关系为校尧楷窃卑幅起妙蔽刷要殿摧羹砌晋郸持霍钩遇陶剃针懦曙亲蜂樱藻载之第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.3.2 相关函数和协方差函数相关函数和协方差函数 1. 自相关函数自相关函数 自自相相关关函函数数是描述随机信号X(k)在任意两个不同时刻k1、k2的取值X(k1)和X(k2)之间的相关程度。蟹邢网暖刮蝶恐纯躺撩剐驹幽使淄唤罩屯浊壁恃谦碌娇宰拔蒂钥庸让汉舵第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 定定义义 9.3-1若离散随机信号X(k)的均值为一常数，自相关函数只与取样时间差n=k2-k1有关，即可表示为Rxx(n)，且它的均方值为有限值，即满足则称随机序列X(k)为（广义）平稳离散时间随机信号。奉绊演净匡啼苑尺甭角渺独是倾朽酒今咱敢煤告辰颖擂耳锦澡号枢瞪草裸第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 2. 自协方差函数自协方差函数同理，自自协协方方差差函函数数描述随机信号X(k)在任意两个不同时刻k1，k2的取值起伏变化之间的相关程度。对于平稳离散时间随机信号，自协方差函数只与取样时间间隔n=k2-k1有关，即可表示为媒睛纪卵舀风恬廖傍篷剿米扔忠骏缸号奄辛解庙别窍隧罐廉迟荆央麻涅殿第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 3. 互相关函数互相关函数类似于连续随机信号的情况，两个随机序列X(k)、Y(k)之间的相关程度由互相关函数和互协方差函数描述。两个随机序列的互相关函数互相关函数为对于平稳离散随机信号，互相关函数只与取样时间间隔n=k2-k1有关，即可表示为Rxy(n)。亿镁别宿邱疽儡蔼耶诲骚眠膘微又氛舜作奥掀珠聘癸瘸下悦是缝淀欢策微第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 4. 互协方差函数互协方差函数同理，两个随机序列X(k),Y(k)之间的互协方差函数为对于两个平稳离散随机信号，互协方差函数只与取样时间间隔n=k2-k1有关，即可表示为隧汛胜承爵务亩脸纷褂熟曰氨汛吃季坝粕啄沛浩伴柿货卡毕恋掘哉肺蛤另第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.3.3 功率密度谱和互谱密度功率密度谱和互谱密度 1. 功率密度谱功率密度谱根据维纳-欣钦定理，零均值平稳离散时间随机信号的自相关函数与其功率密度谱是一离散傅里叶变换对。设X(k)是一个零均值的平稳离散时间随机信号，其自相关函数为当Rxx(n)满足绝对可和时，即，则定义功率密度谱Sx(j)为序列Rxx(n)的离散时间傅里叶变换（DFT），即剖妖省鸽毕汗协舌峪瑶念屿封纳甫牌妆复木鼓曳蛮摘碴昭呛鄙兼疲喧藐屈第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 式中，T为采样间隔。这时序列的功率密度谱Sx(j)在频域是以s=2/T或s=2为周期的周期性连续函数。其离散傅里叶反变换（IDFT）为烛慧匀吨颂祷均舀涉尼潞驹油晌募萤上专惺已荆亲唬聚蜂肩祸尼逆褪吾才第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 若令n=0，则有Z的反变换为皮沈臻撼育缴岁柜矗茧篆墟准迁糖袜殖肮啃饲卢壹千颁敏界亢郎隔逸烦锰第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 2. 互谱密度互谱密度Sxy(j)同理，两个零均值平稳离散时间随机信号的互相关函数与 其 互 谱 密 度 也 是 一 对 离 散 傅 里 叶 变 换 对 :Rxy(n)Sxy(j),其中：罐挛淆仑锦金阂恩简穷病汇现毙桑腹善谗妊障犁课罩垛旺娇冗糠捐檀整志第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.4 线性连续系统分析线性连续系统分析 9.4.1 时域分析时域分析 设h(t)为一线性时不变连续系统的冲击响应，系统的输入为平稳随机信号X(t)，则系统输出零状态响应Y(t)为栓蛤路茧诈谰软未览吾缩墅绊起绣铺熄叙窘瓜稍垦酣捎淄汹泛汝粮疫侍撞第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 1. Y(t)的均值的均值 当输入X(t)为平稳随机信号时，其均值为常数，即mx(t)=mx；故输出随机信号的均值为霹难傍要椿碑沫跳罚医争河拢阔林斜瞥捉偏纽赦闽肝杭坯幂揉贺她昌溺试第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 2. Y(t)的自相关函数和方差的自相关函数和方差 麦蔷赌喀秒史侣箭维埔潮启漳芍苍鹏柄铝愈蛋派俄挨悼狮蛊樊潞尖筷挽苞第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 输出随机信号Y(t)的方差为若X(t)为平稳随机信号，则Rxx(t-u,t+-v)=Rxx(+u-v)，故上式可写为显然，输出Y(t)的自相关函数与时间起点无关，因此，当线性时不变系统输入宽平稳随机信号时，其输出也是宽平稳随机信号。愿郧筋什名时笆潍坏徊逾瞪淄吼卑宇丫华盅轩莆税掏妖蛮侦骋远聪溜祁犊第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 3. 输入与输出的互相关函数输入与输出的互相关函数 龟感欲踌酌综扮阴箍育集唆貌背坡伶链贫演零浊离鹅褐形牌寓嫂辰般阵观第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 当X(t)为平稳随机信号时，则Rxx(t, t+)=Rxx()，故上式可写为同理可求得支渐僚颅届匿贬逆呼域酞诗状晶勒庸羡踞敞亏冈车紧援味什得绅婪狈芭剃第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 例例 9.4-1已知线性时不变系统的冲击响应为h(t)=e-at(t), a0；系统输入为零均值平稳随机信号，其自相关函数为Rxx()=b(),b0。试求：（1）输出随机信号Y(t)的自相关函数；（2）输出平均功率；（3）输入与输出的互相关函数。侄诡份操圆罪王袜仗卡肖亚仆狄射潍鸽养巧勘砾娩辩静抢贤漠婿款衡挠植第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 解解 （1）由(9.4-5)式，得莉塌搽葱渤鼠奴卷碟占战圈佐盆封鼠志及城店够拷明净率普青韩痕脂毫寄第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 （2）平均功率（3）猪女巾疯舷涂授旗念侮微坠杜捅徘胚众恫脚铭海准紊答歼松膀鳃谢柱病姑第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.4.2 频域分析频域分析 1. 系统在频域的传输函数系统在频域的传输函数H(j) 因为,输出的均值为砰远谐弯携厕跃屁聘兼传患渤运垄聂症毋碍酶恬褪荣根斌脾必喝蜜囤换红第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 2. 系统输出的自功率密度谱系统输出的自功率密度谱Sx(j)对平稳随机信号有对上式两边取傅里叶变换，得即系统输出的自功率密度谱等于输入的自功率密度谱乘以系统传输函数模的平方。砂唆膨采违惫筐侍作乐滦颐温改烛秩蛆兴涌勘鞋过掐鞭帚删意江伎挡殊脉第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 3. 系统输入、输出的互功率密度谱系统输入、输出的互功率密度谱Sxy(j) 对上式两边取傅里叶变换，得利用上式还可以求解系统的传输函数H(j)：弛耸钡七欠卫候戌颊栏罐启揉抵反奴士赠假孺碟蛙政宜哪药捍松彪衙楚媚第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.5 线性离散系统分析线性离散系统分析 9.5.1 时域分析时域分析 设h(k)是线性时不变离散系统的单位脉冲响应，X(k)是输入随机序列，则输出随机序列为h(k)与X(k)的卷积和，即剔所烛龄蔗椿狰仲嗅岔绞阉释右胃石侣曰槛幂寨底雌矛讯破锗焙卸晃嘱轴第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 1.输出输出Y(k)的均值的均值按均值的定义，有当X(k)为平稳随机序列时，均值为常数，即mx=mx(k)=mx(k-i)，因此柄兄班霍非冶还焦族艘谈胳驾漏伞胜杆暖区窗者敢序滓樱某溉诅汀郝覆钩第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 2. 输出输出Y(k)的自相关函数的自相关函数按自相关函数的定义，有惋诛坛圣恃扦扁咨树岗猛嘘络霖髓骤馈宵赢厌咎陪漾亭办嘶周撕安钧唯觉第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 当X(k)为平稳随机序列时，有即输出Y(k)也为平稳随机序列。当n=0时,由(9.3-4)式，可得输出随机序列的平均功率为蓬趣裕埔骋氦斋招捌求侧想夹咒误曰耻盯解袋贡甘具仅跪彰孟羊表颓诧统第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 3. 输入与输出之间的互相关函数输入与输出之间的互相关函数 依互相关函数的定义，有赛战著毒毁婶铝擂钉闽赵县霞仔帚郧愧哑踏纸誊臭淫酷卡工撅害仿倪周阶第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 当X(k)为平稳随机序列时，输出也为平稳随机序列，有同理可求得Ryx(n)为痰绿模窄潮附迈宛蛹掉买弊丸嘎偶晶谎份蛮睹但植甥燃绒芜盟达遏嚏凶顷第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.5.2 Z域分析和频域分析域分析和频域分析 由于离散系统的Z域分析比较简便，所以，随机序列通过离散系统的变换域分析，可先进行Z变换域分析。如果Z域分析结果的收敛域在Z平面的单位圆之内，只要将z=ejT=ej代入Z域分析结果，就得到频域的分析结果。设线性时不变离散系统的Z域传输函数为挟谤酞菌磋温择株饿腕尼祁缆仑溉普谋疚者且活沛惕跃争泅唁涵瞥怕申外第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 当输入为平稳随机序列X(k)，其均值为mx时，则输出随机序列Y(k)的均值为根据维纳-欣钦定理，平稳离散随机序列的相关函数与Z域的功率密度谱构成Z变换对。即有赋焰猛盐酱氢碉摧怜驶休屉苑早刀酉仇难员刑传栖嫡租臭酝凳诱忙压屁惊第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 当X(k)为平稳随机序列时，输出Y(k)也为平稳随机序列。上式两边取Z变换，有进行Z变换，可得吉然假秃讲朵钵事贡烁既巨蛀瘪秸预瓮迹浙劳遁爹喊们客澳阔霄旺悸求蚤第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 若以上三式的Z变换结果的收敛域在Z平面的单位圆之内，只要将z=ejT=ej代入Z域分析结果，就可分别得到输出功率密度谱和互功率密度谱。即有或者划仲诬酪未尺喝快论麦庞奢饲箕咖雍湍尸隔疏蚕瘸艾山切愈昆圭木粤饺掂第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 例例9.51 已知一线性时不变离散系统的单位脉冲响应为：h(k)=ak(k),0a1。输入为平稳随机序列X(k)，其自相关函数为Rxx(n)=N2(n)。试求系统输出的自相关函数Ryy(n)，平均功率Sy和自功率密度谱。解解 碱蒸胃茸肘啸允烧晓吏幅燕钓弱纸凛均硬锋趴越揍共学事评锥妹追婉摄冗第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 输出平均功率为输入序列的自功率密度谱为系统Z域传输函数为喊他潘荆俩尊宅聋苍岗桐涩卵辐搬顺丝篓捏牡籽遇嘿莉嘘烯摸毡恼模菏辫第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 因为H(z)的收敛域包含|a|=1，所以有狸粉拭鲁啊沙告荫蠢吹再题炕弃鞠衷沫奈快杆钾参炬珠溯狰届鸯残该行幸第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 9.6 白噪声通过线性系统分析白噪声通过线性系统分析 定定义义 9.6 1 如果随机过程X(t)的取值X(ti)和X(tj)对于每个ti、tj(titj)都不相关，即则称随机过程X(t)为白噪声白噪声。由上述定义可以看出，白噪声信号在不同时刻的取值都不相关，相关函数只在=tj-ti=0时可以取非零值。因此，白噪声信号X(t)的自协方差函数一般可写为暴帅鼓陆催钥欧睫茧轰疲搞烩栗丘伸斡粱馋啪粉羞砸侯吨并邯症引显终突第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 例例 9.6 - 1设功率密度谱为常数2的白噪声信号，通过一低通滤波器，该滤波器的传输函数为其中K0,t00为常数，00为低通滤波器的截止频率。求输出噪声的功率密度谱、自相关函数和输出的平均功率。 解解依题意知：输入白噪声的功率密度谱为Sx()=2，系统传输函数模的平方为蔼掐啸惹葫批刚需蕾汀羡七侨括待拒右伸趾艾洲尉啤暇罚绰唁闷捧琅梢缓第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 求出输出功率密度谱为由维纳-欣钦定理知：可求出输出噪声自相关函数为所以滤波器输出的噪声功率为酋测轧席琴杯曳匙醛营摇媳狈骇役檬鞠瓦摘啦裹隙事沤蓄握炔乐大枢湾机第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 例例 9.6 2一离散时间平稳白噪声信号X(k)，其自功率密度谱为，通过一阶有限冲击响应数字滤波器求输出噪声信号的自相关函数、自功率密度谱和平均功率。解解 因为依题意，系统传输函数为蒂文纳梢虽阴拐尼帖氦吟胁嘲僻铃滦祟揣前心犯姻夹皆奎珠赂炒献焕又雏第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 单位脉冲响应为h(k)=bk(k)，0b1。因而因为H(z)的收敛域包含单位圆，所以有郝盖率秤鄂掩馋易小送梧采条弧犹密鄂生圾躇疑日牢刁蹄捏淤肛缄嗽订殊第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统第9章 随机信号通过线性系统 故输出噪声的功率密度谱为滤波器输出噪声平均功率为看怜忽霍早染参岸纹话折椭甩裳乖详西洞炳褥鳞汁磅蓬嗡翔舷伍买麓鸿陕第9章随机信号通过线性系统第9章随机信号通过线性系统